矩阵位移法(单元分析)

第七章 矩阵位移法主要内容： 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 整体刚度矩阵 等效结点载荷 计算步骤与算例

7.1 概述矩阵位移法是结构矩阵分析方法的一种. 以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行分 析，并通过计算机编程解决各种杆系结构受 力、变形等计算的方法。 理论基础：位移法 分析工具：矩阵论 计算手段：计算机技术

基本思想: 化整为零

5

632

6

------ 结构离散化

将结构拆成杆件,杆件称作单元. 单元的连接点称作结点. 对单元和结点编码.

23

54

11

4

单元分析基本未知量:结点位移单元杆端力

单元杆端位移------ 整体分析

e

集零为整结点外力

单元杆端力 结点外力 单元杆端位移(杆端位移=结点位移) 结点外力

结点位移

7.2 局部坐标下的单元刚度矩阵一.离散化将结构离散成单元的分割点称作结点. 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等 整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。 坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系. 曲杆结构:以直代曲. 变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆 6 5 (13,14,15) (16,17,18)

6

2 1

3

54 (10,11,12)

3 (7,8,9)

4Y X

1 (1,2,3)

2 (4,5,6)

e e e e e F 1 u1 M e 2 v2 M 1 e e e F 1 2 u2 l , A , EI v 1 v 2 1 e e ex e e F F e x2 e M e 3 1 x1 F e F y2 e e F e y1 e u1 4 u 2 Fx 2 e 5 ve 单元杆端力和单元杆端位移 单元杆 F e 单元杆 2 y2 e 端力 e 端位移 e 的方向与局部坐标系一致为正. 2 6 M 2 e x1 e y1 e 1 e k11 F x1 单元分析的目的: Fe 建立单元杆端力和 y1 k 21 e 单元杆端位移的关系. M 1 k31 e e e e Fx 2 k 41 F k Fye2 k51 e k61 M 2

二.单元分析

ye 1

e 2

k12 k 22 k32 k 42 k52 k62

k13 k 23 k33 k 43 k53 k63

k14 k 24 k34 k 44 k54 k64

k15 k 25 k35 k 45 k55 k65

e k16 u1 e k 26 v1 e k36 1 e k 46 u 2 e k56 v 2 e k66 2

若令:

1

u 1 , 其它=0e e k11 EA / l k41 EA / l e e k51 0 k21 0

e 1

k

e 11

l , A, EI e e u1 1

2

k

e 41

EA / l e e k61 0 k31 0 0 0 e 再令: k e EA / l u 2 1 ,其它=0 0 e e k14 EA / l k44 EA/ l 0 e e

k12

k13

EA / l k15

0 0 EA / l 0 0 k 25 k35 k 45 k55 k65

k 22 k 23 k32 k33 k 42 k 43 k52 k62 k53 k63

k24 0e 34

k54 0

k16 k 26 k36 k 46 k56 k66

k 0

e k64 0

若令:

v 1 , 其它=0k 0e 12 e 22 2

e 1

v 1ke 32

e 1

1

k 0e 42

k

e 22

l , A, EI e

2

k

e 62 e 52

k

e 2 k 12 i / l k 12i / l 52

e k32 6i / l

e k62 6i / l

再令:

v 1 , 其它=0e k15 0e k45 0e 2 k 12 i / l k 12i / l 55

e 2

e 25

2

e e 6i / l k35 6i / l k65

当:

1 , 其它=0e k13 0e k43 0e k53 6i / l e k63 2i e 1

e 1

e k23 6i / l

k 4i 当:e 33

1 l , A, EI 1ke 33

2

k

e 63

1 , 其它=0e k16 0e k46 0e k56 6i / l

e 2

k

e 23

e

k

e 53

e k26 6i / l

k 2ie 36

e k66 4i

EA / l 0 0 e k EA / l 0 0

0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / le 1 e x2

0 6i / l 4i 0 6i / l 2ie y2

EA / l 0 0 EA / l 0 0e 2

0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / l

F Fe

e

e x1

u

F

e y1

M

F

F

M

e 1

v

e 1

e 1

u

e 2

v

e 2

e 2

0 6i / l 2i 0 6i / l 4i

T

T

用单元刚度矩阵表示的力学特性为:

F k

e

e

e

单元刚度矩阵的性质1. 刚度系数的物理意义： 2.对称矩阵 3.奇异矩阵

k kke

e

eT

0

单元刚度矩阵的分块表示 k F 1 F 2 k Fxe EA / l 1 Fe 0 y1 e M 1 0 e Fx 2 EA / l Fye2 0 e 0 M 2

k k 11 21

12

1 22 2 EA / l 0 0 EA / l 0 0 0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / le u 1 e v1e 2i 1 e 0 u 2 e 6i / l v 2 e 4i 2

e

0 12i / l 2 6i / l 0 12i / l 2 6i / l

0 6i / l 4i 0 6i / l 2i

0 6i / l

单元刚度矩阵退化1. 桁架(杆)单元 退化后的单元刚度 e 矩阵是否可逆？力 F e 0 1 0 u 1 1 x1 e e 学含义是什么？ 0 0 0 EA 0 F y1 e l 1 F x2 F e 0 y2 0 0 1 0 v1 e 0 u 2 e 0 v 2

2.纯弯曲梁单元 矩阵位移法的基本 e e 4 i 2 i ? M 1 体系是什么 1 e e M 2 2i 4i 2

例2

1l l

已知: EI 12 12

EA 6; l 12

求:各局部坐标下的单元单刚

解: EA/ l 6,12i / l 2 1, 6i / l 6,2i 24,4i 48

0.5 0 0 0.5 0

0 0 1 6 0 1 6 0 6 48 0 0 24 1 2 k k 0.5 0 0 0.5 0 0 0 1 6 0 1 6 6 24 0 6 48 0

7.3 整体坐标下的单元刚度矩阵1.问题的提出

局部坐标系下的杆端力 2.整体坐标系下的杆端力与 局部坐标系下的杆端力之 间的关系 x y 2 y e

Fxe

Fy Mee x

1

e

e

整体坐标系下的杆端力

x

F

M Fye

e e Fxe Fxe cos Fye sin 简记为: F t F 1 1 e e e e e Fy Fx sin Fy cos F t F 2 2 e e e e e M M F t 0 F 1 1 e e Fx cos sin 0 Fx F 2 0 t F 2 Fy sin cos 0 Fy e e e M 1 0 F T F 0 1 M 1

2.整体坐标系下的杆端力与 其中 0 0 0 局部坐标系下的杆端力之 cos sin 0 sin cos 0 间的关系 0 0 0 x 0 0 1 0 0 0 y 2 e y T e F2 0 0 0 cos sin 0 e F3e 1 0 0 0 sin cos 0 e x F1 e 0 0 0 0 1 0 F3 e F1e F2 单元 e 的坐标转换矩阵

T的正交性

T

1

T

T

或

T T TT IT T

对于结点位移有:F T Fe eT eT eT e e ee

T F k e

e

e e

3.整体坐标系下的单元刚度矩阵e e

T k e

T e e

T k T e eF e k e e----整体坐标系下的单元刚度方程e eT

其中 k T k T ee

----整体坐标系下的单元刚度矩阵 (简称整体单刚)

例:解: 1 0 1 0 0 1 T 0 0 01 1T

1

2l

l

0.5 0 0 0.5 0 0 0 1 6 0 1 6 0 6 48 0 0 24 1 2 k k 0 . 5 0 0 0 . 5 0 0 0 1 6 0 1 6 6 24 0 6 48 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 01 1

0 0 0 1 0 01

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

2 90 0 1 0 2 T 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

1 0

k T k T k

例:2

1l l1 1T 1 1 1

解:

k T k T k 利用物理意义求2单 2 90 元整体单刚所有元素 . 2 2T 2 2 k T k T 怎样进行?0 6 1 0 6 1 0 0 . 5 0 0 0 . 5 0 6 0 48 6 0 24 0 6 1 0 6 1 0 0. 5 0 0 0. 5 0 0 24 6 0 48 6

0.5 0 0 0.5 0 0 0 1 6 0 1 6 0 6 48 0 0 24 1 2 k k 0 . 5 0 0 0 . 5 0 0 0 1 6 0 1 6 6 24 0 6 48 0

0 1 0 2 T 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

1 0

0 0 0 0 0 1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rxre.html