辽宁省锦州市2022-2022学年高一下学期期末考试数学试题Word版含

辽宁省锦州市2019-2020学年下学期期末考试

高一数学试题

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在区间[]1,6上随机选取一个数a ，则3a ≤的概率为（ ） A. 45 B. 35 C. 25 D. 15

【答案】C

【解析】 【分析】

根据几何概型概率公式直接求解可得结果.

【详解】由几何概型概率公式可知，所求概率312615p -=

=- 本题正确选项：C

【点睛】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题. 2.为了从甲、乙两组中选一组参加“喜迎国庆共建小康”知识竞赛活动.班主任老师将两组最近的6次测试的成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图.若甲、乙两组的平均成绩分别是x x 甲乙，.则下列说法正确的是（ ）

A. x x >甲乙，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛

B. x x >甲乙，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛

C. x x <甲乙，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛

D. x x <甲乙，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛

【答案】D

【解析】

【分析】

由茎叶图数据分别计算两组的平均数；根据数据分布特点可知乙组成绩更稳定；由平均数和稳定性可知应

选乙组参赛. 【详解】727879858692826x +++++==甲；788687879193876

x +++++==乙 x x ∴<甲乙

乙组的数据集中在平均数附近 ∴乙组成绩更稳定

∴应选乙组参加比赛

本题正确选项：D

【点睛】本题考查茎叶图的相关知识，涉及到平均数的计算、数据稳定性的估计等知识，属于基础题.

3.已知随机事件A 和B 互斥，且()0.5P AUB =,()0.3P B =.则()P A =（ ）

A. 0.5

B. 0.2

C. 0.7

D. 0.8 【答案】D

【解析】

【分析】

根据互斥事件的概率公式可求得()P A ，利用对立事件概率公式求得结果.

【详解】A 与B 互斥 ()()()P A B P A P B ∴=+

()0.50.30.2P A ∴=-= ()()110.20.8P A P A ∴=-=-=

本题正确选项：D

【点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.

4.等差数列{}n a 的首项为1.公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前10项和为（ ）

A. 80-

B. 80

C. 24-

D. 24

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等比中项定义可得2326a a a =?；利用1a 和d 表示出等式，可构造方程求得d ；利用等差数列求和公式求得结果.

【详解】由题意得：2326a a a =?

设等差数列{}n a 公差为()0d d ≠，则()()()2

11125a d a d a d +=++ 即：()()()2

12115d d d +=++，解得：2d =- 101109101090802

S a d ?∴=+=-=- 本题正确选项：A

【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等比中项、等差数列前n 项和公式的应用；关键是能够构造方程求出公差，属于常考题型.

5.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为（ ） A. 3π B. 6π C. 2π D. 23

π 【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理将边化角，可得()2

sin sin B C A +=，由()sin sin B C A +=可求得sin A ，根据A 的范围求得结果.

【详解】由正弦定理得：()2

sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+= A B C π++= ()()sin sin sin B C A A π∴+=-=

()0,A π∈ sin 0A ∴≠ sin 1A ∴=2A π∴=

本题正确选项：C 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.

6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .且1111S π=，则6tan 3a π?

?-= ???

（ ）

B. C. 【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列性质可知11611S a =，求得6a ，代入可求得结果. 【详解】()1111161111112

a a S a π+=== 6a π∴= 62tan tan 33a ππ??∴-== ??? 本题正确选项：C

【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够灵活应用等差数列下标和的性质，属于基础题.

7.已知0,2πα??∈ ???，3sin 5α=，则tan2α=（ ） A. 724 B. 724- C. 247 D. 247

- 【答案】C

【解析】

【分析】 根据同角三角函数关系可求得tan α；由二倍角的正切公式可求得结果.

【详解】0,2πα?

?∈ ???，3sin 5α= 3tan 4

α∴= 232tan 242

tan 291tan 7116ααα∴===-- 本题正确选项：C

【点睛】本题考查二倍角的正切公式、同角三角函数关系的应用，属于基础题.

8.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有和、“谐”、“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343432341342234142243331112342241244431233214344142134

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）

A. 19

B. 16

C. 29

D. 518

【答案】C

【解析】

【分析】

由题随机数的前两位1,2只能出现一个，第三位出现另外一个.依次判断每个随机数即可.

【详解】由题随机数的前两位1,2只能出现一个，第三位出现另外一个,∴满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为

42189

=. 故选：C

【点睛】本题考查古典概型，熟记古典概型运算公式是关键，是中档题，也是易错题.

