高三数学复习训练：第四章 三角函数 解三角形 课时跟踪训练20

缘份让你看到我在这里

课时跟踪训练(二十)

[基础巩固]

一、选择题

3

1．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝3，则cos2α＝( ) 5

A．－3 5C.9

2

5

B．－9 5D.3

12

[解析] 由(sinα＋cosα)＝3得2sinαcosα＝－3， ∵α在第二象限，

∴cosα－sinα＝－?sinα＋cosα?2－4sinαcosα 15＝－3，

3?15?

?故cos2α＝cosα－sinα＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝3×?－

3??

2

2

5

＝－3，选A.

[答案] A

π?12?

2．已知sin2α＝3，则cos?α－4?＝( )

??1

A.3 2C.3

π?

[解析] cos?α－4?＝

??

2?

1

B.2 1D.6

π??

1＋cos?2α－2???

2

1＋sin2α

＝ 2

缘份让你看到我在这里

缘份让你看到我在这里

11＋3

2

＝2＝3. [答案] C

π?3??π?2

3．已知tan?α－6?＝7，tan?6＋β?＝5，则tan(α＋β)的值为( )

?

?

?

?

29A.41 1C.41

1B.29 D．1

π??π??????[解析] tan(α＋β)＝tanα－6?＋?6＋β?? ??????

π???π?

tan?α－6?＋tan?6＋β?

?

?

?

?

?

?

?

＝ π???π?1－tan?α－6?·tan?6＋β?

?

327＋5＝32＝1，故选D. 1－7×5[答案] D

sin47°－sin17°cos30°4.等于( ) cos17°3A．－2 1C.2

1B．－2 3D.2

sin?30°＋17°?－sin17°cos30°

[解析] 原式＝ cos17°sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°＝ cos17°sin30°cos17°1＝cos17°＝sin30°＝2. 缘份让你看到我在这里

缘份让你看到我在这里

[答案] C

π?11π???43???? 的值是( ) α＋α＋5．已知cos－sinα＝5，则sin66????23

A．－5 23C.5

4B．－5 4D.5

π??433343

[解析] cos?α＋6?－sinα＝5?2cosα－2sinα＝5?3

??

?1?43?π?43

??＝， ?cosα－sinα?＝－α?sin6522??5??

11π?π??π?????

???????∴sinα＋6＝sin2π＋α－6＝sinα－6? ????????

?π?4??－α＝－sin6＝－5. ??

[答案] B

?23π?π2π

6．cos9·cos9·cos?－9?＝( )

??

1

A．－8 1C.16

1B．－16 1D.8

?23?π2π

[解析] cos9·cos9·cos?－9π?＝cos20°·cos40°·cos100°＝－

??

cos20°·cos40°·cos80°

sin20°cos20°cos40°cos80°

＝－ sin20°1

·cos40°·cos80°2sin40°＝－ sin20°

缘份让你看到我在这里

缘份让你看到我在这里

1

·cos80°4sin80°＝－sin20° 11

8sin160°8sin20°1＝－sin20°＝－sin20°＝－8. [答案] A 二、填空题

7.cos10°－3sin10°sin20°

＝__________. 2??1cos10°－3

??[解析] 原式＝?22sin10°

?

sin20°

＝

2sin?30°－10°?

sin20°＝2.

[答案] 2

8.3tan12°－3?4cos212°－2?sin12°＝________. 3·sin12°

－3[解析] 原式＝cos12°

2?2cos212°－1?sin12°

23??13

??2sin12°－2cos12°??

＝cos12°2cos24°sin12°

＝23sin?－48°?

2cos24°sin12°cos12°

＝－23sin48°cos24°

＝－23sin48°sin24°1＝－43. 2sin48°[答案] －43

9．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，缘份让你看到我在这里

tanβ，

缘份让你看到我在这里

?ππ?

且α，β∈?－2，2?，则α＋β＝________.

??

[解析] 由已知得tanα＋tanβ＝－3a， tanαtanβ＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.

?ππ?

又∵α，β∈?－2，2?，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0，

???π?

∴tanα<0，tanβ<0，∴α，β∈?－2，0?.

??

3π

∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－4. 3π

[答案] －4 三、解答题

π???10．(2017·北京西城区5月模拟)已知函数f(x)＝tanx＋4?. ??(1)求f(x)的定义域；

π??

?(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cosβ－4?，求β的值． ??πππ

[解] (1)由x＋4≠kπ＋2，得x≠kπ＋4，k∈Z. π

所以函数f(x)的定义域是{x|x≠kπ＋4，k∈Z}． π?π???

(2)依题意，得tan?β＋4?＝2cos?β－4?，

?

?

?

?

π??

sin?β＋4?π?π??π???????

?β＋?，整理得sin?β＋?·?2cos?β＋?－1?＝所以＝2sin4?4??4??π?????

??cosβ＋4??0，

π?π?1??

