2016届高考数学文一轮复习学案67二项分布及其应用

学案67 二项分布及其应用

导学目标：1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题．

自主梳理

1．条件概率及其性质

P(AB)

(1)设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B

P(A)发生的条件概率．

(2)条件概率具有的性质： ①__________________； ②如果B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝________________. 2．相互独立事件

(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B____________. (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝______， P(AB)＝________________＝________________.

(3)若A与B相互独立，则________________，________________，________________也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则________________． 3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnp(1－p)作____________．

自我检测

11

1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，则密码被译出的概率为

54( )

A．0.45

B．0.05

C．0.4

D．0.6

kk

n－k

，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布．记

1

2．(2011·三明月考)一学生通过一种英语听力测试的概率是，他连续测试两次，那么

2其中恰有一次通过的概率是( )

1A. 4

1B. 3

1C. 2

3D. 4

?1?3．已知随机变量X服从二项分布X～B?6，?，则P(X＝2)等于( ) ?3?

A.13 16

B.4

243

13

C. 243

D.80 243

33

4．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于( )

105A.9

50

1B. 2

C.9 10

1D. 4

1

5．(2011·临沂调研)一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，在5次测量中至少3

2次出现正误差的概率是( )

A.5 16

5B. 8

2C. 3

1D. 2

探究点一 条件概率

例1 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件．试求：

(1)第一次取到不合格品的概率；

(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．

变式迁移1 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：

(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？

探究点二 相互独立事件

例2 (2011·宁波模拟)甲、乙两名射击运动员，分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求

(1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率； (4)两人中至多一人射中的概率．

1

变式迁移2 甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率211是，三人全做错的概率是. 244

(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．

探究点三 独立重复试验与二项分布

例3 (2010·天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球

在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑1

色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.

2

(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；

(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率．

变式迁移3 粒子A位于数轴x＝0处，粒子B位于数轴x＝2处，这两颗粒子每隔1秒钟21

向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为，向左移动的概率为.

33

(1)求4秒后，粒子A在点x＝2处的概率； (2)求2秒后，粒子A、B同时在x＝2处的概率．

1．一般地，每一个随机试验都在一定的条件下进行，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上，再加上一定的条件)，求另一事件

在此条件下发生的概率．求条件概率，必须理解条件概率的定义及公式，公式中的P(AB)是指事件A、B同时发生的概率．

2．一般地，事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)，这时，我们称两个事件A、B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．事件的独立是一种对等的性质．如果事件A对事件B独立，那么就可以说事件A与B相互独立．显然，必然事件与任何事件是相互独立的．

3．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．

4．独立重复试验概率公式的特点：关于Pn(k)＝Cnp(1－p)

kk

n－k

，它是n次独立重复试验中

某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n、p、k的意义，才能正确运用公式．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2010·湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )

A.C.5

127 12

1B. 23D. 4

2．(2011·温州月考)位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单1

位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点

2(2,3)的概率是( )

?1?5

A.?? ?2?

2?1?3

C．C5??

?2?

2?1?5

B．C5??

?2?

23?1?5

D．C5C5??

?2?

3．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一架飞机来犯，问需要几门高射炮射击，才能至少以99%的概率击中它( )

A．3

B．4

C．5

D．6

4．(2011·合肥模拟)

1

一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立2的，则灯亮的概率是( )

A.1 64

D.

55B. 641 16

1C. 8

5．同时抛掷三颗骰子：设A＝“三个点数都不相同”，B＝“至少有一个6点”，则P(B|A)为( )

1A. 2C.

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2010·湖北)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．

7．(2010·重庆)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为111

、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________． 706968

8．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______．

三、解答题(共38分)

9．(12分)一名学生骑车从家到学校的途中有6个路口，假设他在每个路口遇到红灯的事1

件是相互独立的，且概率都为.求：

3

(1)这名学生在途中遇到红灯次数ξ的分布列；

(2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数η的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 5 18

60B. 91

91D. 216

10．(12分)(2011·六安模拟)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．

(1)求方程x＋bx＋c＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列；

(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x＋bx＋c＝0有实根的概率．

11．(14分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；

(2)比赛打满七局的概率；

(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．

2

22

学案67 二项分布及其应用

自主梳理

1．(2)①0≤P(B|A)≤1 ②P(B|A)＋P(C|A) 2.(1)相互独立 (2)P(B) P(B|A)P(A) P(A)P(B) (3)A与B A与B A与B (4)A与B相互独立 3.(2)X～B(n，p)

自我检测

1．C 2.C 3.D 4.B 5.D 课堂活动区

P(AB)

例1 解题导引 求条件概率的通常方法是利用条件概率公式P(B|A)＝.这就需要

P(A)求P(AB)和P(A)．如果事件具有等可能特点，还可以看作是基本事件空间改变后的古典概型，n(AB)

利用P(B|A)＝来计算．

n(A)

解 设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}． 51

(1)P(A)＝＝.

10020

54

(2)方法一 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率：P(AB)＝×，

1009954×P(AB)100994

所以有P(B|A)＝＝＝.

P(A)599

100

方法二 事件A发生的条件下，事件空间包含的基本事件个数为nA＝100－1＝99个． 事件A发生的条件下，事件B包含4个基本事件． n(AB)4

∴P(B|A)＝＝. n(A)99

变式迁移1 解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B：从1号箱中取出的是红球． 421

则P(B)＝＝，P(B)＝1－P(B)＝，

2＋4333＋14

(1)P(A|B)＝＝.

