2012年3月中考数学一轮复习精品讲义(含2011中考真题)_第二十八章_锐角三角函数

第二十八章 锐角三角函数

本章小结

小结1 本章概述

锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握． 小结2 本章学习重难点

【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题．

【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题． 【学习本章应注意的问题】

在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力． 小结3 中考透视

这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题．另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占3～7分．

知识网络结构图

直角三角形中 的边角关系

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1：锐角三角函数的定义

【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主． 例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )

1

A．sin A

B．tan A＝

2 C．cosB

D．tan B

分析 sinA＝

BC1BCBC1

＝，tan A＝，cos B＝＝．故选D.

22ABAC

AB

3

例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于 ( )

53434

A． B． C． D．

5435

分析 在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝

BC4k4

．故选D. AC3k3

分析 在Rt△ABC中，BC

3，∴sin A＝ 专题2 特殊角的三角函数值

【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值． 例4 计算|－3|＋2cos 45°－

1)0． 分析 cos 45

解：原式＝3＋2

． 1

2． BC33

．故填．

AB55

1

例5 计算－ ＋(－1)2007－cos 60°．

2

分析 cos 60°＝ 解：原式＝

1． 2

11

＋3＋(－1)－＝3－1＝2． 22

例6 计算|

＋(cos 60°－tan 30°)0

分析 cos 60°＝＝1，

1十＋

1．

1

例7 计算 －(π－3.14)0－|1－tan 60°|

.

2

3

1

，tan 30

，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos 60°－tan 30°)0

2

分析 tan 60

解：原式＝8－1

1

2＝10.

专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用

【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.

例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为

4

AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．

5 (1)求线段DC的长；

(2)求tan∠EDC的值.

分析 在Rt△ABD中，由sinB＝上的中线等于斜边的一半，得DE＝

AD

，可求得BD，从而求得CD．由直角三角形斜边AB

1

AC＝EC，则∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以转2

化为求tan C.

解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC

AD

在Rt△ABD中，sin B＝．

AB

∵AD＝12，sin B＝

4

，∴AB＝15， 5

∴BD

9． ∵BC＝14，∴CD＝5．

(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝

1

AC＝EC， 2

∴∠EDC＝∠C

AD1212

∵tan C＝＝,∴tan∠EDC＝tan C＝．

55DC

例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B

＝cos∠DAC.

(1)求证AC＝BD；

12

(2)若sin C＝，BC＝12，求AD的长．

13

分析 (1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．

证明：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°． 在Rt△ABD和Rt△ADC中，

ADAD

∵tan B＝，cos∠DAC＝，tan B＝cos∠DAC，

BDAC

∴

ADAD＝，∴AC＝BD. BDAC

12

，设AD＝12k，AC＝13k， 13

解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝

∴CD

5k． ∵BC＝BD＋CD，AC＝BD， ∴BC＝13k＋5k＝18k．

由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝ ∴AD＝12k＝12×

2， 3

2

＝8． 3

例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，

BC＝30＋

AB的长．

分析 过点A作AD⊥BC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出来，再由BD＋CD＝BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt△ABD中求得．

解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x.

ADADAD

在Rt△ADB中，tanB＝，∴BD＝＝x，

tanBtan45 BD 在Rt△ADC中，tan C＝

ADADAD

，∴CD＝＝．

tan30

CDtanC

又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋

∴x

＝30＋

,∴x＝30． 在Rt△ABD中，sin B＝ ∴AB＝

AD

， AB

AD30

sinBsin45

专题4 用锐角三角函数解决实际问题

【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法． 例11 如图28－127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB． (1)画出测量示意图；

(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)； (3)根据(2)中的数据计算AB．

解：(1)测量示意图如图28—128所示．

(2)测量步骤．

第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角∠AHE＝α.

第二步：沿CB方向前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离 CD＝m．

第三步：在点D安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角

∠AFE＝β.

第四步：用皮尺测出测角仪的高h．

xx

(3)令AE＝x，则tan α＝，得HE＝.