所以sin?β＋4?＝0，或cos?β＋4?＝2. ????

缘份让你看到我在这里

缘份让你看到我在这里

π?π5π?

因为β∈(0，π)，所以β＋4∈?4，4?.

??π??π3π

??由sinβ＋4＝0，得β＋4＝π，即β＝4； ??π?1?πππ由cos?β＋4?＝2，得β＋4＝3，即β＝12.

??π3π所以β＝12，或β＝4. [能力提升]

1＋sinβπ?π???

????11．设α∈0，2，β∈0，2，且tanα＝cosβ，则( ) ????π

A．3α－β＝2 π

C．2α－β＝2

π

B．3α＋β＝2 π

D．2α＋β＝2

sinα1＋sinβ

[解析] 由已知，得cosα＝cosβ， ∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ. ∴sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα.

?π???. －α∴sin(α－β)＝cosα，∴sin(α－β)＝sin2??

π?π???

∵α∈?0，2?，β∈?0，2?，

?

?

?

?

ππππ∴－2<α－β<2，0<2－α<2， ππ

∴α－β＝2－α，∴2α－β＝2.故选C. [答案] C

12．(2017·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角，且tanα5π??ππ

＋tan12＝2tanαtan12－2，则sin?α＋6?等于( )

?

?

缘份让你看到我在这里

缘份让你看到我在这里

10

A．－10 310C．－10

10B.10 310D.10

π

tanα＋tan12

ππ

[解析] tanα＋tan12＝2tanαtan12－2?π＝－2?

1－tanαtan12π???tanα＋12?＝－2<0， ??

π?25π???5∵α为第二象限角，∴sin?α＋12?＝5，cos?α＋12?＝－5，则

????π?π?5π?π???π????π

sin?α＋6?＝－sin?α－6?＝－sin??α＋12?－4?＝cos?α＋12?sin4－

??????????π?π?310

??sinα＋12cos4＝－10. ??

[答案] C

2sin?π－α?＋sin2α13．(2017·湖南长沙一模)化简：＝________.

2αcos22sin?π－α?＋sin2α

[解析] 2αcos2

2sinα＋2sinα·cosα2sinα?1＋cosα?

＝＝1＝4sinα. 1

2?1＋cosα?2?1＋cosα?[答案] 4sinα

14．(2018·河南统考)已知tanα，tanβ是lg(6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.

[解析] 由lg(6x2－5x＋2)＝0，得6x2－5x＋1＝0，由题意知tanα

缘份让你看到我在这里

缘份让你看到我在这里

tanα＋tanβ51

＋tanβ＝6，tanα·tanβ＝6，∴tan(α＋β)＝＝

1－tanαtanβ

[答案] 1

1＝1. 1－6

56

15．已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα. [证明] ∵sin(2α＋β)＝2sinβ， ∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]． ∴sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα ＝2sin(α＋β)cosα－2cos(α＋β)sinα. ∴3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα. ∴tan(α＋β)＝3tanα.

?π??π??ππ?1

16．已知cos?6＋α?·cos?3－α?＝－4，α∈?3，2?.

?

?

?

?

?

?

(1)求sin2α的值； 1

(2)求tanα－tanα的值．

π??π??π??π??π?1?

[解] (1)cos?6＋α?·cos?3－α?＝cos?6＋α?·sin?6＋α?＝2sin?2α＋3?

??????????1

＝－4，

π??1

即sin?2α＋3?＝－2，

?

?

4π??ππ?π?

因为α∈?3，2?，所以2α＋3∈?π，3?，

?

?

?

?

π??3??所以cos2α＋3＝－2. ??

ππ?π?ππ?π1???

所以sin2α＝sin?2α＋3－3?＝sin?2α＋3?cos3－cos?2α＋3?sin3＝2.

??????

缘份让你看到我在这里

缘份让你看到我在这里

22

1sinαcosαsinα－cosα－2cos2α

(2)由(1)知tanα－tanα＝cosα－sinα＝sinαcosα＝sin2α＝

?3??－2×－?

2??

12

＝23.

[延伸拓展]

π

(2018·安徽皖江名校联考)已知在锐角△ABC中，角α＋6的终π??3

??α＋边过点P(sinB－cosA，cosB－sinA)，且cos6?＝3，则cos2α的?值为( )

3－2A.6 13C.2－6

21

B．－3－6 61

D．－3－6 ππππ

[解析] ∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B>2，A、B<2，∴2>B>2

?π??π?

－A>0，则sinB>sin?2－A?＝cosA，cosB

????

π??π6

??α＋cosA>0，cosB－sinA<0，∴角α＋6为第四象限角，∴sin6?＝－3，?π?π???π?ππ???π16

∴cosα＝cos??α＋6?－6?＝cos?α＋6?cos6＋sin?α＋6?·sin6＝2－6，∴

????????61

cos2α＝2cosα－1＝－3－6，故选D.

2

[答案] D

缘份让你看到我在这里

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rxc8.html