06-12排列、组合、二项式定理高考题集锦

2012年高考试题分项解析数学（理科） 专题11 排列组合、二项式定理（教师版）

整理人：武彦宏

一、选择题:

1.(2012年高考新课标全国卷理科2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、

乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

(A)12种 (B)10种

(C)?种 (D)?种

【答案】A

12【解析】甲地由1名教师和2名学生：C2C4?12种.

2. (2012年高考北京卷理科6)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )

A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

3．(2012年高考浙江卷理科6)若从1，2，2，?，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）

A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

4.(2012年高考山东卷理科11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的

种数为（ ）

（A）232 (B)252 (C)472 (D)484

[来源21世纪教育网]

5. (2012年高考辽宁卷理科5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）

(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C

【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有3!?3!?3!?(3!)3种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。因此不同的坐法种数为(3!)4，答案为C

【考点定位】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。

26.(2012年高考天津卷理科5)在(2x?21世纪教育网

1x)的二项展开式中，x的系数为（ ）

5（A）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40

27.(2012年高考安徽卷理科7)(x?2)(1x2?1)的展开式的常数项是（ ）

5 (A)?3 (B)?2 (C)? (D)?【答案】D

【解析】第一个因式取x，第二个因式取

521世纪教育网

21x214得：1?C5(?1)?5

第一个因式取2，第二个因式取(?1)得：2?(?1)??2 展开式的常数项是5?(?2)?3. 8.(2012年高考安徽卷理科10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同

5学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）

(A)1或3 (B)1或4 (C) 2或3 (D)2或4 【答案】D[来源21世纪教育网]

【解析】C62?13?15?13?2

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人. 9. (2012年高考湖北卷理科5)设a∈Z，且0≤a≤13，若51A.0 B.1 C.11 D.12

2012

+a能被13整除，则a=( )

10. (2012年高考陕西卷理科8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） （A） 10种 （B）15种 （C） 20种 （D） 30种

[来源:21世纪教育网]

11.(2012年高考四川卷理科1)(1?x)的展开式中x的系数是（ ）

7221世纪教育网

A、42 B、35 C、28 D、21 【答案】D

2、2【解析】二项式(1?x)7展开式的通项公式为Tk?1=C7kxk，令k=2，则T3?C7x

?x的系数为C7?21.

22【考点定位】高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.

12. (2012年高考四川卷理科11)方程ay?b2x2?c中的a,b,c?{?3,?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A、60条 B、62条 C、71条 D、80条

13.(2012年高考全国卷理科11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

?14. (2012年高考重庆卷理科4)???x??的展开式中常数项为（ ）

2x?18A.

3516 B.

358 C.

354 D.105

【答案】B 【解析】x,12x取得次数为1:1(4:4)，展开式中常数项为C84?()4?21358.

二、填空题:

1. (2012年高考广东卷理科10)(x2?1x)的展开式中x的系数为______.（用数字作答）

632. (2012年高考福建卷理科11)(a?x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a?_________. 【答案】2

34?3【解析】(a?x)4中含x3的一项为Tr?1?C4ra4?rxr，令r?3，则C4a?8，即a?2.

【考点定位】本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可. 3．(2012年高考上海卷理科5)在(x?2x)的二项展开式中，常数项等于 . 64. (2012年高考湖南卷理科13) ( 2x-作答） 【答案】-160

1x)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字

【解析】( 2x-1xr6?r)6的展开式项公式是Tr?1?C6(2x)(?1x)?C62rr6?r(?1)xr3?r.

33由题意知3?r?0,r?3，所以二项展开式中的常数项为T4?C32(?1)??160. 6【考点定位】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.

5. (2012年高考陕西卷理科12)(a?x)5展开式中x2的系数为10， 则实数a的值为 ．

6.(2012年高考全国卷理科15)若(x?则该展开式中

1x21x)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，

n的系数为 .