HEtan xx

又tan β＝，得EF＝，

tan EF

∵HE－FE＝HF＝CD＝m，

∴

xxmgtan gtan ＝m，解得x＝． tan tan tan tan

mgtan gtan

＋h．

tan tan

∴AB＝

例12 如图28－129所示，一条小船从港口A出发，沿北偏东40°方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到达C处，则此时小船距港口A多少海里?(结果保留整数，提示：sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0．8391

1.732)

分析 此题可作CD⊥AP构造直角三角形求AC，而CD，AD的长可转移到其他三角形中解决，可作BE⊥AD，CF⊥BE，CF，BF在Rt△BCF中可求，进而求解． 解：如图28－130所示，过点B作BE⊥AP，垂足为点E，过点C分别作

CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分别为点D，F，则四边形CDEF为矩形，

∴CD＝EF，DE＝CF．

∵∠QBC＝30°，∴∠CBF＝60°．

∵AB＝20，∠BAD＝40°，

∴AE＝AB·cos 40°≈20×0.7660≈15.3，

BE＝AB·sin 40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9． 又∵BC＝10，∠CBF＝60°，

∴CF＝BC·sin 60°≈10

8.7，

BF＝BC·cos 60°＝10×0.5＝5， ∴CD＝EF＝BE－BF≈12.9－5＝7.9．

∵DE＝CF≈8.7，∴AD＝DE＋AE≈8.7＋15.3＝24.0，

由勾股定理得AC

≈25，

即此时小船距港口A约25海里．

【解题策略】 正确理解方位角，作出恰当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位)

分析 本题可作CE⊥AB，垂足为E，求出CE的长即为河宽．

解：如图28－131所示，过点C作CE⊥AB于E，则CE即为河宽，

设CE＝x(米)，则BE＝x＋60(米)．

CEx

在Rt△BCE中，tan30°＝,

EB

x 60

解得x＝

1)≈81.96(米)．

答：河宽约为81．96米．

【解题策略】 解本题的关键是设CE＝x，然后根据BE＝AB＋AE列方程求解． 例14 如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C

点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(

1.4

≈1.7)

分析 在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达． 解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，

AD ∴AB

＝

cos45

BD

＝tan 45°，即BD＝AD·tan 45°＝300． AD

在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，

BDBD

∴BC

＝

CD＝

.

sin60 tan60

1号救生员到达B

2号救生员到达B

3号救生员到达B点所用的时间为

＝

210(秒)， ＝50

≈192(秒)， 300300＋＝200(秒)． 62

∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达营救地点B.

【解题策略】 本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键． 例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．

分析 本题可作CD⊥AM于点D，在Rt△BCD中求出CD即可． 解：过点C作CD⊥AM，垂足为点D，

由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°, ∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，

1

∴BC＝AB＝24×＝12(海里)．

2

在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝

海里)． ∵

9，∴货船继续向正东方向航行无触礁危险．

【解题策略】 此题实际上是通过⊙C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁危险.

例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A， B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和

60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．

1.73，结果保留整数)

分析 由于CD＝CE－DE，所以可分别在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的长，从而得出结论．

解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．

在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23． 在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE·tan 60°＝

∴CD＝CE－DE＝

23≈3，

即这块广告牌的高度约为3米．

例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.

分析 坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．

解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，

1

由题意可知tanB＝1，tan C＝，

1.5

在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝

AE

＝1，∴BE＝AE＝4， BE

DF1

，

CF1.5

在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝

∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6． 又∵EF＝AD＝2.5，

∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．

答：坝底宽BC为12．5 m．

【解题策略】 背水坡是指AB，而迎水坡是指CD. 例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD＝30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)

分析 要求AB的值，由于两个直角三角形中都只有角的已知条件，不能直接求解，所以设AB为未知量，即用AB表示BD和BC，根据BD－BC＝CD＝30，列出关于AB的方程． 解：在Rt△ABC中，∠CAB＝20°，

∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan 20°． 在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，

∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan 23°．

∴CD＝BD－BC＝ABtan 23°－ABtan 20°＝AB(tan 23°－tan 20°)．

CD30

∴AB＝≈＝500(m)．

tan23 tan20 0.424 0.364

答：此人距CD的水平距离AB约为500 m．

二、规律方法专题 专题5 公式法

【专题解读】 本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键． 例19 当0°＜α＜90

的值．

分析 由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α

解：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．

|cos |

.

cos

∵0°＜a＜90°，∴cosα＞0．

cos

∴原式＝＝1．

cos

【解题策略】 以上解法中，应用了关系式sin2α＋cos2α＝1(0°＜α＜90°)，这一关系式在解题中经常用到，应当牢记，并灵活运用． 三、思想方法专题 专题6 类比思想

