【创新设计】北京体育大学附中版高考数学一轮复习 函数概念与基

北京体育大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破：函数概念

与基本处等函数I

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若函数y=x 2+(2a －1)x+1在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－23，+∞）

B ．（－∞，－

23] C ．[23，+∞） D ．（－∞，23] 【答案】B

2．函数x

x x f 2ln )(-=的零点所在大致区间是( ) A ．（1，2） B ．（2，3） C ．)1

,1(e 和)4,3( D ．),(+∞e

【答案】B

3．已知函数F(x)=|lgx|,若0

A ．)+∞

B ．)+∞

C ．(3,)+∞

D ．[3,)+∞

【答案】C

4．如果1122log log 0x y <<，那么( )

A ．1y x <<

B ．1x y <<

C ． 1y x <<

D ． 1x y <<

【答案】C 5．设2()4f x x x m =-+,4()g x x x

=+在区间[1,3]D =上,满足：对于任意的a D ∈， 存在实数0x D ∈，使得00()(),()()f x f a g x g a ≤≤且00()()g x f x =；那么在[1,3]D =上()f x 的最大值是( )

A ．133

B ．313

C ．4

D ．5 【答案】D 6．函数121

-=x y 的图象关于x 轴对称的图象大致是( )

【答案】B

7．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数都有)2()2(t f t f -=+成立，在函数值

)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是( )

A ．)1(-f

B ．)1(f

C ．)2(f

D ．)5(f

【答案】B

8．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数(2)

()=ln f x g x x

的定义域是( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]

D ．[0,1]

【答案】A

9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2

f -=( )

A ．

12

B ．1 4

-

C ．

14

D ． -

12

【答案】D 10．不等式

对于

恒成立，那么的取值范围是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

11．若定义在R 上的二次函数b ax ax x f +-=4)(2在区间［0，2］上是增函数，且)0()(f m f ≥，则实数m 的取值范围是( ) A ．40≤≤m B ．20≤≤m C ．0≤m D ．0≤m 或4≥m

【答案】A

12．已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是( )

A ．11()(2)()43f f f >>

B ．1

1(2)()()34

f f f >> C ．11()(2)()34

f f f >>

D ． 11()()(2)43

f f f >>

【答案】D

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知函数221,1(),1

x x f x x ax x ?+<=?+≥?，若((0))4f f a =，则实数a 等于 。 【答案】2

14．记3()log (1)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则方程1()8f x -=的解x = ．

【答案】2

15．若二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞，则

2244a c c a +++的最小值为 . 【答案】2

1 16． 已知,,52)(212x x x x x f ≠+-=且)()(21x f x f =，则)(21x x f +的值为____________

【答案】5

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．已知函数()242f x ax x =+-满足对任意1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++??< ???

． (1）求实数a 的取值范围；

(2）试讨论函数()x f y =在区间[]1,1- 上的零点的个数；

(3）对于给定的实数a ，有一个最小的负数()M a ，使得(),0x M a ∈????时，()44f x -≤≤都成立，则当a 为何值时，()M a 最小，并求出()M a 的最小值．

【答案】（1）∵

， 又∵，∴必有，∴实数的取值范围是．

(2），由（1）知：

，所以。

由 ，知对称轴 , ① 当时，总有，<0 ，， 故时，在上有一个零点；

②当时， ，即时，在

上有两个零点；

③当时，有

，<0，

， 故

时，在上有两个零点。 综上：当

时，

在

上有一个零点；当

时，

在

上有两个零点。

（3）∵，

显然，对称轴．

①当，即时，，且．

令，解得，

此时取较大的根，即，

∵，∴．

②当，即时，，且．

令，解得，

此时取较小的根，即，

∵，∴． 当且仅当时，取等号

∵

，∴当

时，

取得最小值－3．

18．设n 为正整数，规定：f n (x)＝f(f(…f(x)…),n 个f )，已知2(1),01

()1,12

x x f x x x -≤≤?=?

-<≤?

(1)解不等式f(x)≤x ；

(2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x)＝x ；

(3)探求20128()9f

(4)若集合B ＝{x|f 12(x)＝x ，x ∈0,2}，证明：B 中至少包含8个元素．

【答案】(1)①当0≤x ≤1时，由2(1－x)≤x 得x ≥23，∴23

≤x ≤1. ②当1

由①②得f(x)≤x 的解集为??????????x ???

23≤x ≤2． (2)∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1，

∴当x ＝0时，f 3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；

当x ＝1时，f 3(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；

当x ＝2时，f 3(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.

即对任意x ∈A ，恒有f 3(x)＝x.