2011年高考试题数学（理科）排列组合、二项式定理

一、选择题:

1.(2011年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40

解析1.令x=1得a=1.故原式=Tr?1?C5(2x)r5?2r(x?5?r1x)(2x?1x)。(x?51x)(2x?1x)5的

(?x?1r)?C5(?1)2xrr5?2r，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由

5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D

解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出

21x；若第1个括号提出

231x，从余下的括号中选2个提出

21x，

选3个提出x.故常数项=X?C5(2X)?C3(?1X6)?31X?C5(?1X)?C3(2X)=-40+80=40

233?x2?3．(2011年高考天津卷理科5)在?的二项展开式中，x2的系数为（ ） ???2x???A．?154 B．

154 C．?38 D．

38

【答案】C

r【解析】因为Tr?1?C6?(x2)6?r?(?2x?x6),所以容易得C正确.

64.(2011年高考陕西卷理科4)(4?2)(x?R)的展开式中的常数项是 （A）?20 （B）?15 （C）15 （D）20

【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项. 【答案】C

rx6?r?xrr2x(6?r)?xrr12x?3xr?2?C6?2【解】Tr?1?C6(4)(2)?C6?2，

x4令12x?3xr?0，则r?4，所以T5?C6?15，故选C．

5.(2011年高考重庆卷理科4) ?1?3x?（其中n?N且a?6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n?

（A）6 (B)7 (C) 8 (D)9 答案：B

解析： ?1?3x?的通项为Tr?1?Cnr?3x?，故x5与x6的系数分别为Cn535和Cn636，令他们相等，得：

n!5!?n?5?!3?5nrnn!6!?n?6?!3，解得n?7

612.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量??(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则（A）

415mn?

（B）

13 （C）

25 （D）

23

答案：D

2解析：基本事件：从(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)选取2个，n?C6?3?5?15.其

中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故

mn?515?13.

7．(2011年高考福建卷理科6)（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于

A．80 B．40 C．20 【答案】B 二、填空题:

1. (2011年高考山东卷理科14)若(x?为 . 【答案】4

【解析】因为Tr?1?C6?xr6?r

D．10

ax2)展开式的常数项为60，则常数a的值

6?(?ax2r),所以r=2, 常数项为a?C6?60,解得a?4.

22. (2011年高考浙江卷理科13)（13）设二项式(x?ax)(a?0)的展开式中x的系数为

63A,常数项为B，若B=4A，则a的值是 。 【答案】2

【解析】由题意得Tk?126?ka?kk6?k?k2， ?C6x????????a?C6xx??k3∴A???a?C62，B???a?C64，又∵B?4A，

4∴??a?C64?4??a?C62，解之得a2?4，又∵a?0，∴a?2.

423. (2011年高考安徽卷理科12)（12）设(x??)???a??a?x?a?x??La??x??，则

a???a??? . 【命题意图】本题考查二项展开式的通项、组合数公式及运算能力，是容易题目.

r21?rr【解析】由二项展开式的通项知Tr?1=C21x(?1)， 1110111110101010(?1)?C21(?1)=?C21?C21=?C21?C21=0. ∴a10?a11=C214. (2011年高考广东卷理科10)x(x?【答案】84

5. (2011年高考湖北卷理科11)(x?果用数值表示） 答案：17 解析：由Tr?1?C?x1r1818?r2x)的展开式中，(用数字作答). x 的系数是______

7413x)18的展开式中含x15的项的系数为 （结?(?)?(?)?C33x1r1rr18?x18?32r 令18?32r?15，解得r=2，故其系

2数为(?)2?C18?17.

36. (2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

n=1 n=2 n=3 n=4

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个

黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】21,43

解析：设n个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为an，由图可知， ．．．．a1?2，a2?3，

a3?5?2?3?a1?a2， a4?8?3?5?a2?a3，

由此推断a5?a3?a4?5?6?13，a6?a4?a5?8?13?21，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有2?2?2?2?2?2?26?64种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21．．．．种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有64?21?43种着色方案，故分别填．．

21,43.

