小学数学竞赛学习材料（五年级上期）

小学数学竞赛学习材料

五年级上期

第一讲 速算与巧算(一)

例1 计算 72.19＋6.48＋27.81－1.38－5.48－0.62。

解：观察发现，有些加数可以凑整；有的加数和减数尾数相同，可以抵消。于是：

72.19＋6.48＋27.81－1.38－5.48－0.62 ＝(72.19＋27.81)＋(6.48－5.48)－(1.38＋0.62) ＝100＋1－2 ＝99

例2 用简便方法计算 1.25×67.875＋125×6.7875＋1250×0.053375。

解：观察发现：相加的三个乘积中分别有1.25、125、250，因此想到利用积不变的性质，使三个积有相同的因数。于是：

1.25×67.875＋125×6.7875＋1250×0.053375

＝1.25×67.875＋1.25×678.75＋1.25×53.375 ＝1.25×(67.875＋678.75＋53.375) ＝1.25×800 ＝1000

例3 计算 1999＋199.9＋19.99＋1.999。

解法一：观察发现，构成这四个加数的数字和排列顺序完全相同，因此可以把它们都看作1999与某个数的积，于是：

1999＋199.9＋19.99＋1.999 ＝1999×(1＋0.1＋0.01＋0.001) ＝1999×1.111 ＝(2000－1)×1.111 ＝2222－1.111 ＝2220.889

解法二：观察发现这四个加数分别接近2000、200、20、2，于是 1999＋199.9＋19.99＋1.999

1

＝2000＋200＋20＋2－1.111 ＝2220.889

例4 计算 (1＋0.33＋0.44)×(0.33＋0.44＋0.55)－(1＋0.33＋0.44＋0.55)×(0.33＋0.44)。

解：观察发现这些因数中有一些相同的部分，可以进行代换。设a＝0.33＋0.44，b＝0.33＋0.44＋0.55，于是：

原式＝(1＋a)×b－(1＋b)×a

＝b＋ab－a－ab ＝b－a

＝(0.33＋0.44＋0.55)－(0.33＋0.44) ＝0.55

练 习 一

1．计算下面各题：

(1)2.5＋3.2＋7.5＋2.8＝？ (2)18.2＋6.5－6.2－3.5＝？ (3)2.328＋(5.342＋3.672)＝？ (4)18.6－9.3－1.6－2.7＝？

(5)2.19＋6.48＋0.51－1.38－5.48－0.62＝？ (6)8.16－1.26÷0.3×1.5＝？

2．计算.0.268×(48.2＋20.7＋51.8＋4.3)×8.88÷268＝？ 3．计算：4.03＋4.06＋4.09＋4.12＋4.15＋4.18＋4.21＋4.24＝？ 4．计算：2004.789－2003.123＋2002.211－2001.877＝？(2004年四川省小学数学竞赛题)

5．计算：100－9.9－8.8－7.7－6.6－5.5－4.4－3.3－2.2－1.1＝？(2004年四川省小学数学竞赛题)

6．计算 1.25×17.6＋36÷0.8＋2.64×12.5。 7．计算 5.6×16.5÷0.7÷1.1。 8．计算 378.63－5.72－78.63－4.28。

9．计算 15.37×7.88－9.37×7.88－15.37×2.12＋9.37×2.12。 10．计算 (111×58－148×16)÷37。(1994 年小学数学奥林匹克决赛

2

题)

11.计算：(2.4×12.5＋8.4)÷(9.6÷0.25)＝？ (“新苗杯”小学数学竞赛题)

12．计算：3.6×31.4＋43.9×6.4＝？(2000年小学数学奥林匹克试题)

第二讲 速算与巧算(二)

例1 计算 3.42×76.3＋76.3×5.76＋9.18×23.7。(天津市小学数学竞赛题)

解：3.42×76.3＋76.3×5.76＋9.18×23.7 ＝(3.42＋5.76)×76.3＋9.18×23.7 ＝9.18×76.3＋9.18×23.7 ＝9.18×(76.3＋23.7) ＝9.18×100 ＝918

例2 计算 38.3×7.6＋11×9.25＋427×0.24。(1999年全国小学数学奥林匹克预赛题)