【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．

例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a

b

，解这个直角三角形．

a

分析 已知两直角边长a，b，可由勾股定理c

求出c，再利用sin A＝求出

c∠A，进而求出∠B＝90°－∠A．

解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．

∴c

a1

又∵sin A

＝ ，∴∠A＝30°．

c2

∴∠B＝90°－∠A＝60°．

【解题策略】 除直角外，求出Rt△ABC中的所有未知元素就是解直角三角形． 专题7 数形结合思想

【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．

例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程

为y

x

，则cosα等于 ( )

A．

1

B

2

C

D

分析 ∵y

x

∴当x＝0时，y

当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，

B ，

∴OB

OB1

OA＝1，∴AB

cos∠OBA＝ . ∴OP⊥AB，∴AB2

∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA1

＝．故选A. 2 专题8 分类讨论思想

【专题解读】 当结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论． 例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(结果可保留根号) 解：①如图28－138(1)所示，

在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．

又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝

故AP＝AD＋DP＝(30＋

．

②同理，如图28－138(2)所示，可求得AP＝(30－

， 故交叉口P与加油站A的距离为(30＋

或(30－

．

【解题策略】 此题针对P点的位置分两种情况进行讨论，即点P在线段AB上或点P在线段BA的延长线上． 专题9 转化思想

【专题解读】 本章中的转化思想主要应用在把直角三角形的线段比转化为三角函数值、把实际问题转化为数学问题、把斜三角形问题转化为直角三角形问题等． 例23 如图28－139所示，某校教学楼的后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB的长为22 m，坡角∠BAD＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡顶与地面的距离；

(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC改到

F点处，则BF至少是多少米?(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 68°≈0.9272，cos 68°≈0.3746，tan 68°≈2.4751，sin 50°≈0.7660，cos 50°≈0.6428，tan 50°≈1.1918) 分析 将实际问题转化为数学问题是解题关键．

解：(1)过B作BE⊥AD于E，

则在Rt△ABE中，sin∠BAE＝

BE， AB

∴BE＝AB·sin 68°＝22sin 68°≈20.4(m)．

(2)过F作FG⊥AD于G，连接FA，则FG＝BE．

FG

∵AG＝≈17.12，AE＝AB·cos 68°＝22cos 68°≈8．24，

tan50 ∴BF＝GE＝AG－AE≈8.88≈8.9(m)．

例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 km．现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么?(

1.732

≈1.414) 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，

则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，

AC＝PC·tan 30°，BC＝PC·tan 45°，

∵AC＋BC＝AB，

∴PC·tan 30°＋PC·tan 45°＝100，

∴

1)PC＝100，

∴PC＝50(3

≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．

答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速

公路不会穿越保护区．

例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保留整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)

解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．

∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°， ∠ADF＋∠DAF＝90°， ∴∠ADF＝α＝36°．

根据题意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm．

BE

在Rt△ABE中，sinα＝ ，

AB ∴AB＝

BE24

≈＝40(mm)． sin36 0.6

在Rt△ADF中，cos∠ADF＝ ∴AD＝

DF

， AD

DF48

≈＝60(mm)．

cos36 0.8

∴矩形ABCD的周长＝2(40＋60)＝200(mm)．

例26 如图28－142所示，某居民楼I高20米，窗户朝南．该

楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高1．8米．现计划在I楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?

解：设正午时光线正好照在I楼的一楼窗台处，此时新建居民楼

Ⅱ高x米．

过C作CF⊥l于F，

在Rt△ECF中，EF＝(x－2)米，FC＝30米，∠ECF＝30°，

x 2

∴tan 30°＝,∴＝

2．

30 答：新建居民楼Ⅱ最高只能建

2)米．

2011中考真题精选

一、选择题

1. （2011江苏连云港，14，3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA

=_______.