7.(2011年高考全国卷理科13) (1-【答案】0

x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 .

r【解析】Tr?1?(?1)c(x)?(?1)cx，令

2rr20rrr20r2?1得r?2,r2?9得r?18

222918182所以x的系数为(?1)c20?c20，x的系数为(-1)c20?c20

故x的系数与x的系数之差为c20-c20=0

8．(2011年高考北京卷理科12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这

样的四位数共有__________个。（用数字作答） 【答案】14 三、解答题:

1．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）

设整数n?4，P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中

a,b?{1,2,3,?,n},a?b

922

（1）记An为满足a?b?3的点P的个数，求An； （2）记Bn为满足(a?b)是整数的点P的个数，求Bn

31解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。

（1）因为满足a?b?3a,b?{1,2,3?,n,}a?,b的每一组解构成一个点P,所以

An?n?3。

（2）设(a?b)?k?N*，则a?b?3k,0?3k?n?1,?0?k?31n?13,

对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列； 当n-1被3整除时，解数一共有：1?4???n?3?1?n?3n?12223?(n?1)(n?2)6??6(n?3)n6

当n-1被3除余1时，解数一共有：2?5???n?3?当n-1被3除余2时，解数一共有：3?6???n?3?2?n?3n?2333?n?3n?3(n?2)(n?1)

?(n?1)(n?2),n?3k?1orn?3k?2??6*?Bn??(k?N)

(n?3)n?,n?3k?3?6?

排列与组合

第一部

2010年高考题

一、选择题

1．（2010年高考山东卷理科8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （A）36种 【答案】B

【解析】分两类：第一类：甲排在第一位，共有A4=24种排法；第二类：甲排在第二位，共有A3?A3=18种排法，所以共有编排方案24?18?42种，故选B。

【命题意图】本题考查排列组合的基础知识，考查分类与分步计数原理。

2．（ 2010年高考全国卷I理科6）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

2.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

【解析】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C4种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C3C4种不同的选法.所以不同的选法共有C3C4+C3C4?18?12?3021122112413 六年高考荟萃

（B）42种 (C)48种 （D）54种

种.

3．(2010年高考天津卷理科10)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有 （A） 288种 （B）264种 （C） 240种 （D）168种 【答案】B

【解析】分三类：（1）B、D、E、F用四种颜色，则有A4?1?1?24种方法； （2）B、D、E、F用三种颜色，则有A4?2?2?A4?2?1?2?192种方法； （3）B、D、E、F用二种颜色，则有A4?2?2?48，所以共有不同的涂色方法 24+192+48=264种。

【命题意图】本小题考查排列组合的基础知识，考查分类讨论的数学思想，有点难度。

4.(2010年高考数学湖北卷理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、

导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是

A． 152 B. 126 C. 90 D. 54 【答案】B

【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C3?A3?18；若有1人从事司机工作，则方案有C3?C4?A3?108种，所以共有18+108=126种，故B正确.[来源:Zxxk.Com]

1232343325. (2010年高考湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

A．10 B.11 C.12 D.15 【答案】B

【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：

第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C4＝6（个）

2

6．（2010年高考四川卷理科10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法w_w_w.k*s 5*u.c o*m ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3A3A2＝24个

22②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A2A2＝12个 算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C

7．（2010年高考北京卷理科4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A）A8A9 （B）A8C9 （C） A8A7 （D）A8C7 【答案】A

解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有中，共有

A922282828282A88种排法，然后将两位老师插入9个空

种排法，因此一共有

A8A982种排法。

8．(2010年高考全国2卷理数6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

9. (2010年高考重庆市理科9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

（A） 504种 【答案】C

解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2?A2A4A4种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有4A2(A4?A3A3A3)种方法

故共有1008种不同的排法

10．（2010年高考重庆卷文科10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有[来源:Z。xx。k.Com]

（A）30种 （B）36种 （C）42种 （D）48种 【答案】C

【解析】法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法 即C6C4?2?C5C4?C4C3=42 法二：分两类

221211（B） 960种 （C） 1008种 （D） 1108种

21424113 甲、乙同组，则只能排在15日，有C4=6种排法

甲、乙不同组，有C4C3(A2?1)=36种排法，故共有42种方法.