解：38.3×7.6＋11×9.25＋427×0.24 ＝383×0.76＋11×9.25＋(383＋44)×0.24 ＝383×(0.76＋0.24)＋11×9.25＋44×0.24 ＝383×1＋11×9.25＋11×(4×0.24) ＝383＋11×9.25＋11×0.96 ＝383＋11×(9.25＋0.96) ＝383＋11×10.21 ＝383＋112.31 ＝495.31

例3 计算 28.9×61.3＋111×6.15。 解：28.9×61.3＋111×6.15 ＝6.13×(289＋111)＋111×0.02 ＝6.13×400＋2.22 ＝2452＋2.22

3

＝2454.22

例4 计算 1÷0.05÷0.25÷0.125÷64。(吉林省小学数学竞赛试题) 解：1÷0.05÷0.25÷0.125÷64 ＝1×20×4×8÷64 ＝10

练 习 二

1．计算下面各题：

(1)0.279×343＋0.657×279＝？ (2)0.525÷13.125÷4×85.2＝？ (3)27.8÷(1.39×4)＝？

(4)(3.6×0.75×1.2)÷(1.5×24×0.18)＝？

(5)999×87.5＋87.5＝？

(6)9.81×0.1＋0.5×98.1＋0.049×981＝？

2．计算：2＋98×62.5÷2.5－(14.3－0.143×17＋1.43×1.5)÷0.013＝？

3．计算：0.078×78＋0.039×20＋0.156×6＝？(2004年四川省小学数学竞赛题)

4．设a＝0.00?025，b＝0.00?04。试求：a＋b，a－b，a×b，a÷b。

10个0 12个0

5．计算 342×1.125＋65.8×11.25。(天津市小学数学竞赛试题) 6．计算 0.125×160×5000。(新加坡小学数学奥林匹克试题) 7．计算 1999×3.14＋199.9×3.14＋19.99×3.14。(第十届《小学生学习报》数学竞赛初赛题)

8．计算 0.25×19＋0.75×27。(第六届《小学生数学报》数学竞赛初赛题)

9．计算 0.888×125×73＋999×3。(吉林省小学数学竞赛试题)

10．计算 1.1＋3.3＋5.5＋7.7＋9.9＋11.11＋13.13＋15.15＋17.17＋19.19。(北京市第十三届“迎春杯”数学竞赛小学初赛题)

11．计算：(112233－112.233)÷(224466－224.466)。(“我爱数学”

4

小学数学竞赛试题)

12．计算：(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28)。(2002年小学数学奥林匹克决赛题)

第三讲 循环小数与小数趣题

例1 算式 G÷C＝0.ABCDEFABCDEF??中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。G＝？

解：观察发现, 商是纯小数，并且是纯循环小数, 循环节有六个数字。由此推知：

(1)G＜C；

(2)因为G至少是1，所以C≥2；

(3)因为商是无限小数，所以C≠2、4、5、8；

(4)C≠3、6、9, 否则，商虽然有可能是循环小数, 但是循环节只有一个数字；

综上所述，C＝7，G＝1、2、3、4、5、6。 计算得到：

1÷7＝0.142857 2÷7＝0.285714

3÷7＝0.428571 4÷7＝0.571428 5÷7＝0.714285 6÷7＝0.857142

果然，商都是循环小数，循环节有6个数字。有趣的是，不仅循环节都是由 1、4、2、8、5、7 六个数字组成的, 而且排列顺序也相同, 只是起始数字不同。如果把这六个数字排成一个圈，只要知道了循环节的第一个数字，沿顺时针方向就能依次得到另外五个数字：

714............582把这些循环小数与算式仔细对照后发现，循环节第三个数字与除数相同

5

11．学校一学期共安排86节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、四每天两节。开学第一周星期一开学典礼没有上课，从星期三开始上，那么，最后一节数学课是星期几上的？(假设学期当中没有放过假)(1997年小学数学奥林匹克预赛题)

12．一种电子游戏：甲、乙、丙、丁四个停车场里分别停放着10、7、5、4辆汽车。游戏要求，每次都从停放汽车最多的车场中往另外三个车场各开去一辆汽车。这样进行了1998次，甲车场中停放汽车多少辆？(哈尔滨市第十二届“萌芽杯”小学数学竞赛题)

第五讲 平均数问题(一)