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。 专题：网格型。

分析：设小方格的长度为1，过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求

出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求出sinA．

解答：解：过C作CD⊥AB，垂足为D，设小方格的长度为1，

在Rt△ACD中，AC=

AD2 CD2=25.∴sinA=错误！未找到引用源。=错误！未

找到引用源。，

故答案为错误！未找到引用源。．

点评：本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理的知识点，此题比较简单，构造一个直角三角形是解答本题的关键．

2. （2011江苏苏州，9，3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）

3434 A．4 B．3 C．5 D．5

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理． 专题：几何图形问题．

分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△

BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解． 解答：解：连接BD．

∵E、F分別是AB、AD的中点． ∴BD=2EF=4 ∵BC=5，CD=3

∴△BCD是直角三角形．

4

∴tanC= 3

故选B．

点评：本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义，正确证明△BCD是直角三角形是解题关键．

3. （2011江苏镇江常州，6，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=错误！未找到引用源。，BC=2，则sin∠ACD的值为（ ）

A．

2

B．

2 3

C．

错误！未找到引用源。D．错误！未找到引用源。

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理． 专题：应用题．

分析：在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．

解答：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB

． ∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD．

=

∴sin∠ACD=sin∠B=

AC

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。， AB

故选A．

点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．

4. （2011山东日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=错误！未找到引用源。．则下列关系式中不成立的是（ ）

22

A．tanA cotA=1 B．sinA=tanA cosA C．cosA=cotA sinA D．tanA+cotA=1 考点：同角三角函数的关系。 专题：计算题。

分析：可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．

解答：解：根据锐角三角函数的定义，得 A、tanA cotA=错误！未找到引用源。

ab

=1，关系式成立； ba

B、sinA=错误！未找到引用源。，tanA cosA=错误！未找到引用源。立；

C、cosA=错误！未找到引用源。，cotA sinA=错误！未找到引用源。

aba

，关系式成bcc

abb

，关系式成cac

立；

2222

D、tanA+cotA=（错误！未找到引用源。）+（错误！未找到引用源。）≠1，关系式不成立． 故选D．

22

点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sinA+cosA=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=

sinA

cosB

或sinA=tanA cosA．

（3）正切之间的关系：tanA tanB=1．

5. （2011陕西，5，3分）在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（ ）

512125

A． B． C． D．

1251313考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理。

专题：计算题。

分析：根据三角形余弦表达式即可得出结果．

解答：解：根据三角函数性质 cosB=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

故选C．

点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义及比例关系，比较简单． （2011天津，1，3分）sin45°的值等于（ ）

A.

1 B. C. D.1 2

22

考点：特殊角的三角函数值。

分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可． 解答：解：sin45°

=

． 2

故选B．

点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可． 7. （2011 贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2错误！未找到引用源。，则tan∠CAD的值是（ ）

A、2 B、错误！未找到引用源。 C、错误！未找到引用源。 D、错误！未找到引用源。 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。 专题：常规题型。

分析：根据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正切等于对边：邻边列式求解即可． 解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4， ∴CD=BD=4，

在Rt△ACD中，AC=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2， ∴tan∠CAD=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2． 故选A．

点评：本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：邻边是解题的关键．

（2011山东烟台，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB

，则下列最确切的结论是（ ）

A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形 C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形

考点：特殊角的三角函数值.

分析：根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．

解答：解：∵

错误！未找到引用源。，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰

直角三角形．故选C． 点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确的记忆特殊角的三角函数值是解决问题的关键．

10. （2011四川达州，8，3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（

）

A、

3

sin30 <x<sin60 错误！未找到引用源。 2

3

tan30 <x<tan45 错误！未找到引用源。 2

B、cos30 <x<

3

cos45 错2

误！未找到引用源。

C、

D、

3

cot45 <x<cot30 错2

误！未找到引用源。

考点：特殊角的三角函数值；实数与数轴。 专题：计算题。

分析：先根据数轴上A点的位置确定出其范围，再根据特殊角的三角函数值对四个选项进行分析即可．

解答：解：由数轴上A点的位置可知，错误！未找到引用源。＜A＜2． A、由错误！未找到引用源。

3

sin30°＜x＜sin60°可知，错误！未找到引用源。×错误！未找2

到引用源。＜x

123未找到引用源。，即错误！未找到引用源。＜x

4未找到引用源。，故本选项错误；

B、由cos30°＜x＜错误！未找到引用源。cos45°

可知，

错误！未找到引用源。＜x＜错2

误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。＜x

＜错

42

误！未找到引用源。，故本选项错误； C、由错误！未找到引用源。

33tan30°＜x＜tan45°可知，错误！未找到引用源。错22

误！未找到引用源。＜x＜1

，即

错误！未找到引用源。＜x＜1，故本选项错误； 2

D、由错误！未找到引用源。cot45°＜x＜cot30°可知，错误！未找到引用源。×1＜x

误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。＜x

，故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及在数轴的特点，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