(3)f 1? ????89＝2? ????1－89＝29

， f 2? ????89＝f ? ????f 1? ????89＝f ? ????29＝149

， f 3? ????89＝f ? ????f 2? ????89＝f ? ??

??149 ＝149－1＝59， f 4? ????89＝f ? ????f 3? ????89＝f ? ????59＝2? ????1－59＝89

， 一般地，f 4k ＋r ? ????89＝f r ? ??

??89(k ，r ∈N)． ∴f 2012? ????89＝f 4? ????89＝89

． (4)∵f ? ????23＝23，∴f n ? ????23＝23

， 则f 12? ????23＝23

，∴23∈B. 由(2)知，对x ＝0或1或2，恒有f 3(x)＝x ，

∴f 12(x)＝f 4×3(x)＝x ，

则0,1,2∈B.

由(3)知，对x ＝89，29，149，59

，恒有f 12(x)＝f 4×3(x)＝x ， ∴89，29，149，59

∈B. 综上所述，23，0,1,2，89，29，149，59

∈B. ∴B 中至少含有8个元素．

19．某地区的农产品A 第x 天(120)≤≤x 的销售价格50|6|=--p x （元百斤），一农户在第x 天（120≤≤x ）农产品A 的销售量40|8|=+-q x （百斤）.

(1）求该农户在第7天销售家产品A 的收入；

(2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？

【答案】（1）由已知第7天的销售价格49=p ，销售量41=q .

所以第7天的销售收入749412009=?=W （元）.

(2）设第x 天的销售收入为x W ，则

(44)(48)(16)2009(7)(56)(32)(820)+-≤≤??==??-+≤≤?

x x x x W x x x x ，

当16≤≤x 时，2(44)(48)(44)(48)[

]21162

++-=+-≤=x x x W x x ， 当且仅当2=x 时取等号，所以当2=x 时取最大值21936=W ， 当820≤≤x 时，2(56)(32)(56)(32)[

]19362

-++=-+≤=x x x W x x ， 当且仅当12=x 时取等号，所以当12=x 时取最大值21936=W ， 由于2712>>W W W ,

所以第2天该农户的销售收入最大.

20．设().232c bx ax x f ++=若0=++c b a ()01>f ，求证：

(Ⅰ)0>a 且12-<<-a

b ； (Ⅱ)方程()0=x f 在()1,0内有两个实根.

【答案】（I ）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>.

由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；

由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>. 故21b a

-<<-. (II ）函数2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2

3(,)33b ac b a a

--， 在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333

b a <-<. 又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a

c ac f a a

+--=-< 又因为2()32f x ax bx c =++在(0,)3b a -上单调递减，在(,1)3b a

-上单调递增， 所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -与(,1)3b a -内分别各有一实根。 故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.

21．当x ∈[0,2]时,函数2()(1)43f x a x ax =++-在x=2时取得最大值,求实数a 的取值范围.

【答案】若a+1=0，即1a =-,则()43f x x =--，不在x=2时取得最大值.

若10a +>,即1a >-,则21a a -

+≤1,解得a ≥13

-. 若10a +<,即1a <-,则21a a -+≥2,解得a ≥12

-,与1a <-矛盾. 综上,a 的取值范围是a ≥13-. 22．已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(0,1)x ∈时，2().41

x

x f x =+ (1）证明()f x 在(0,1)上为减函数；

(2）求函数()f x 在[]1,1-上的解析式；

(3）当λ取何值时，方程()f x λ=在R 上有实数解.

【答案】（1）设1212,(0,1)x x x x ∈<且则，

12121222()()4141

x x x x f x f x -=-++ 1221122412414141x x x x x x +-+=++（）（）（）（） 211212+22214141x x x x x x --=++（）（）（）（）

1201x x <<<，211222,21x x x x +∴>>

1212()-()0,()()f x f x f x f x ∴>>即，

∴()f x 在(0,1)上为减函数.

(2）(1,0)(0,1)x x ∈-∴-∈,

2()41

x

x f x --∴-=+, ()f x 又为奇函数，2()()41

x

x f x f x --∴-==-+ 2()41

x

x f x --∴=-+ (1)=(1)(1)=(1)f f f f ---又，且 (1)(1)=0f f ∴=-

2(0,1),4100,1,()2(1,0)41x

x x x x x f x x ?∈?+?=±?∴=??∈-?+??

(3）若(0,1),x ∈21()1

4122x x x x

f x ∴==++ 又152(2,),22x x +∈ 21()(,),52f x ∴∈

若(1,0),x ∈-21()14122

x x x f x ∴=-=-++ 12()(,),25

f x ∴∈-- λ∴的取值范围是1221|=0,<<<.2552λλλλ??<-???

?或-,或

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