例1 小宏参考了数学竞赛夏令营。他五次测验的平均成绩是88.5分，每次测验的满分是100分，为了使平均成绩尽快达到92分以上，那么小宏至少要再连续考多少次满分？

解：每再考一次满分可以比92分多100－92＝8(分)，而前5次的成绩总共比预期的平均分92分少(92－88.5)×5＝17.5(分)，所以，至少要再考17.5÷8＝2.1875≈3(次)满分。

答：至少要再考3次满分。

例2 一次考试，某小组10人的平均成绩是87分，前八位的平均成绩是90分，第九位比第十位多2分。第十位同学得了多少分？

解：第九位同学与第十同学成绩的差已经知道，如果再能知道第九位同学与第十位同学成绩的和，就可以用“和差法”求出第十位同学的成绩。因为十位同学成绩的和是87×10＝870(分)，而前八位同学成绩的和是90×8＝720(分)，所以第九位同学与第十位同学成绩的和是870－720＝150(分)，由此得到第十位同学的成绩是(150－2)÷2＝74(分)。

答：第十位同学的成绩是74分。

例3 五年级甲班有52人，乙班有48人。某次考试，甲班全体学生的平均分为78分，乙班的平均分比甲班的平均分高5分。问两班的平均分各是多少？

解：两班的人数为52＋48＝100(人)，他们的总分是78×100＝

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7800(分)。如果乙班的平均分下降5分，总共减少5×48＝240(分)，乙班的平均分就和甲班一样，所以甲班的平均分是(7800－240)÷100＝75.6(分)，乙班的平均分是75.6＋5＝80.6(分)。

答：甲班的平均分是75.6分，乙班的平均分是80.6分。

例4 甲、乙、丙三人的平均体重是63千克，甲与乙的平均体重比丙重3千克，甲比丙重2千克。乙的体重是多少千克？

解法一：如果丙的体重增加3千克，丙的体重将达到甲与乙的平均体重，所以丙的体重是(63×3＋3)÷3－3＝61(千克)，甲的体重是61＋2＝63(千克)，乙的体重是63×3－61－63＝65(千克)。

解法二：如果甲与乙的体重各减少3千克，甲与乙的平均体重就与丙的体重相等，所以丙的体重是(63×3－3×2)÷3＝61(千克)，甲的体重是61＋2＝63(千克)，乙的体重是63×3－61－63＝65(千克)。

解法三：甲与乙的平均体重比丙重3千克，也就是甲与丙的体重差和乙与丙的体重差之和是3×2＝6(千克)，如果把这6千克平均分成3份，给丙1份，那么，丙的体重就会达到三个人的平均体重，所以丙的体重是63－6÷3＝61(千克)。因为甲比丙重2千克，而甲与丙的体重差和乙与丙的体重差之和是6千克，所以，乙比丙重6－2＝4(千克)，乙的体重是61＋4＝65(千克)。

答：乙的体重是65千克。

练 习 五

1．小华第一次和第二次数学测验的平均成绩是82分，第三次测验后，三次测验的平均成绩比前两次的平均成绩提高了3分，他第三次测验得了多少分？

2．在一次登山活动中，小刚上山每分钟走40米，18分钟到达山顶。然后按原路下山，每分钟走60米。小刚上下山平均每分钟走多少米？

3．实验小学五年级四个班为“希望工程”捐款，一班、二班、三班平均每班捐240元，二班、三班、四班平均每班捐260元。已知一班捐款220元，那么四班捐款多少元？

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4．有八个数排成一列，它们的平均数是9.3。已知前五个数的平均数是10.5，后四个数平均数是11.3，那么第五个数是多少？

5．已知甲、乙、丙三个数的平均数是6，甲、乙两个数的平均数是4，乙、丙两个数的平均数是5.3。那么乙数是多少？甲、丙两个数平均数是多少？

6．三个小朋友去测体重，小明和小刚的平均体重是40千克；小明、小刚、小华的平均体重是38千克。已知小刚比小明重4千克，他们三人的体重分别是多少千克？

7．已知8个数的平均数是50，如果把其中一个数改成90，那么平均数就变成60，被改动的数原来是多少？

8．王师傅前4天平均每天生产机器零件26个，第5天生产的零件数比这5天的平均数还多4.8个。问王师傅第5天生产零件多少个？

9．小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分。问这一次是第几次测验？

10．一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时每小时行40千米。为了按时到达，后3小时每小时要加快5千米。求汽车的平均速度是每小时多少千米？