9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10305,10S S ==,则40S =（ ）

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】 根据等差数列片段和成等差数列，可得到()4030102S S S =-，代入求得结果.

【详解】由等差数列性质知：10S ，1200S S -，3020S S -，4030S S -成等差数列

()()()40301020103020S S S S S S S ∴-+=-+-，即：()4030102S S S =-

()40210510S ∴=?-=

本题正确选项：D

【点睛】本题考查等差数列片段和性质的应用，关键是根据片段和成等差数列得到项之间的关系，属于基础题.

10.赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为15，则勾与股的比为（ ）

A. 13

B. 12

C. 33

D. 22

【答案】B

【解析】

【分析】 分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为

15

，从而构造方程可求得结果. 【详解】由图形可知，小正方形边长为b a - ∴小正方形面积为：()2b a -，又大正方形面积为：2c

()

()2222222221115b a b a ab a b c a b a b b a

--∴==-=-=+++，即：25a b b a ??+= ??? 解得：12

a b = 本题正确选项：B

【点睛】本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.

11.已知函数()()203f x x πωω??=

-> ???的最小正周期为π，若()()122f x f x ?=-，则12x x -的最小值为（ ） A. 2π B. 3π C. π D. 4

π 【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据

()()122f x f x ?=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k π

π-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值.

【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2π

πω= 2ω∴= (

)23f x x π??∴=- ??

? (

)max f x ∴，(

)min f x =()()122f x f x ?=- 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点

设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点

()1112222232,2232x k k k Z x k πππππ

π?-=+??∴∈??-=-?? ()12122x x k k ππ∴-=-+， 当120k k -=时，12

min 2x x π-= 本题正确选项：A

【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.

12.在ABC ?

中，AB =

2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ?所在平面内一点且满足222OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）

A. 12

B. 1 D. 32

【答案】D

【解析】

【分析】 根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+，将所求数量积化为1122

AB AO AC AO ?+?；由模长的等量关系可知AOB ?和AOC ?为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ?和AC AO ?化为212AB 和

212AC ，代入可求得结果. 【详解】E 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+ ()

111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴?=+?=?+? 222

OA OB OC == AOB ∴?和AOC ?为等腰三角形 211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴?=∠=?=，同理可得：212

AC AO AC ?= 22111314422

AE AO AB AC ∴?=+=+= 本题正确选项：D

【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.

二、填空题（将答案填在答题纸上）

13.长时间的低头,对人的身体如颈椎、眼睛等会造成定的损害，为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1000人中采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，已知这100人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里青年人人数为_____

【答案】450

【解析】

【分析】

根据饼状图得到青年人的分配比例；利用总数乘以比例即可得到青年人的人数.

【详解】由饼状图可知青年人的分配比例为：120%35%45%--=

∴这个群体里青年人的人数为：100045%450?=人

本题正确结果：450

【点睛】本题考查分层抽样知识的应用，属于基础题.

14.若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a b +与a 夹角的余弦值等于_____

【解析】

【分析】

利用坐标运算求得2a b +；根据平面向量夹角公式可求得结果.

【详解】()

23,3a b +=

(

)2cos 2,322a b a a b a a b a +?∴<+>=

==?+ 【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积. 15.()sin1013tan 70

+=_____ 【答案】1

【解析】

【分析】

tan 60，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10cos 60cos 70

，利用二倍角公式可变为

1sin 202cos 60cos 70?，由sin 20cos70=可化简求得结果. 【详解】()()cos 60cos 7060sin 70

sin1013tan70sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0

+=++?=()cos 7060

sin10cos101sin 201sin101cos60cos70cos60cos702cos60cos702cos60

-=?==?==

本题正确结果：1

【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.

16.已知数列{}n a 的首项1a a =，2162a a =-，()1842,n n a a n n n N *++=+≥∈.若对任意n *∈N ，都

有1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是_____

【答案】()3,5

【解析】

【分析】

代入2n =求得3a ，利用递推关系式可得28n n a a +-=，从而可证得{}2n a 和{}21n a +均为等差数列，利用等

差数列通项公式可求得通项；根据恒成立不等式可得到不等式组：1232212122

n n n n a a a a a a a +++<

详解】当2n =时，3220a a +=，解得：322042a a a =-=+ 由184n n a a n ++=+得：21812n n a a n +++=+ 28n n a a +∴-= {}2n a ∴是以2a 为首项，8为公差的等差数列；{}21n a +是以3a 为首项，8为公差的等差数列 ()216281828n a a n n a ∴=-+-=-+，()214281824n a a n n a +=++-=+- 1n n a a +<恒成立 ()162428828428428182a a a n a n a n a n a ?<-<+?∴+-<-+??-+<++-?，解得：35a << 即a 的取值范围为：()3,5

本题正确结果：()3,5

【点睛】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，关键是能够根据递推关系式得到奇数项和偶数项分别成等差数列，从而分别求得通项公式，进而根据所需的单调性得到不等关系.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数()2cos21f x x x =-+. （1）求()y f x =在区间()0,π上的单调递增区间； （2）求()y f x =在5,1212ππ?? ???