（2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ）

A．

1 2

B．

1 3

C．

1 4

D

．

4

考点：锐角三角函数的定义；旋转的性质．

分析：过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．

解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D． 根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= CD：BD= ∴tanB′=tanB=

1， 3

1． 3

故选B．

点评：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．

10 （2011甘肃兰州，8，4分）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A

111

） B

．（ ） C

．（） 222 D．（

1， 2考点：特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析：先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答． 解答：解：∵sin60°

=

11

cos60°= ，∴点M

）．

22∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n）， ∴M关于x

轴的对称点的坐标是（－

1，－）．故选B．

22

点评：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．

11. （2011广东省茂名，8，3分）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ） A、sinA=cosA B、sinA＞cosA C、sinA＞tanA D、sinA＜cosA

考点：锐角三角函数的增减性。 专题：计算题。

分析：根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，

直接得出答案即可． 解答：解：∵45°＜A＜90°， ∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小， 当∠A＞45°时，sinA＞cosA， 故选：B． 点评：此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确的利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键．

12. （2011 宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠

则边BC的长为（ ）

A、

B、

C、

D、

考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值。 专题：计算题。

分析：因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等

于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度．

解答：解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：

tan∠BAC=

BC，又AC=30cm，tan∠

AC则BC=ACtan∠BAC=30×错误！未找到引用源。=10错误！未找到引用源。cm．

故选C．

点评：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察

生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．

13. （2011湖北随州，9，3）cos30°＝（ ）

A、

1

错误！未找到引用源。 2

B、

2 C、 22

D、3

考点：特殊角的三角函数值。

专题：计算题。 分析：直接根据cos30°＝解答：解：因为cos30°＝所以C正确．

3

进行解答即可． 23， 2

故选C．

点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 14. （2011 玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（ ）

A、错误！未找到引用源。

B、错误！未找到引用源。

C、错误！未找到2

引用源。 D、错误！未找到引用源。

3

考点：特殊角的三角函数值。 专题：计算题。

分析：先根据题意求得α的值，再求它的余弦值． 解答：解：∠α=90°﹣30°=60°，

cosα=cos60°=错误！未找到引用源。． 故选A．

点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．

【相关链接】特殊角三角函数值： sin30°=错误！未找到引用源。，cos30°=错误！未找到引用源。，tan30°=错误！未找到引用源。，cot30°=错误！未找到引用源。； sin45°=错误！未找到引用源。，cos45°=错误！未找到引用源。，tan45°=1，cot45°=1； sin60°=错误！未找到引用源。，cos60°=错误！未找到引用源。，tan60°=错误！未找到引用源。，cot60°=错误！未找到引用源。． 互余角的性质：两角互余其和等于90度． 15.（2011广西防城港 2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（ ）

A．

1

2

B．

32 C． 22

D．

3

考点：特殊角的三角函数值 专题：解直角三角形

分析：先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝错误！未找到引用源。．

解答：A

点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题．填空题为主．特殊角三角函数值：sin30°＝错误！未找到引用源。，cos30°＝

322

，tan30°＝错误！未找到引用源。，cot30°＝3；sin45°＝，cos45°＝，2322

13

错误！未找到引用源。，cos60°＝，tan60°＝3，cot60°

22

tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝

＝错误！未找到引用源。．

16.（2011年广西桂林，6，3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4， 则sinA的值为（ ）．

34

B． 4334C． D．

55

A．

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．

分析：直角三角形中，正弦值是角的对边与斜边的比值；先求出斜边AB的值，然后，即可解答．

答案：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4， ∴AB=5； ∴sinA=

= ．

故选C．

点评：本题考查了锐角三角函数值的求法及勾股定理的应用，熟记公式才能正确运用． 17.（2011广西来宾，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A的余弦值是 A.

3344 B. C. D. 5453

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。 专题：计算题。

分析：先根据勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=邻边÷斜边计算即可． 解答：解：在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，AB=5，BC=3， ∴AC=4，

∴cosA=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。． 故选C．

18. （2011湖州，4，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的

值为（ ）

A．2

B．

1 C．错误！未找到引用源。 25

D．

2错误！未找到引用源。 5

考点：锐角三角函数的定义.

分析：根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．

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