文都首发2015考研数学(三)真题(完整版)
更新时间:2023-08-25 21:50:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的.
(1)设 xn 是数列.下列命题中不正确的是 (A)若limxn=a,则limx2n=limx2n+1= a.
n
n
n
(B)若limx2n=limx2n+1= a,则limxn= a.
n
n
n
(C)若limxn=a,则limx3n=limx2n+1= a.
n
n
n
(D)若limx3n =limx3n+1=a,则limxn= a.
n
n
n
(2)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其2价导函数f″(x)的图形如右图所示,则曲线y=f(x)的拐点个数为 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.
(3)设D={(x,y)|x2+y2≤2x,x2+y2≤2y},函数f(x,y)在D上连续,则
2cos
f(x,y)dxdy
D
(A)
40
d
f(rcos ,rsin )rdr 2d
4
2sin
f(rcos ,rsin )rdr.
(B)
40
d
1
2sin
0x
f(rcos ,rsin )rdr d
24
2cos
f(rcos ,rsin )rdr.
(C)2dx
0
1f(x,y)dy.
(D)2dx
0
1
x
f(x,y)dy.
(4)下列级数中发散的是
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n
(A) n.
n 13
(B
)
n 1
1 ).
n( 1)n 1
(C)
lnnn 2
(D)
n!
. nnn 1
111 1
(5)设矩阵A= 12a ,b=d.若集合Ω={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷多解的充
14a2 d2
分必要条件为 (A)a ,d . (C)a ,d .
(B)a ,d . (D)a ,d .
222
(6)设二次型f(x.,其中1,x2,x3)在正交交换x py下的标准形为2y1 y2 y3
.若Q (e1, e3,e2),则(x1,x2,x3)在正交交换下x Qy的标准形为 p (e1,e2,e3)
222(A)2y1 y2 y3. 222(C)2y1 y2 y3
222
(B)2y1 y2 y3. 222(D)2y1 y2 y3
(7)若A,B为任意两个随机事件,则 (A)P AB P A P B . (C)P AB
(B)P AB P A P B .
P(A) P(B).
2
(D)P AB
P(A) P(B)
.
2
(8)设总体X~B(m,θ),x1,x2 ,xn为来自该总体的简单随机样本,X为样本均值,则
2
n E (Xi X) i 1
(A) m 1 n 1
(B)m n 1 1 (D)mn 1
(C) m 1 (n 1) 1
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. (9)lim
ln(cosx)
x x2
(10)设函数f x 连续, (x) (11)若函数z z x,y 由方程e
x2
xf(t)dt.若 (1) 1, (1)=5,则f 1 = . xyz 1确定,则dz
0,0 .
x 2y 3z
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(12)设函数y y x 是微分方程y y 2y 0的解,且在x 0处y x 取得极值3,则y x = .
(13)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2- A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列式
B.
(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0),则P{XY-Y<0}= .
三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. (15)(本题满分10分) 设函数f(x) x aln(1 x) bxsinx,g(x) kx3.若f(x)与g(x)在x 0时是等价无穷小,求a,b,k的值.
(16)(求本题满分10分)
计算二重积分 x(x y)dxdy,其中D {(x,y)|x2 y2 2,y x2}.
D
(17)(本题满分10分) 为了实现利润最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设Q为该商品的需求量,p为价格,MC为边际成本, 为需求弹性( >0). (Ⅰ)证明定价模型为p
MC
: 11
(Ⅱ)若该商品的成本函数为C(Q) 1600 Q2,需求函数为Q 40 p,试由(Ⅰ)中的定价模型确定此商品的价格.
(18)(本题满分10分)
设函数f(x)在定义域I上的导数大于零.若对任意的x0 I,曲线y f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0) 2,求f(x)的表
达式.
(19)(本题满分10分)
(Ⅰ)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)] u (x)v(x) u(x)v (x): (Ⅱ)设函数u1(x),u2(x),
,un(x)可导,f(x) u1(x)u2(x)
un(x),写出f(x)的求导公式.
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(20)(本题满分11分)
a10
设矩阵A 1a 1 ,且A3 0.
01a
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若矩阵X满足X XA2 AX AXA2 E,其中E为3阶单位矩阵,求X. (21)(本题满分11分)
02 3 1 20
设矩阵A 13 3 相似于矩阵B 0b0 .
1 2a 031
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使P 1AP为对角矩阵.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X的概率密度为
2 xln2,x 0,
f(x)
0,x 0
对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y为观测次数.
(Ⅰ)求Y的概率分布; (Ⅱ) 求EY.
(23)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为
1
, x 1,
f(x: ) 1
其他, 0,
其中 为未知参数,X1,X2, (Ⅰ)求 的矩估计量;
(Ⅱ)求 的最大似然估计量.
,Xn为来自该总体的简单随机样本.
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