的值域. 【答案】(1) 0,3π?? ???和5,6ππ??????. (2) (]1,3

【解析】

【分析】

（1）利用辅助角公式可将函数化简为()2sin 216f x x π?

?=-+ ???；令()222262k x k k Z πππ

ππ-≤-≤+∈可求出()f x 的单调递增区间，截取在()0,π上的部分即可得到所求的单调递增区间；（2）利用x 的范围可求得26x π-的范围，对应正弦函数的图象可求得sin 26x π??- ??

?的范围，进而得到函数的值域.

【详解】（1）()2cos 212sin 216f x x x x π?

?=-+=-

+ ??? 令()222262k x k k Z π

π

πππ-≤-≤+

∈，解得：()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 令0k =，可知()f x 在0,3π?

? ???

上单调递增 令1k =，可知()f x 在5,6ππ??????

上单调递增 ()y f x ∴=在()0,π上的单调递增区间为：0,3π?? ???和5,6ππ??????

（2）当5,1212x ππ??∈ ???时，220,63x ππ??-∈ ??? (]sin 20,16x π??∴-∈ ??? (]2sin 211,36x π??∴-+∈ ??

? 即()y f x =在5,1212ππ?? ??

?的值域为：(]1,3 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题；解决此类问题的常用方法是采用整体对应的方式，将x ω?+整体对应正弦函数的单调区间或整体所处的范围，从而结合正弦函数的知识可求得结果.

18.已知ABC △为等边角形，2AB =.点N M 、满足AN AB λ=，()1AM AC λ=-，R λ∈.设,AC a AB b ==.

()1试用向量a 和b 表示,BM CN ;

()2若3·2

BM CN =-,求λ的值. 【答案】(1) ()1?

BM a b λ=--；CN b a λ=- ；(2) 12

. 【解析】

【分析】 （1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为

()()2231112

a b a b λλλλ??-+?---=-??；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于λ的方程，解方程求得结果.

【详解】（1）()()11BM AM AB AC AB a b λλ=-=--=--

CN AN AC AB AC b a λλ=-=-=-

（2）()()()()22311112

BM CN a b b a a b a b λλλλλλ?????=--?-=-+?---=-???? ABC 为等边三角形且2AB = 2a b ∴==，,60a b <>=

()()()()223111114cos604142

a b a b λλλλλλλλ????∴-+?---=-+?---=-???? 即：()22441210λλλ-+=-=，解得：12

λ= 【点睛】本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.

19.设n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，已知13a =，5423a S =+

（1）求数列{}n a 的通项公式;

（2）令()21n n b n a =-，求数列{}n b 前n 项和n T .

【答案】(1) 3n n a = ；(2) ()1133n n T n +=-?+

【解析】

【分析】

（1）设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，当1q =时，可验证出13a ≠，可知1q ≠；根据5423a S =+可构造方程求得q ，进而根据等比数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得n b ，采用错位相减法即可求

得结果.

【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >

当1q =时，1183a a =+，解得：137

a =-

，不合题意 1q ∴≠ 由5423a S =+得：()41412131a q a q q -=+-，又13a =

整理得：54330q q q --+=，即()

()4130q q --=，解得：3q = 113n n n a a q -∴==

（2）由（1）得：()213n

n b n =-? ()()1231133353233213n n n T n n -∴=?+?+?+???+-?+-?…①

则()()23413133353233213n n n T n n +=?+?+?+???+-?+-?…②

①-②得：

()()()()21

2313132321323333213213n n n n n T n n -+--=--?+?++???+=--?+?-

()()1113213936223n n n n n +++=--?-+=-+-?

()1133n n T n +∴=-?+

【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前n 项和；关键是能够得到数列的通项公式后，根据等差乘以等比的形式确定采用错位相减法求得结果，对学生的计算和求解能力有一定要求.

20.智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: [](]0,20,20,40，(]]]40,60,(60,80,(80,100.

（1）根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)

（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

（3）在抽取的100名手机使用者中在(]20,40和(]40,60中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后再从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自(]20,40和(]40,60的概率是多少？

【答案】(1) 57分钟. (2)58分钟；(3)

35 【解析】

【分析】

（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果.