8＋19

31

(2)∵P(A|B)＝＝，

8＋13∴P(A)＝P(AB)＋P(AB)

421111

＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝×＋×＝. 933327

例2 解题导引 (1)审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等．

(2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件，然后利用互斥事件的概率加法公式进行求解．

(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式；

②正面计数较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算． 解 (1)记事件A：甲射中目标； 事件B：乙射中目标． 两人都射中的概率为

P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.

(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况，其对应事件为互斥事件，则

P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.

(3)方法一 两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况，其概率为P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)

＝0.72＋0.26＝0.98.

方法二 因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件． 所以“两人至少有一人射中”的概率为：

1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.2×0.1＝0.98.

(4)方法一 至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”，故所求概率为 P(AB)＋P(AB)＋P(AB)

＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.

方法二 “至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”，

故所求概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B) ＝1－0.72＝0.28.

1

变式迁移2 解 (1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A、B、C，则P(A)＝，

211·P(B)P(C)＝??224

由题意得?

?1－1?[1－P(B)][1－P(C)]＝1

????4?2?

，

1111

解得P(B)＝，P(C)＝或P(B)＝，P(C)＝，

34431111

所以乙、丙两人各自做对这道题的概率为和或和. 3443(2)设“甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题”为事件D，则 P(D)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋ 11111

P(A)P(B)P(C)＝＋＋＝，

481224

11

所以甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率是. 24

例3 解题导引 因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立，且每次向左(或向右)的概率都11是，因此该试验属n次独立重复试验．注意n＝3，P＝. 22

独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

解 (1)方法一 记小球落入B袋中的概率P(B)，

则P(A)＋P(B)＝1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，

?1?3?1?31所以P(B)＝??＋??＝，

?2??2?4

13

∴P(A)＝1－＝. 44

方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋．

31?1?32?1?3

∴P(A)＝C3??＋C3??＝.

?2??2?4

?3?(2)由题意，ξ～B?4，?.

?4?

273?3?3?1?1

∴P(ξ＝3)＝C4????＝.

?4??4?64

变式迁移3 解 (1)要求4秒后，粒子A在x＝2处的概率，即求粒子A四次移动中恰有三次向右移动发生的概率：

323231

C4()()＝. 3381

(2)要使粒子A、B在2秒后同时在点x＝2处，粒子A一定要往右移动2次，而粒子B往

?2?21?2??1?16

右和左各一次，所求概率为：??·C2????＝.

?3??3??3?81

课后练习区

1．C 2.B 3.D 4.B 5.A 3

6．0.9477 7. 8.0.128

70

?1?9．解 (1)由已知ξ～B?6，?， ?3?

k?1?k?2?6－k

分布列为P(ξ＝k)＝C6????，

?3??3?

k＝0,1,2,3，…，6.(2分) 所以ξ的分布列为

ξ P (4分)

(2)η＝k表示这名学生首次停车时经过的路口数，即在前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，则η的取值可能为0,1,2,3,4,5,6，其中η＝6表示路上没有遇上红灯．

1?2?k

当0≤k≤5时，P(η＝k)＝·??；

3?3?

0 1 2 3 4 5 6 6419224016060121 729729729729729729729?2?6

当k＝6时，P(η＝6)＝??.(9分)

?3?

所以η的分布列为

η 0 P (10分)

(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件概率为

1 2 3 4 5 6 11212212312412526 · ·() ·() ·() ·() () 33333333333326665

P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－()＝.(12分)

3729

10．解 (1)基本事件总数为6×6＝36，若使方程有实根，则Δ＝b－4c≥0，即b≥2c. 当c＝1时，b＝2,3,4,5,6； 当c＝2时，b＝3,4,5,6； 当c＝3时，b＝4,5,6； 当c＝4时，b＝4,5,6； 当c＝5时，b＝5,6； 当c＝6时，b＝5,6，

所求事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19， 192

因此方程x＋bx＋c＝0有实根的概率为.(4分)

3617

(2)由题意知，ξ＝0,1,2，则P(ξ＝0)＝，

362117

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，

361836故ξ的分布列为

ξ P (8分)

(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M， “方程x＋bx＋c＝0有实根”为事件N， 117

则P(M)＝，P(M∩N)＝，

3636P(M∩N)7

P(N|M)＝＝.(12分)

P(M)11

11．解 (1)当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．

2

2

0 17 361 1 182 17 36?1?41

在第一种情况下，乙取胜的概率为??＝，

?2?16

13?1?41

在第二种情况下，乙取胜的概率为C4??＝，

?2?28所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为 113

＋＝.(5分) 16816

(2)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A，记“比

赛打满七局乙胜”为事件B.

11?1?4?1?则P(A)＝C4????＝，

?2??2?813?1?4?1?P(B)＝C4????＝，

?2??2?8

又A，B互斥，所以比赛打满七局的概率为 1

P(A)＋P(B)＝.(9分)

4

?1?21

(3)P(ξ＝4)＝??＝，

?2?4

11?1?2?1?P(ξ＝5)＝C2????＝，

?2??2?4

?1?411?1?3?1?P(ξ＝6)＝C3????＋??＝，

?2??2??2?4

?1?11?1?4?1?3?1?4

P(ξ＝7)＝C4????＋C4??·??＝，(13分)

?2??2??2??2?4

所以ξ的分布列为

ξ P (14分)

4 1 45 1 46 1 47 1 4

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