线性代数在投入产出中的应用 - 图文

一、 摘 要

投入产出模型是利用线性代数方法和电子计算机手段,研究经济活动的投入与产出间数量依存关系的一种经济数学模型.投入产出模型是企业实现全面计划管理最适用而有效的工具。静态投入产出模型在我因企业的应用研究已日趋成熟.一些大、中型企业成功地建立和应用投入产出模型,收到了明显的经济效益。然而,到目前为止,投入产出技术远未在企业得到普及.例如,在重庆市,企业投入产出模型的编制与应用才刚刚起步.笔者以为,针对企业的具体生产工艺特点,灵活地运用投入产出技术,编制适用的投入产出模型及应用程序,普及推广投入产出技术,促进企业管理现代化乃是当前企业投入产出应用研究之主要方向。 关键词：线性代数 数学建模 投入产出 企业管理

二、问题的提出

1、背景：在经济学中，经常要研究多个经济部门之间的投入产出关系。针对这个问题，利用线性方程组的有关知识建立相应的数学模型，深入分析经济部门之间的投入产出关系。在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W.

Leontief提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.

2、待解决的问题：用线性代数方法，建立数学模型，利用MATLA得出结果。简而言之，就是结合数学软件解决线性代数在企业投入产出模型的运用。

三、问题的分析

根据企业投入产出，按行建立的分配方程或产出方程组模型。由第Ⅰ象限和第Ⅱ象限（参见投入产出表）的各行组成一个方程，反映各部门生产的总产品的分配使用情况，平衡关系是：中间产品+最终产品=总产品。按列建立的生产方程组或投入方程组模型。由第Ⅰ象限和第Ⅲ象限各列组成一个方程，反映总产品价值的形成过程，平衡关系是:物质消耗转移价值+新创造价值=总产值，即 式中：Vj为j部门提供的劳动报酬；Mj为j部门创造的社会纯收入。分配方程组模型对价值型和实物型表都适用，而生产方程组仅对价值型表适用。

在经济分析方面：可以用于结构分析，还可以用于编制经济计划和进行经济调整等编制计划的一种作法是先规定各部门计划期的总产量，然后计算出各部门的最终需求；另一种作法是确定计划期各部门的最终需求，然后再计算出各部门的总产出。后一种作法符合以社会需求决定社会产品的原则，同时也有利于调

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整各部门产品的结构比例，是一种较合理的作法

四、建模过程

4.1 利用投入产出表直接表示的投入产出的数学模型

4.1.1 模型分析

1.投入产出表的结构

设某企业的生产体系划为三个部门，2008年度三个部门的生产与消耗情况如表1所示。

表1 单位：亿元 产出 部门间流量 部门一 部门二 部门三 投入 部门一 部门二 18 24 20 10 12 8 12 9 16 60 15 36 100 60 80 38 30 43 100 60 80 消耗部门 最终产品 总产出 生产部门部门三 新创造价值 总产品价值 ① 表1结构：生产部门，消耗部门，部门间流量，最终产品，总产出，新创造价值，总产品价值。

②水平方向表示的是每个部门总产出（也叫总产值）的分配情况。

每个部门的总产出应等于提供给各部门消耗的中間产品与最终产品的价值量之和。

③表1的竖直方向，反映的是每个部门总投入的构成情况。

每个部门的总投入应等于其所消耗的部门产品与新创造价值量之和。 ④结论：每个部门的总投入与总产出是相互平衡的。

列举经济网络系统各部门的投入产出关系的表，称为投入产出表。 以货币计量单位编制的投入产出表叫做价值型投入产出表。 表1就是价值型投入产出表。

一般地，价值型投入产出表的基本结构，见表2。

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表2 价值型投入产出表

产出 部门间流量 投入 消耗部门 消费 最终产品 积累 合计 总产出 生产部门新创造价值

劳动报酬 纯收入 合计 总投入 表2中有关数据的经济意义如下：

表示第部门总产出的价值量，或是第部门总投入的价值量； 表示第部门生产的用作最终使用部分的产品的价值量；

表示第部门分配给第部门的产品的价值量，或第部门消耗第部门生产的产品的价值量。该量又称为部门间的流量； 表示第部门发给劳动者的劳动报酬； 表示第部门创造的纯收入；

表示第部门新创造的价值量（增加值）。

表2分成四部分，分别称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，如表3所示。

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表3 价值投入产出表的表式结构 产出 部门间流量 投入 中间使用 消费 最终产品 积累 合总产出 计 中间投入 Ⅰ Ⅱ 劳动报酬 增加值纯收入 合计 总投入 Ⅲ Ⅳ 消耗部门产品的价值量也称中间使用的价值量，生产部门的价值量也称中间投入的价值量，新创造价值也称增加值。