11．（2010年高考湖北卷文科6）现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 A．5

41122 B. 6

5 C.

5?6?5?4?3?22 D.6?5?4?3?2

【答案】A

12．（2010年高考全国卷Ⅱ文科9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 【解析】B：本题考查了排列组合的知识

∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有

C4?62，

余下放入最后一个信封，∴共有

3C4?182

13．（2010年高考四川卷文科9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是

（A）36 （B）32 （C）28 （D）24

解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A3A2＝24种 如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×A2A2＝12种 共计12＋24＝36种 答案：Aw_w w. k#s5_u.c o*m 二、填空题：

1 . （2010年高考浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上下午都各测试一人，则不同的安排方式共有 种（用数字作答）。 【答案】264

2．（2010年高考江西卷理科14）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世

博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答). 【答案】1080

3．(2010年高考江西卷文科14)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）．

2222

4．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科15）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3

门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答) 5. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C4种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C3C4种不同的选法.所以不同的选法共有

2112C3C4+C3C4?18?12?30种.

【解析2】: C7?C3?C4?30

2009年高考题

一、选择题

1.（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种

【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法C2C2A3?24；若小张、小赵都入选，则有选法

1133331221A2A3?12，共有选法36种，选A.

2.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）

A．8 【答案】C

.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.

2和4排在末位时，共有A2?2种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有A4?4?3?2?24种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有2?24?48（个）.故选C.

3．（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648 【答案】B

3122 B．24 C．48 D．120

【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的

考查.

首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A9?9?8?72（个）， 当0不排在末位时，有A4?A8?A8?4?8?8?256（个），

于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72?256?328（个）.故选B.

4.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种 答案：C

解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数C4C4=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为C4=6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。 5.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有C5?C3?C6?225种选法;

(2) 乙组中选出一名女生有C5?C6?C2?120种选法.故共有345种选法.选D

6.(2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

2111121112222A.18 B.24 C.30 D.36

【答案】C

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C4，顺序有A3种，而甲乙被分在同一个班的有A3种，所以种数是C4A3?A3?30

7.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3A2?6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

22323323解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3A2?6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A2A2=24种排法；

第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A2＝12

种排法

第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。

此时共有6A2＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

8. （2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种

222222222解：用间接法即可.C4?C4?C4?30种. 故选C

9.（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种

【解析】直接法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C41＝10×4＝40种,共计70种

间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A

10.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 A.120种 B.96种 C.60种 D.48种 【答案】C

【解析】5人中选4人则有C5种，周五一人有C4种，周六两人则有C3，周日则有C1种，故共有C5×

41214C4×C3=60种,故选C

11.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A．14 B．16 C．20 D．48 解:由间接法得C6?C2?C4?20?4?16，故选B.

12.（2009全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种

32112【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。 解：由题共有C5C6C2?C5C3C6?345，故选择D。

13.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3A2?6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3A2?6种不同排

法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A2A2=24种排法；

第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A2＝12

种排法

第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。

此时共有6A2＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

14.（2009陕西卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为

(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108网 答案:C.

解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有C4种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有C4C3C3A3?216个故选C.

15.(2009湖南卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C] A 85 B 56 C 49 D 28 【答案】：C

【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：C2?C7?42，另一类是甲乙都去的选法有C2?C7=7，所以共有42+7=49，即选C项。

16.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有

21121123121111222222222两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。

解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有A3C3A4A2?332种，其中男生甲站两端的有A2A2C3A3A2?144，符合条件的排法故共有188

解析2：由题意有2A2?(C3?A2)?C2?C3?A2?(C3?A2)?A4?188,选B。

17.（2009重庆卷文）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）

A．

222112222322212222155 B．

355 C．

14 D．

13

【答案】B

解析因为将12个组分成4个组的分法有

C12C8C4A33444种，而3个强队恰好被分在同一组分法有

C3C9C8C4A2二、填空题

23144，故个强队恰好被分在同一组的概率为C9C9C8C4A2C12C8C4A3=314424443355。

18.（2009宁夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。 解析：C7C4?140， 答案：140

19.（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答） 【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。