11．明明家共有5口人，如果不算明明，其余4个人的平均体重是56千克。如果算上明明，全家的平均体重就要减少2.6千克。问明明的体重是多少千克？

12．张明前5次数学测验的平均成绩是88分，每次测验的满分为100分，为了使平均成绩尽快达到92.5分，张明要连续考多少次满分？

第六讲 平均数问题(二)

例1 赵、钱、孙、李四个小朋友，每两人合称一次体重，一共称了6次：赵、钱的平均体重是34.5千克；赵、孙的平均体重是33.5千克；赵、李的平均体重是36千克；钱、孙的平均体重是35千克；钱、李的平均体重是37.5千克；孙、李的平均体重是36.5千克。问这四位小朋友的平均体重是多少千克？

解法一：(1)赵、钱的体重是34.5×2＝69(千克)； ①

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(2)赵、孙的体重是33.5×2＝67(千克)； ② (3)赵、李的体重是36×2＝72(千克)； ③ (4)钱、孙的体重是35×2＝70(千克)； ④ (5)钱、李的体重是37.5×2＝75(千克)； ⑤ (6)孙、李的体重是36.5×2＝73(千克)。 ⑥

在上面的6个算式中每人的体重都出现了3次，所以这四位小朋友的平均体重是(69＋67＋72＋70＋75＋73)÷3÷4＝35.5(千克)。

解法二：把①、⑥的得数相加就是四位小朋友的体重，所以四位小朋友的平均体重是(69＋73)÷4＝35.5(千克)。

同理，用②和⑤、③和④也能算出四位小朋友的平均体重。 答：四位小朋友的平均体重是35.5千克。

例2 某班女同学的人数是男同学的2倍，女同学的平均身高是154厘米，男同学的平均身高是160厘米。求全班同学的平均身高是多少厘米？

解：这里没有给出男、女同学的人数，而只知道两者的倍数关系，所以不妨设男同学为1人，女同学为2人，于是得出全班同学的平均身高是(154×2＋160)÷(2＋1)＝156(厘米)。

答：全班的平均身高是156厘米。

同学们可以换一些别的数试试看，但是女同学的人数必须是男同学的2倍，看看得数是不是一样。

例3 有1000名大学毕业生参加公务员考试，录取了150人。录取者的平均成绩比未录取者的平均成绩高38分，全体考生的平均成绩是55分。已知录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分。问录取分数线是多少分？

解：录取者总共比未录取者多38×150＝5700(分)，正是这些分参与全体平均以后才使全体平均分达到55分，所以未录取者的平均成绩比全体平均分少5700÷1000＝5.7(分)，是55－5.7＝49.3(分)。录取者的平均分是49.3＋38＝87.3(分)，录取分数线是87.3－6.3＝81(分)。

答：录取分数线是81分。

例4 七名评委给一位歌唱演员打分，平均分为9.6分。去掉一个最高分，平均分为95.5分；去掉一个最低分，平均分为9.7分。如果最高分和最低分都去掉，这位演员的平均分是多少分？

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解：七位评委所打的总分是9.6×7＝67.2(分)，去掉一个最高分后剩下6位评委所打的总分是9.55×6＝57.3(分)，去掉一个最低分后剩下6位评委所打的总分是9.7×6＝58.2(分)。所以去掉一个最高分和一个最低分后剩下5位评委所打的总分是58.2－(67.2－57.3)＝48.3(分)，最后的平均分是48.3÷5＝9.66(分)。

答：如果最高分和最低分都去掉，这位演员的平均分是9.66分。

练 习 六

1．某班学生，9岁的有15人，10岁的有17人，11岁的有18人。这个班的平均年龄是多少岁？

2．张丰从甲地跑步到乙地。已知两地相距7千米，他先以每分钟250米的速度跑了10分钟，然后以每分钟180米的速度跑到乙地。求张丰从甲地到乙地的平均速度是每分钟多少米？

3．五(1)班有学生40人，数学期末考试有三位同学因病缺考，平均成绩是80分。后来这三位同学补考，成绩分别是88分、87分、85分，这时全班同学的平均成绩是多少分？

4．一个学生前六次测验的平均分是93分，比第七次测验的平均分高3分，他第七次测验得了多少分？

5. 10位同学三次考试的平均分是81分，去掉最高分和最低分，其余8位同学的平均分是80分，如果已知最高分与最低分相差20分，那么最高分是多少分？

6．一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时每小时行90千米，后2小时由于道路原因，每小时少行5千米。汽车从甲地到乙地的平均速度是每小时多少千米？

