(精校版)江苏省数学卷文档版(含答案)-2010年普通高等学校招生统一考试

高考数学、湖北高考数学

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2010年江苏高考数学试题

一、填空题

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a的值为______2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

x

-x

5+ae),x∈R，是偶函数，则实数a▲x2y2

1上一点M的横坐标是6、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线

412

3，则M到双曲线右焦点的距离为__________

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______8、函数y x(x 0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak 1,其中k N，若a1 16，则a1 a3 a5的值是____9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x y 4上有且仅有四个点到直线

2

2

2

12x 5y c 0的距离为1，则实数c的取值范围是______10、设定义在区间 0,

过点P作x轴的垂 上的函数y 6cosx的图像与y 5tanx的图像的交点为P，

2

线，垂足为P1与函数y sinx的图像交于点P12的长为_______1,直线PP2,则线段PP

x2 1,x 0211、已知函数f(x) ,则满足不等式f(1 x) f(2x)的x的取值范围是____▲____

1,x 0

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x2x3

12、设实数x,y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是_____▲____

yy

2

13、在锐角 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若_____batanCtanC

6cosC，则 的值是abtanAtanB

14、将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2

(梯形的周长）S=,则S的最小值是_______梯形的面积

二、解答题

15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A( 1, 2),B(2,3),C( 2, 1) (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长

(2)设实数t满足(AB tOC) OC 0，求t的值

14PABCDPD BC1, 2,AB∥DC, BCD

(1)求证：PC BC (2)求点A到平面PBC的距离

B

17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE= ，∠ADE=

(1)该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24,tan =1.20,,请据此算出H的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使 与 之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125m，试问d为多少时， - 最大

E

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x2y2

1的左、右顶点为A、B，右焦点为F，18.（16分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆95

设过点T（t,m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m 0,y1 0,y2 0 （1）设动点P满足PF PB 4,求点P的轨迹 （2）设x1 2,x2

2

2

1

，求点T的坐标 3

（3）设t 9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）

19．（16分）设各项均为正数的数列 an 的前n项和为Sn，已知2a2 a1 a3，数列等差数列.

（1）求数列 an 的通项公式（用n,d表示）

（2）设c为实数，对满足m n 3k且m n的任意正整数m,n,k，不等式Sm Sn cSk都成立。求证：

S是公差为d的

n

9c的最大值为

2

20.（16分）设f(x)是定义在区间(1, )上的函数，其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x)，其中

h(x)对任意的x (1, )都有h(x)>0，使得f'(x) h(x)(x2 ax 1)，则称函数f(x)具有性质P(a).

(1)设函数f(x) lnx

b 2

(x 1)，其中b为实数

x 1

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（ⅰ）求证：函数f(x)具有性质P(b) （ⅱ）求函数f(x)的单调区间

(2)已知函数g(x)具有性质P(2).给定x1,x2 (1, ),x1 x2,设m为实数， mx1 (1 m)x2，

(1 m)x1 mx2，且 1, 1，若|g( ) g( )|<|g(x1) g(x2)|,求m的取值范围

【理科附加题】

21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA DC，求证AB 2BC

B.选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0),B( 2,0),C( 2,1).设k为非零实数，矩阵

M=

k0 01

,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1B1C1的面1、B1、C1, A 01 10

积是 ABC的面积的2倍，求实数k的值

C.选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆 2cos 与直线3 cos 4 sin a 0相切，求实数a的值

D.选修4—5：不等式证明选讲（本小题满分10分） 设a,b是非负实数，求证：a3 b3 ab(a2 b2)

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【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22、（10分）某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品可获利6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立 （1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列 （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

23、（10分）已知 ABC的三边长都是有理数 （1）求证：cosA是有理数

（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数

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参考答案

一、填空题

1

4.30 5.-1 2

2

6.4 7.63 8.21 9.（-13，13） 10.

3

1.1 2.2 3.

11.( 1

1)二、解答题

15. 本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。

16.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。 解：（1）因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=90 ，得BC⊥DC， 又PD DC=D，PD 平面PCD， DC 平面PCD，所以BC⊥平面PCD 因为PC 平面PCD，故PC⊥BC

（2）连结AC.设点A到平面PBC的距离为h

因为AB∥DC，∠BCD=90 ，所以∠ABC=90 从而由AB=2，BC=1，得 ABC的面积S ABC 1。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积

11V S ABC PD

33

因为PD⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，所以PD⊥DC。

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17.本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识，考察数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.满分14分 解：（1）由AB

HhH

,BD ,AD 及AB BD AD,得 tan tan tan

HhH tan tan tan

解得：H

htan 4 1.24

124

tan tan 1.24 1.20

H

。 ，得 由AB AD BD

HhH h

,得

tan =，所以 tan tan d

h

H(H h)d

d

tan( )

tan tan

1 tan tan

当且仅当d

H

(H

h)

，即d

d

所以当d tan( )最大. 因为0

2

，则0

2

，所以当d

- 最大。

故所求的d是m.