解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：C3A3C4?A3C3?90种；个位、十位和百位上

2313133C3A3C4?C3C3A3C3?234种，的数字为1个偶数2个奇数的有：所以共有90?234?324个。

20.（2009浙江卷理）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）． 答案：336

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有A7种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有C3A7种，因此共有不同的站法种数是336种．

21.（2009浙江卷文）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k?1，其中

3122311231k?0,1,2?,．,19

从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到

标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9?1?0?10）不小于14”为A， 则P(A)? ．

14【命题意图】此题是一个排列组合问题，既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生便举

问题解决实际困难的能力和水平

【解析】对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即7,8;8,9;16,17;17,18;18,19，而基

本事件有20种，因此P(A)?14

22.（2009年上海卷理）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量

?表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E?____________（结果用最简分数表示）.

【答案】

47

【解析】?可取0，1，2，因此P（?＝0）＝

C5C227?1021， P（?＝1）＝

C5C2C2711?1021，

P（?＝2）＝

C2C227?121，E?＝0×

1021?1?1021?2?121＝

47

23.（2009重庆卷理）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

A．

891 B．

2591 C．

4891 D．

6091

【答案】C

【解析】因为总的滔法C15,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为

4C6?C5?C4?C6?C5?C4?C6?C5?C4C154112121211?4891

24.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．

【答案】36

【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有

C4?C2?C1A122211;第二步将分好

的三组分配到3个乡镇，其分法有A所以满足条件得分配的方案有

2005-2008年高考题

一、 选择题

33C4?C2?C1A2221?A3?36

3

31.（2008天津）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）． 答案432

32.（2008浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不

同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。答案 40

33．（2007全国Ⅰ理）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 答案36

34．（2007重庆理）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种。（以数字作答） 答案25

35．（2007重庆文）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 答案288

36．（2007陕西理）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 答案210

37．（2007陕西文）安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 答案60

38．(2007浙江文)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是_________(用数字作答)． 答案266_

39．（2007江苏）某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方案。（用数值作答） 答案75

。（以数字作答）

2，?，6)，40．（2007辽宁理）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai(i?1，若a1?1，a3?3，

a5?5，a1?a3?a5，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．

答案30

41．（2007宁夏理）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 答案240

42．（2006湖北）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答） 答案20

解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有A5＝20种不同排法。

43．（2006湖北）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 答案78

解：分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有A4种排法（2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有A3A3A3种排法，故共有78种不同排法

44．（2006江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。

【思路点拨】本题考查排列组合的基本知识.

【正确解答】由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C9?C5?C3?1260 45．（2006辽宁）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)

【解析】两老一新时, 有C3?C2A2?12种排法;

两新一老时, 有C2C3?A3?36种排法,即共有48种排法.

46．（2006全国I）安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）解析：先安排甲、乙两人在后5天值班，有安排方法。

47．(2006陕西)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种

解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙

12311242311342 种．（用数字作答）

A52=20种排法，其余5人再进行排列，有

A55=120种排法，所以共有20×120=2400种

只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有C5?A4=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有C5?A4=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有A5?120种选法，共有600种不同的选派方案．

48．(2006陕西)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种 ．

解析：可以分情况讨论，① 甲去，则乙不去，有C6?A4=480种选法；②甲不去，乙去，有C6?A4=480种选法；③甲、乙都不去，有A6=360种选法；共有1320种不同的选派方案

49．（2006天津）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．

解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成2?A3?12个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2?A2?4个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2?(2?A2)=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。 50．（2006上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.

解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22·A44＝48. 从而应填48．

第二部分 四年联考题汇编

2010年联考题

一、 选择题

1．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题理科）从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少

有1名女生的选法共有 （ A ）

A．36种

B．30种

C．42种

D．60种

22343434344242．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别

参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，不同的参赛方案共有 （ B ）

A．24种

B．18种

C．21种

D．9种

3．（山东省日照市2010年3月高三一模理科）某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有（ A ） (A)48种

4．（湖北省荆州市2010年3月高中毕业班质量检查Ⅱ理科）将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案有( B )种

(B)36种

(C)30种

(D)24种

A.240 B.150 C.60 D.180

5．（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考理科）甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙

均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ C ）

A．72种

B．54种

C．36种

D．24种

6．（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考文科）甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ C ）

A．72种

B．52种

C．36种

D．24种

7．（湖北省襄樊市2010年3月高三调研统一测试文理科）某班要从6名同学中选出4人参加校运动会的

4×100m接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有（ B ）

A．24种

B．72种

C．144种

D．360种

8．（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）从0，2，4中取一个数字，从1，3，5

中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ B ）

A．36 B．48 C．52 D．54

9．（北京市崇文区2010年4月高三年级第二学期统一练习理科）2位男生和3位女生共5位同学站成一

排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （A）36 （B）42 （C） 48 （D） 60

10. （2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科）某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ C ）

A．12 二、填空题：

11. （湖北省黄冈市2010年3月份高三年级质量检测理科）将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件.若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 种．96 12．(湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测理科A试题)某车队有7辆车，现在要调出4辆，再按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加，而且甲车在乙车前开出，那么不同的调度方案有 种.120

13．（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考理科）有一种数学推理游戏，游戏规则如下：①在9×9

的九宫格子中，

分成9个3×3的小九格，用1到9这9个数填满整个格子； ②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1 到9的数字，并且一个数字在每 行每列及每个小九宫格里只 能出现一次，既不能重复也不能少，那么A处应填入的数字 为 1 ；B处应填入的数字为 1 。

14．（湖北省武汉市2010年高三二月调研测试文理科）从4个班级的学生中选出7名学生代表，若每一个

班级中至少有一名代表，则选法种数为 20 。

2009年联考题

一、 选择题

1、(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣)用4种不同的颜色为正方体的六个面着色，要求相邻两个面颜色不相同，则不同的着色方法有 种。

A．24

B．48

C．72

（ D ） D．96

B．16

C．24

D．32

2. (2009届高考数学二轮冲刺专题测试)某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有

2. D

A．84种 B．98种 C．112种 D．140种

3. (2009届高考数学二轮冲刺专题测试)用4种不同的颜色为正方体的六个面着色，要求相邻两个面颜色不相同，则不同的着色方法有 种。（D） A．24

D．96

D．120

B．48 C．72

C．240种

4.( 2009届高考数学二轮冲刺专题测试)某小组有4人，负责从周一至周五的班级值日，每天只安排一人，每人至少一天，则安排方法共有C

A．480种 B．300种

5.( 2009届高考数学二轮冲刺专题测试)9人排成3×3方阵(3行，3 列)，从中选出3人分别担任队长．副队长．纪律监督员，要求这3人至少有两人位于同行或同列，则不同的任取方法数为9. C A． 78 B． 234 C．468 D．504

6. (2009届高考数学二轮冲刺专题测试)4名不同科目的实习教师被分配到三个班级，每班至少一人的不同分法有10. C

A.144 种 B .72种 C. 36 种 D. 24种

7.( 2009届高考数学二轮冲刺专题测试)从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有12. D A．100种 B．400种 C．480种 D．2400种 8. (2009届高考数学二轮冲刺专题测试)在如图所示的10块地上选出6块种

植A1、A2、?、A6等六个不同品种的蔬菜，每块种植一种不同品种蔬菜，若A1、

A2、A3必须横向相邻种在一起，A4、A5横向、纵向都不能相邻种在一起，则不

同的种植方案有13. C A．3120

B．3360

C．5160

D．5520

9.( 2009届高考数学二轮冲刺专题测试)某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的做法种数共有 14. B A．18种 B．36种 C．42种 D．56种 二、填空题

10. (2009届高考数学二轮冲刺专题测试)某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此，该学生不能同时报考这两所学校．则该学生不同的报名方法种数是 16 ．（用数字作答）

11.( 2009届高考数学二轮冲刺专题测试)用红、黄、蓝三种颜色之一去涂

1 图中标号为1,2,?,9

的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _____108 种

2 5 8 3 6 9 4 7 第19题

12.( 2009届高考数学二轮冲刺专题测试)将7 个不同的小球全部放入编号

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