7．某班女同学的人数是男同学的一半。男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克。全体同学的平均体重是多少千克？

8．小张、小李两人的平均身高是1.70米，小李、小王两人的平均身高是1.74米，小王、小张两人的平均身高是1.60米。小张、小李、小王三人的平均身高是多少米？

9．A、B、C、D四位小朋友在一次测验中，A、B、C三人的平均成绩是80分，B、C、D三人的平均成绩是85分，C、D、A三人的平均成绩是83分，D、

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A、B三人的平均成绩是82。A、B、C、D四人的平均成绩是多少分？

10. 200名小学生参加英语竞赛，有24名学生获奖。获奖者的平均成绩比未获奖者的平均成绩高35分，全体参赛学生的平均成绩是60分。已知获奖分数线比获奖者的平均成绩低5.8分，那么获奖分数线是多少分？

11．五年级(1)班统计数学考试成绩，平均成绩为85.23分，事后复查，发现把吴月的成绩96分误作69分了，重新计算后，该班数学平均成绩为85.77分。这个班有多少人？

12．十个参赛者的平均分是82分，前六人的平均分是83分，后六人的平均分是80分。第五人和第六人的平均分是多少？

第七讲 综合练习(一)

1．计算 8.27＋9.34＋1.73－2.51－6.34－0.49＝ 。

2．计算 15.37×7.88－0.937×78.8＋1.537×21.2－9.37×2.12＝ 。

3. 一个小数的小数点, 向右移动一位与向左移动一位所得的两数之差是44.55, 原来的小数是 。

4．一个数与它自己相加、相减、相除, 再把所得的和、差、商相加, 得 7.4, 这个数是 。

5．在方框中填入“＞”、“＜”或“＝”。

0.3÷0.03×0.003÷0.0003 10÷100×1000÷10000

6．给下面的循环小数再添上一个循环点，使所得到的新的循环小数尽可能大。

0.672726

7．给下面四个小数添上循环点，使不等式成立。 0.2007＜0.2007＜0.2007＜0.2007

8．某人工作一年的报酬是8400元和一台电冰箱，他干了七个月不干了，他得到3900元和一台电冰箱。这台电冰箱值 元。

9．小明语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，其中语文、数学平均90分，语文、英语平均93.5分，小明数学得了 分。

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..... 10．一次数学考试，甲、乙的成绩和是184分，乙、丙的成绩和是187分，丙、丁的成绩和是188分，甲比乙多1分，甲得了 分。 11．第一个口袋里有240个乒乓球，第二个口袋里有60个乒乓球。每次从第一个口袋里取出12个乒乓球放入第二个口袋里，同时从第二个口袋里取出7个乒乓球放入第一个口袋里(以上的过程称为一次)，为了使两个口袋里的乒乓球同样多，需要这样做 次。

12．某班有一个学习小组共10人，一次数学测验时李宏因病缺考，其余9人的平均成绩是89分，后来李宏的补考成绩比全组10人的平均成绩还高5.4分。李宏的补考成绩是 分。

第八讲 行程问题(一)

例1 从A站开往B站的公共汽车每隔30分钟开出一班，某乘客到A站时汽车刚好开出，他立即步行从A站出发，速度为每小时5km，向前走了3km时，被第二辆汽车赶上。再向前走5km又与第二辆汽车在返回的途中相遇。已知这辆汽车在B站停留了30分钟，求A、B两站的距离是多少千米？

解：画出示意图：

3千米 5千米

A C D B

如图，乘客从A站走到C点，用了3÷5＝0.6(小时)，第二辆汽车在乘客出发后0.5小时后才出发，行到C点所用的时间是0.6－0.5＝0.1(小时)，所以汽车的速度是每小时3÷0.1＝30(km)。乘客从C点走到D点用了5÷5＝1(小时)，而汽车从C点到B站再返回D点，共用了1小时，其间去掉在B站停留的0.5小时，实际只行了0.5小时，所行路程是30×0.5＝15(km)。所以从D点到B站的距离是(15－5)÷2＝5(km)，由此可以求出A、B两站之间的距离是3＋5＋5＝13(km)。