第Ⅰ象限:行方向表明某部门生产的产品分配给各部门使用的价值量，也称中间产品或中间使用；

列方向表明某部门在生产过程中消耗各部门的产品的价值量，也称为中间投入或中间消耗。

第Ⅱ象限：由个部门和各行与最终产品的各列交叉而成，反映了最终产品的构成；

第Ⅲ象限：由新创造价值的各行与个部门的各列交叉而成，反映了国民收入的初次分配情况；

第Ⅳ象限：由新创造价值的各行与最终产品的各列交叉而成，反映国民收入再次分配情况。一般空出不用。

2、平衡方程组 (1) 分配方程组

由第Ⅰ象限和第Ⅱ象限的各行组成一个方程，反映各部门生产的总产品的分配使用去向。

平衡关系是：中间产品+最终产品=总产出。由此列出的方程组为

（1）

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或简记为

称方程组(1) 或（2）叫做产出分配平衡方程组，简称分配方程组。 （2）投入方程组

由第Ⅰ象限和第Ⅲ象限各列组成一个方程，反映总产品价值的形成过程。 平衡关系是:中间投入+增加值=总投入。 由此列出方程组为

（2）

或简记为

称方程组(3) 或（4）叫做投入构成平衡方程组，简称投入方程组。

4.1.2 模型应用

某地区的支柱产业分为有四个产业，分别是制造、通信、服务与能源。在过去一年内，产业间流量和总产出如表3-4所示。求：各产业的最终产品的价值

； 各产业新创造的价值

表4 单位：亿元 产出 消耗部门 最终产品 总产出 。

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【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表

表3 消耗与产出情况 产出(1元) 产出 消耗 煤 电 运 煤 0 0.6 0.5 x 0.6y + 0.5z 消0.3x + 0.1y + 电 0.3 0.1 0.1 y 耗 0.1z 运 0.2 0.1 0 z 0.2x + 0.1y 根据需求, 应该有

订单 60000 100000 0 ?x?(0.6y?0.5z)?60000??y?(0.3x?0.1y?0.1z)?100000, ??z?(0.2x?0.1y)?0即

?x?0.6y?0.5z?60000???0.3x?0.9y?0.1z?100000 ???0.2x?0.1y?z?0【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令

>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0]; >> x = A\\b Matlab执行后得 x =

1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835

可见煤矿要生产1.9966?105元的煤, 电厂要生产1.8415?105元的电恰好满足需求.

?x??00.60.5??60000?【模型分析】令x =?y?, A =?0.30.10.1?, b =?100000?, 其中x称为总产值

?z??0.20.10??0???????列向量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则

?00.60.5??x??0.6y?0.5z?Ax =?0.30.10.1??y?=?0.3x?0.1y?0.1z?

?0.20.10??z??0.2x?0.1y???????根据需求, 应该有x ? Ax = b, 即(E ? A)x = b. 故x = (E ? A)?1b.

4.4.2 思考模型

【模型准备】某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消

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耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.

(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.

(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?

【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素. 【模型建立】表3 消耗与产出情况 产出(1元) 产出 消耗 甲 乙 丙 甲 0 0.65 0.5 x 0.65y + 0.5z 消乙 0.25 0.05 0.1 y 0.25x + 0.05y + 0.1z 耗 丙 0.25 0.05 0 z 0.25x + 0.05y （模型求解见模型）

一周期生产数 100 0000 120 0000 60 0000 五、模型的改进与评价

5.1 模型的评价

通过编制入产出表和模型，能够清晰地揭示国民经济各部门、产业结构之间的内在联系；特别是能够反映国民经济中各部门、各产业之间在生产过程中的直接与间接联系，以及各部门、各产业生产与分配使用、生产与消耗之间的平衡（均衡）关系。正因为如此，投入产出法又称为部门联系平衡法。此外，投入产出法还可以推广应用于各地区、国民经济各部门和各企业等类似问题的分析。当用于地区问题时，它反映的是地区内部之间的内在联系；当用于某一部门时，它反映的是该部门各类产品之间的内在联系；当用于公司或企业时，它反映的是其内部各工序之间的内在联系。通过应用，我们认为，上述三种模型都可以利用已知六条棱的棱长求出任意四面体的体积，且等价，因此，所得表达式均正确，符合客观实际。

5.2 未来发展趋势

数学方法和电子计算技术的结合是一个必然趋势。投入产出表的本身，就是一个经济矩阵，就是一个部门联系平衡模型，可运用现代数学方法和电子计算机进行运算，这不仅可以保证计划计算的及时性和准确性，而且可以进一步扩展，与数学规划和其它数量经济方法相结合，发展成经济预测和计划择优的经济数学模型。因此，与现代数学方法和电子计算技术的结合，可说是投入产出法的未来发展趋势。

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六、参考文献：

【1】正泽;介绍《经济数学方法与模型》[J];中国统计;1981年

【2】陈锡康;我国1973年投入产出表在经济工作中的若干应用[J];系统工程理论与实践;1983年

【3】陈锡康，投入产出方法与国民经济综合平衡[J];数学的实践与认识;1983年

【4】李长明，投入产出法在经济结构调整中的应用[J];中央财经大学学报;1983年

【5】王小刚，一种简化的生产经营型企业投入产出优化模型[J];工业技术经济;1985年

【6】顾海兵，我国投入产出分析的进展、问题与对策[J];数量经济技术经济研究;1989年

【7】 崔盛文，计算机专业《线性代数》课程教学的一些思考，职业教育。

七、附录

1、Matlab程序：

x=100; % 单位 万元 y=120; z=60;

q1=x-0.65*y-0.5*z-20; % q1 为甲一周期的新创价值 q2=y-0.25*x-0.05*y-0.1*z-5; q3=z-0.25*x-0.05*y-5;

q=q1+q2+q3 % q 甲乙丙 三厂 一周期的新创价值

解得：q=74万元 2、Matlab程序：

A = [1,-0.65,-0.5;-0.25,0.95,-0.1;-0.25,-0.05,1]; b = [100;120;60]; x = A\\b

解得：x=（324.2105 227.6803 152.4366） % 单位 万

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