3.1 二维形式柯西不等式

3.1 二维形式柯西不等式

教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；

培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。 教学过程： 一、温故

不等式的已知 a,b,c,d?R,求证：a?b及说明等号取到的条件 二、授新

1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若a,b,c,d?R,则a?b当且仅当bc?ad时取等号 此不等式具有对称美 2、而且容易得出：?22??c2?d2???ac?bd?证明5方法

2?22??c2?d2???ac?bd?

2?a2?b2??c2?d2???ac?bd?2?ac?bd

显然当a2?b2?1,c2?d2?1时，ac?bd?1 和a?b22c2?d2?a?b22c?d?ac?bd?ac?bd

22所以还有变式：若a,b,c,d?R,则?a2?b2??c2?d2??ac?bd

a2?b2c2?d2?ac?bd

3、柯西不等式的向量证法证法六、构造向量法

????构造向量???a,b?,???c,d?,设?,?间的夹角为?，

????????????????则??????cos????????

即ac?bd?所以a?b当

且

?????a??c22?b2??c2?d2? 2?22?d2???ac?bd?

仅当

??????0或??0??或

cos??1即

?????,?共线，即

??k???a,b??k?c,d??ad?bc?k?cd?cd??0时取等号，

即当且仅当ad?bc?0时取等号

????????????????定理2：（柯西不等式的向量形式）设?,?是两个向量，则??????

????????当且仅当?,?中有一个是零向量或存在实数k使得??k?时，等号成立。

4、用柯西不等式的证明：

定理3、（二维形式的三角形不等式）设x1,x2,y1,y2?R，那么

22x12?y12?x2?y2??x1?x2???y1?y2? 222222证明：因为

?x?y?x?y2121?22222?x12?y12?2x12?y12?x2?y2?x2?y2

22?x12?y12?2x1x2?y1y2?x2?y222 ?x12?y12?2?x1x2?y1y2??x2?y2??x1?x2???y1?y2?21212222所以x?y?x?y?22?x1?x2???y1?y2?

225、此不等式的几何意义很清楚： 二维形式的三角形不等式：

三角形OPP12中，O?0,0?,P1?x1,y1?,P2?x2,y2? 且OP1?OP2?PP12

而且当三角形PP12P3在任意位置时P1?x1,y1?,P2?x2,y2?,P3?x3,y3?显然有：

?x1?x3???y1?y3?22??x2?x3???y2?y3?22??x1?x2???y1?y2?

222

6、二维形式的柯西、三角形不等式的应用 例1、 已知a,b?R，求证a?b证明：由柯西不等式得：a?b??44??a2?b2???a3?b3?

2?44??a?b2???a2a?b2b???a3?b3?

22例2、设a,b?R，a?b?1求证

11??4 ab证：

1111??11?????a?b??????a?b??4 ababab????亦可用

a?b2证之。 ?112?ab例2、 求函数y?5x?1?10?2x的最大值。 解：y?5?x?1?2?5?x?5?当且仅当2?x?1?5?5?x即x?2???22x?1???25?x?2?63 127时函数取最大值63 27讨论1、在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形。

解：设长为x，则宽为4R2?x2，

于是周长l?2x?4R2?x2?21?x?1?4R2?x2 由柯西不等式l?2x2?4R2?x212?12?42R

????x4R2?x2当且仅当??x?2R时取等号

11所以当长为2R宽为4R2?x2?2R即取正方形时周长最大，最大值为42R 当然设角变量解之也是方便的

讨论2、解方程4x?3?21?2x?15 ??3解：因为15??22x??21?2x??????2???3???6?2x??1?2x??15

2??所以当且仅当21?2x?22x??2?22???3?22???2x?????????2????1?2x?

???231?x?? 23课堂小结：1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若a,b,c,d?R,则

?a2?b2??c2?d2???ac?bd?，当且仅当bc?ad时取等号

22、变式：若a,b,c,d?R,则?a2?b2??c2?d2??ac?bd

a2?b2c2?d2?ac?bd

显然当a?b?1,c?d?1时，ac?bd?1

2222????????????3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设?,?是两个向量，则??????

????????当且仅当?,?中有一个是零向量或存在实数k使得??k?时，等号成立。

4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设x1,x2,x3,y1,y2,y3?R，那么

22x12?y12?x2?y2??x1?x2???y1?y2? 22?x1?x3???y1?y3?22??x2?x3???y2?y3?22??x1?x2???y1?y2?

225、配凑的思想

六、课后作业：P 36—37 1--9 课外: <成才之路> P 55

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