例2 某小学三、四年级学生528人排成4路纵队去看电影，队伍的速度是每分钟25m，前后两人都相距1m。现在队伍要通过一座桥，整个队伍从上桥到离桥共需16分钟。问这座桥长多少米？

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解：画出示意图：

尾 队伍 头 尾 队伍 头

桥

16分钟

从图上可以看出，队伍16分钟所行的距离，包括队伍本身的长度和桥的长度。队伍共有528÷4＝132(排)，共有132－1＝131个间隔，所以队伍的长度是131m，桥的长度是25×16－131＝269(m)。

答：桥的长度是269m。

例3 某城有一段环形公路，按逆时针方向行驶的公共汽车，每隔10分钟从车站发一辆。王师傅驾驶一辆货车以与公共汽车同样的速度按顺时针方向在同一线路上行驶，那么，在半小时内，王师傅最多能遇到几辆公共汽车？

解：因为王师傅的货车与公共汽车的速度相同而行驶的方向相反，所以，两车相遇的时间间隔只有10÷2＝5(分钟)，半小时相当于30÷5＝6个时间间隔，因此，在半小时中，王师傅最多能遇到6＋1＝7(辆)公共汽车。

答：在半小时中，王师傅最多能遇到7辆公共汽车。

例4 一艘轮船在江中顺水航行48千米需要4小时，逆水航行48千米需要6小时。这艘轮船从上游A城驶向下游B城，已知两城的水路长72千米，开船时，一位旅客从窗口抛出一块木板。问：船到B城时，木板离B城还有多少千米？

解：这艘轮船顺水航行和逆水航行同样的距离，之所以需要的时间不同，是因为顺水航行时，由于水流的助力，实际速度等于船在静水中的速度加上水流的速度，而逆水航行时，由于水流的阻力，实际速度等于船在静水中的速度减去水流的速度。根据已知条件，这艘轮船的顺水速度是每小时48÷4＝12(km)，逆水速度是48÷6＝8(km)，按照和差问题的解法，水流的速度是每小时(12－8)÷2＝2(km)。这艘轮船从A城到B城需要航行72÷12＝6(小时)，在这段时间内，木板只漂流了2×6＝12(km)，所以，当船到B城时，木板离B城还有72－12＝60(km)。

18

练 习 八

1．小明和小强为了磨炼自己的意志，决定步行外出旅游。第一天走了27km，第二天走了18km，第三天走了21km，三天共走了22小时。如果每天步行的速度相同，这三天中，他们每天走了多少小时？

2．小明家离学校1360m，他从家步行到校，到校后发现忘记带数学书了，于是马上回家去取书随即又返回学校，共用了40分钟。他平均每分钟走多少米？

3．一列火车长100m，以每秒20m的速度通过一座500m长的桥。列车通过这座桥需要多少秒？

4．两个码头相距360km。一艘汽艇顺水行完全程要9小时，逆水行完全程要12小时。这艘汽艇在静水中每小时航行多少千米？这条河水流的速度是每小时多少千米？

5．甲、乙两个码头相距336km。一艘船从乙码头逆水而上，行了14小时到达甲码头。已知船速是水速的13倍，这艘船从甲码头返回乙码头需要多少小时？

6．一艘轮船在两个码头之间航行。如果顺水航行需10小时，逆水航行需14小时。已知水速是每小时4km，那么，这艘轮船的速度是每小时多少千米？两个码头之间的距离是多少千米？

7．一艘轮船顺水航行120km，逆水80km，一共用了16小时；顺水航行60km，逆水航行120km，一共也用了16小时。那么，水流的速度是每小时多少千米？

8. 猎狗发现离它 150 m有一只兔子正在逃跑, 于是拔腿就追。在兔子前方 500 m处有一片灌木丛, 如果兔子每秒跑 14 m, 猎狗每秒跑 18 m, 猎狗能在兔子钻入灌木丛前抓住它吗?