【详解】（1）设中位数为x ，则()0.0023200.01200.015400.5x ?+?+?-= 解得：170573

x =≈（分钟） ∴这500名手机使用者中使用时间的中位数是57分钟

（2）平均每天使用手机时间为：0.05100.230+0.350+0.270+0.259058?+????=（分钟） 即手机使用者平均每天使用手机时间为58分钟

（3）设在(]20,40内抽取的两人分别为,a b ，在(]40,60内抽取的三人分别为,,x y z ，

则从五人中选出两人共有以下10种情况：

()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a x a y a z b x b y b z x y x z y z

两名组长分别选自(]20,40和(]40,60的共有以下6种情况：()()()()()(),,,,,,,,,,,a x a y a z b x b y b z ∴所求概率63105

p == 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.

21.如图，在四边形ABCD 中，已知1AB =，BC =AC CD =

（1）若3ACD π

∠=，且ADC ?的面积为34

，求ABC ?的面积: （2）若AC CD ⊥，求BD 的最大值.

【答案】(1)

12 ；(2)3 【解析】

【分析】

（1）根据13sin 2ADC S AC AD ACD ?=?∠=可解出AC ，验证出AB AC ⊥，从而求得所求面积；（2）设ACB α∠=，ABC β∠=，在DBC ?中利用余弦定理构造关于2BD 的方程；在ABC ?中分别利用正余弦定理可得到sin AC α和2AC ，代入可求得2BD ；根据三角函数最值可求得2BD 的最大值，即可得到结果.

【详解】（1）由221133sin sin 223ADC S AC AD ACD AC AC π?=?∠===得：1AC = 222AB AC BC ∴+=，即AB AC ⊥ 1122

ABC S AB AC ?∴=

?= （2）设ACB α∠=，ABC β∠= 在ABC ?中，由正弦定理

sin sin AC AB βα=得：sin sin AC αβ=…① 由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC β=+-?得：2322AC β=-…②

在DBC ?中，由余弦定理2222cos 2BD CB DC CB DC πα??=+-?+ ???得：

222sin BD AC α=++

将①②代入整理得：)25sin cos 54sin 4BD πβββ?

?=+-=+- ???

当sin 14πβ?

?-= ???，即34

πβ=时，2BD 取最大值9 max 3BD ∴=

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用；本题中线段长度最值的求解的关键是能够利用正余弦定理构造方程，将问题转化为三角函数最值的求解问题.

22.随着互联网

迅速发展，越来越多的消费者开始选择网络购物这种消费方式某营销部门统计了2019年某月锦州的十大特产的网络销售情况得到网民对不同特产的最满意度()%x 和对应的销售额y (万元)数据，如下表:

()1求销量额y 关于最满意度x 的相关系数r ;

()2我们约定：销量额y 关于最满意度x 的相关系数r 的绝对值在0.75以上(含0.75)是线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制(即销售额最少的特产退出销售)，并求在剔除“末位淘汰”的特产后的销量额y 关于最满意度x 的线性回归方程(系数精确到0.1).

参考数据：21.9,72.1,

x y ==10

2

2

1

10288.9i

i x

x =-=∑

37.16=，10

1

10452.1i i i x y x y =-?=∑

，

17≈.

附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ???.其回归直线方程 ???y bx a

=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1

2

2

1

?·

n

i i

i n

i

i x y nx y b

x

nx

==-=-∑∑，a y bx =-.

线性相关系数·

n

i i

x y nx y r -=

∑

【答案】（1）0.72；（2）? 1.345.5y

x =+ 【解析】 【分析】

（1）将数据代入相关系数公式可直接求得结果；（2）根据0.720.75r =<可知需剔除癸种类产品，计算剔除癸种类产品后的数据，利用最小二乘法可求得回归直线.

【详解】（1

）由相关系数10

10i i

x y x y

r -?=

∑452.1

0.721737.16

r =

≈?

（2）

0.720.75r =< ∴需剔除癸种类产品

剔除后的2191322.899x -=≈，7215274.339y -=≈，9

22

1

9200.43i i x x =-=∑，919253.27i i i x y x y =-?=∑ 253.27

? 1.26 1.3200.43

b

∴=≈≈，?74.33 1.2622.8945.5a =-?≈

∴所求回归方程为：? 1.345.5y

x =+ 【点睛】本题考查相关系数、回归方程的求解，考查最小二乘法的应用，对于学生的计算和求解能力有一定的要求.

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