18. 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力。满分

16分。

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解：由题设得A( 3,0),B(3,0),F(2,0)

（1）设点P(x,y)，则PF2 (x 2)2 y2,PB2 (x 3)2 y2

由PF PB 4，得(x 2)2 y2 (x 3)2 y2 4, 化简得x 故所求点P的轨迹为直线x

2

2

9。 2

9. 2

1 y x 1 x 7 3

y

(7,

10

). 3

m

(x 3)，直线BT的12

（3）由题设知，直线AT的方程为y 方程为y

m

(x 3) 6

点M(x1,y1)满足

m y (x1 3)1 12 2 2

xy 1 1 1 5 9

(x 3)x(1 1

9

3)m2x1( 2512

2

3)

因为x1 3，则

x1 3m2x1 3240 3m2

2 ，解得x1 951280

m2

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240 3m23m2 60

及

m 0，得m MN的方程为x 1， 若x1 x2，则由22

80 m20 m

过点D(1,0)

若x1

x2，则m MD的斜率kMD

40m

210m80 m 22

240 3m40 m

1

80 m2

ND

kND

MD过D 因此直线MN必过x轴上的点(1,0)

19. 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 解：（1）由题设知：

(n 1)d (n 1)d，则当n 2时，

an Sn Sn 1 23d2 2d2n

由2a2 a1

a3，得（

22d2) a1 23d2 d 故当n 2时，an 2nd2 d2，

又a1 d2，所以数列 an 的通项公式为an (2n 1)d2 （2

d

(n 1)d，得d 0，Sn n2d2

于是，对满足题设的m,n,k，m n，有

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(m n)229229

Sm Sn (m n)d d dk Sk

222

2

2

2

9 2933

另一方面，任取实数a 。设k为偶数，令m k 1,n k 1，则m,n,k符合条件，且

222

331

Sm Sn (m2 n2)d2 d2[(k 1)2 (k 1)2] d2(9k2 4)

222

所以c的最大值cmax

于是，只要9k 4

2ak，即当k

2

2

时，就有

12

d 2ak2 aSk 299

所以满足条件的c ，从而cmax

229

因此c的最大值为

2

Sm Sn

20. 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。

2 1,x2 1 因为x1

b 所以当x (1,x2)时，f'(x) 0；所以当x (x2, )时，f'(x) 0；x x2时f'(x) 0

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b

b从而函数f

(x)在区间(1,上单调递减，在区间[ )上单调递增。

22

综上所述，当b 2时，函数f(x)的单调增区间为(1, )；

b 2 当时，函数f

(x)的单调减区间为 ). ；单调增区间为(2)由题设知，g(x)的导函数g'(x) h(x)(x2 2x 1)，其中函数h(x) 0对于任意的x (1, )都成立，所以，当x 1时，g'(x) h(x)(x 1)2 0，从而g(x)在区间(1, )上单调递增。

①当m (0,1)时，有 mx1 (1 m)x2 mx1 (1 m)x1 x1，

得 (x1,x2)，同理可得 (x1,x2)，所以由g(x)的单调性知g( )、 mx2 (1 m)x2 x2，

g( ) (g(x1),g(x2))，

从而有|g( ) g( )|<|g(x1) g(x2)|，符合题设

.

③当m 1时，同理可得 x1, x2，进而得|g( ) g( )|≥|g(x1) g(x2)|，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。

附加题答案

21.【选做题】

A.选修4—1：几何证明选讲

本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。 证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以 ADB 90 ,AB 2OB， 因为DC是圆O的切线，所以 CDO 90 。

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又因为DA DC，所以 A C， 于是 ADB CDO，从而AB CO 即2OB OB BC，得OB BC 故AB 2BC。 B.选修4—2：矩阵与变换

本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。

计算得 ABC的面积是1， A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k| 2 1 2. k2或-2. .4—4

10

解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为：x y 2x,即(x 1) y 1，

直线的方程为：3x 4y a 0，

2

2

2

2

（1，0）由题设知，圆心到直线的距离为1，即有

解得：a 2，或a 8 D.选修4—5：不等式选讲

1,

本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。 证明：由a、b是非负实数，作差得

a3 b3a2 b2) a

b 5 5]

当a

b

5

5，得5 5] 0； 当a

b

5

5，得5 5] 0；

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所以a3 b3 a2 b2)。 22.【必做题】

本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。

23.

分证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

AB2 AC2 BC2

cosA 是有理数。

2AB AC

（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA sinnA都是有理数。

①当n 1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA sinA 1 cosA也是有理数。 ②假设当n k(k 1)时，coskA和sinA sinkA都是有理数。 当n k 1时，由

2

cos(k 1)A cosA coskA sinA sinkA，

sinA sin(k 1)A sinA (sinA coskA cosA sinkA) (sinA sinA) coskA (sinA sinkA) cosA，

及①和归纳假设，知cos(k 1)A和sinA sin(k 1)A都是有理数。 即当n k 1时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

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