9．两地相距44km。如果甲、乙二人分别从两地同时出发相向而行，那么4小时后相遇；如果他们从同一地点同时出发同向而行，那么3小时后甲在乙前面9km。求甲、乙二人的速度分别是每小时多少千米？

10．强强和芳芳练习跑步，如果芳芳先跑18m，强强跑9秒钟就可以追上芳芳；如果芳芳先跑4秒，强强要12秒才可以追上芳芳。求强强和芳芳的速度各是每秒多少米？

19

11．甲、乙两车同时同地出发去同一目的地。甲车每小时行40km，乙车每小时行35km。途中甲车因故停了3小时，结果甲车比乙车迟到了1小时。求两地间的距离是多少千米？

12．甲、乙两地相距48km，其中有一部分是上坡路，其余是下坡路。某人骑自行车从甲地到乙地后，沿原路返回，去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分。已知自行车上坡的速度是每小时10km，求自行车下坡的速度是每小时多少千米？

第九讲 行程问题(二)

例1 甲、乙两地相距420千米，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行42km，第二辆汽车每小时行28km，第一辆汽车到达乙地后立即返回，途中与第二辆汽车相遇。两车从同时开出到相遇一共用了多少小时？

解法一：两车从开出到相遇所用的时间，包括第一辆汽车从甲地到乙地所用的时间，和从乙地返回到与第二辆汽车相遇所用的时间。

设第二辆汽车到达乙地时，第一辆汽车刚到达A地，画出示意图：

A

甲地 乙地

这时，第一辆汽车行了420÷42＝10(小时)，第二辆汽车也行了10小时，行了28×10＝280(km)，A地与乙地相距420－280＝140(km)，又过了140÷(42＋28)＝2(小时)，两车相遇，所以，两车从开出到相遇一共用了10＋2＝12(小时)。

解法二：演示发现，两车从开出到相遇一共行了全程的2倍，所以一共用了420×2÷(42＋28)＝12(小时)。

答：两车从同时开出到相遇一共用了12小时。

例2 一架敌机在离我基地2千米处遭遇我军高炮阻击，立即掉头逃窜，速度是每秒400m。40秒后，我机从基地起飞追击，如果要在2分钟内追上敌机，我机每秒钟至少要飞多少米？

解：当我机起飞时，敌机与我基地相距2000＋400×40＝18000(m)，为了在2分钟内追上敌机，我机每秒钟至少应比敌机快18000÷(60×2)＝150(m)，每秒钟要飞400＋150＝550(m)。

20

练 习 十

1．某工程队修一条公路，原计划每天修100m，60天可以完工，由于在实际施工中改进了技术，结果比原计划每天多修25m。问：可以提前多少天完工？

2．张师傅加工一批机器零件，原计划每天做720个，实际每天比原计划多做80个，结果提前3天完成了任务，这批机器零件有多少个？

3．一个学生在计算两个整数相乘时，错把一个因数个位上的5看成了8，算出积是5632；另一个学生错把同一个因数十位上的8看成了6，算出积是4160。问：这两个整数相乘，正确的积是多少？

4．一个正方形，如果把它的一条边平均分成4份，缩小1份，另一条相邻的边增加2cm，所得的长方形与原来的正方形面积相等。那么，原正方形的面积是多少平方厘米？

5．亮亮从家步行去学校，每分钟5千米，回家时骑自行车，每小时行13千米。骑自行车比步行少用4小时，亮亮家到学校的距离是多少米？(河北省唐山市第四届小学数学竞赛试题)

6．汉朝大将韩信让每位将领带16个士兵，结果少14个士兵；他又让每位将领带15个士兵，结果多16个士兵。问：韩信军中共有多少位将领，多少个士兵？

7．有1元和2元的人民币共18张，总面值是28元。问：两种人民币各多少张？

8．鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚68只。问：鸡、兔各有多少只？

第十一讲 图形问题(一)

例1 如图，在三角形ABC中，D是AB的中点，E是DB的中点，F是BC的中点，如果三角形ABC的面积是96cm，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

C

F

A D E B

26

2

解：三角形ABF与三角形ABC有公用的顶点A，并且它们的底BC和BF在同一条直线上，所以它们的高相等，而三角形ABF的底BF只有三角形ABC的底BC的一半，所以三角形ABF的面积等于三角形ABC的一半，是96÷2＝48(cm)。同理，三角形AFD的面积是48÷2＝24(cm2)，三角形DEF的面积是24÷2＝12(cm2)，因此，三角形AEF的面积是24＋12＝36(cm2)。

答：三角形AEF的面积是36 cm2。

例2 如图所示，大正方形的边长为12 cm，小正方形的边长为10 cm，求阴影部分的面积。

解：阴影三角形的面积无法直接求出，可以用两个正方形面积的和，减去阴影部分周围三个三角形的面积。所以，阴影部分的面积是

12＋10－12×(12＋10)÷2－10÷2－12×(12－10)÷2 ＝144＋100－132－50－12 ＝50(cm2)。

答：阴影部分的面积是50 cm2。

例3 把三角形ABC的边AB三等分，AC四等分，如图。已知三角形ADE的面积是1 cm，求三角形ABC的面积是多少平方厘米？

A E D

B C 22

2

2

2

解：三角形AEC的面积是三角形AED的4倍，三角形ABC的面积是三角形AEC的3倍，所以三角形ABC的面积是三角形AED的4×3＝12倍，是12(cm2)。

答：三角形ABC的面积是12 cm2。

例4 一个任意四边形ABCD，将各边延长一倍，得到四边形EFGH如图。已知四边形ABCD的面积是5 cm，那么四边形EFGH的面积是多少平方厘米？

H E A D

27 2

B C G

F 解：连接BD、BE，三角形ABD、ABE、BEF的面积相等，所以三角形AEF的面积是三角形ABD的2倍，同理，三角形CHG的面积是三角形BCD的2倍，所以三角形AEF与CGH面积的和是四边形ABCD的2倍；同理，三角形EDH与BFG面积的和也是四边形ABCD的2倍。因此，四边形EFGH的面积就是ABCD的5倍，是5×5＝25(cm2)。

答：四边形EFGH的面积就是25 cm2。

练 习 十 一

1．如图所示，在直角梯形ABCD中，AD＝8 cm，CD＝10 cm，BC＝12 cm，CG＝GD。阴影部分的面积是多少平方厘米？

A D

G

B C

2．如图所示，将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E， AC边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积是1 cm2，求三角形DEF的面积。

D A B C E

F 3．图中，两个等腰三角形ABC和DEF的直角边分别是8 cm和6 cm，求阴影部分的面积。 A

D

G

28

B F C E

4．图中，阴影部分的面积是10 cm2，AD＝DB，CE＝EB，求三角形ABC的面积。 C

EE

A D B

5．如图，在平行四边形ABCD中，EF与AC平行，E是CD的中点，连接BE、AE、BF、CF，那么，与三角形BEC面积相等的三角形有哪些？

A F D

E

B C 6．下图是两个完全一样的直角梯形重叠在一起形成的，求阴影部分的面积是多少平方厘米？

10 25 (单位：cm)

7．如图，梯形ABCF的下底BC为12 cm，高AB为18 cm，CE的长度是ED的2倍。求DF的长度。 A D F

E

B C 8．图中，ABCD是长方形。三角形AGE的面积是三角形CGE的1.5倍，正方形EFCD的边长是12 cm。求三角形ACE的面积是多少平方厘米？

A E D

B F C 9．如图，已知AB＝3，AE＝4，DC＝5，CF＝6，AE⊥ED，CF⊥BF。求阴影部分的面积。

3 B F A 6 4

29

E D 5 C

10．如图，已知平行四边形的面积是120 cm2，A、B分别是两边的中

点。求阴影部分的面积。

B

A 11.图中ABCD是长方形,AD＝7.2 cm, CD＝5 A B E F cm, CDEF是平行四边形。如果BH＝3 cm,求阴影

部分的面积。(1994 年小学数学奥林匹克决赛题) H

D C

12. 图中有六个正方形, 较小的正方形都是由较大的正方形的四边中点连接而成。已知最大的正方形的边长为10cm, 那么最小的正方形面积是多少平方厘米？(1998 年小学数学奥林匹克预赛题)

第十二讲 图形问题(二)

例1 平行四边形ABCD的周长为75cm，以BC为底时高为14cm，以CD为底时高为16cm。求平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？(第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)

A D

14 16 F

B E C

解：因为平行四边形的面积＝底×高，所以BC×AE＝CD×AF，即BC×14＝CD×16，而BC＋CD＝75÷2＝37.5(cm)，所以，CD＝BC×14÷16＝BC×0.875。于是BC＋BC×0.875＝37.5，BC＝37.5÷1.875＝20(cm)。因此平行四边形ABCD的面积是20×14＝280(cm2)。

例2 左下图，四边形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四个三角形。已知BE＝80 cm，DE＝40 cm，CE＝60 cm，AE＝30 cm。问：丙、丁两个三角

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