概率统计简明教程习题答案

习题三解答

1．已知随机事件解

A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6，条件概率P(B|A)?0.8，试求P(AB)及P(AB).

P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?0.5?0.6?0.4?0.3

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。 解

p?10?9?90819. ??100?99?9899?9810783．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

A?{基金}，B?{股票}，则P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19

P(AB)0.19(1) P(B|A)???0.327.

P(A)0.58P(AB)0.19(2) P(A|B)???0.678.

P(B)0.284．给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：

P(A|B)?P(A),P(A|B)?P(A), P(B|A)?P(B)，P(B|A)?P(B).

P(AB)0.151解 P(A|B)????P(A)

P(B)0.32P(AB)P(A)?P(AB)0.5?0.150.35 P(A|B)?????0.5?P(A)

P(B)1?P(B)0.70.7P(AB)0.15 P(B|A)???0.3?P(B)

P(A)0.5P(AB)P(B)?P(AB)0.3?0.150.15????P(B) P(B|A)?P(A)1?P(A)0.50.5解 记

5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐

飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。

解

B?{迟到}，A1?{坐火车}，A2?{坐船}，A3?{坐汽车}，A4?{乘飞机}，则 B??BAii?14，且按题意

P(B|A1)?0.25，P(B|A2)?0.3，P(B|A3)?0.1，P(B|A4)?0.

由全概率公式有：

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145

i?1 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：

(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

4B?{该球是红球}，A1?{取自甲袋}，A2?{取自乙袋}，已知P(B|A1)?6/10，P(B|A2)?8/14，所以

161841 P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?????21021470147(2) P(B)??

2412解 (1) 记

7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02

?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%

8．发报台分别以概率0.6，0.4发出\?\和\?\，由于通信受到干扰，当发出\?\时，分别以概率0.8和0.2收到\?\和\?\，同样，当发出信号\?\时，分别以

0.9和0.1的概率收到\?\和\?\。求(1) 收到信号\?\的概率；(2) 当收到\?\时，发出\?\的概率。

解 记 B?{收到信号\?\}，A?{发出信号\?\}

(1) P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52

解

P(A)P(B|A)0.6?0.812??.

P(B)0.52139．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中

抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。

解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D?{次品}，因此 P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C) ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02 ?0.0125?0.014?0.008?0.0345

P(A)P(D|A)0.25?0.05P(A|D)???0.362

P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.35?0.04P(B|D)???0.406

P(D)0.0345P(C)P(D|C)0.4?0.02P(C|D)???0.232

P(D)0.034510．设A与B独立，且P(A)?p,P(B)?q，求下列事件的概率：P(A?B)，P(A?B)，P(A?B). 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?q?pq

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?1?q?p(1?q)?1?q?pq

(2)

P(A|B)?

P(A?B)?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?pq

11．已知解 因

A,B独立，且P(AB)?1/9,P(AB)?P(AB)，求P(A),P(B).

P(AB)?P(AB)，由独立性有

从而 再由

P(A)P(B)?P(A)P(B)

P(A)?P(A)P(B)?P(B)?P(A)P(B) 导致 P(A)?P(B)

P(AB)?1/9，有 1/9?P(A)P(B)?(1?P(A))(1?P(B))?(1?P(A))2 所以 1?P(A)?1/3。最后得到 P(B)?P(A)?2/3.

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。 解 记

B?{命中目标}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，A3?{丙命中}，则 B??Aii?13，因而

?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。

1 2 解 记 A?{通达}，

Ai?{元件i通达}，i?1,2,3,4,5,6

则

A?A1A2?A3A4?A5A6， 所以

3 5 4 图3.1 6 P(A)?P(A1A2)?P(A3A4)?P(A5A6)

?P(A1A2A3A4)?P(A3A4A5A6)?P(A1A2A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6)

?3(1?p)2?3(1?p)4?(1?p)6

14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。 解

?5?32p??.

?3??(0.2)(0.8)?0.0512??15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

?3??3?32??解 p??3?(0.2)???2???0.8?(0.2)?0.008?0.096?0.104. ????16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).

,2,3. p?P(A) 解 记Ai?{A在第i次试验中出现}，i?1

?3?193??P?A?1?P(AAA)?1?(1?p)依假设 ?i123??27?i?1?83所以， (1?p)?， 此即 p?1/3.

2717．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记

Ai?{第i道工序为次品}，i?1,2,3. 则次品率

?3?p?P?A??i???1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.98?0.97?0.95?1?0.90307?0.097

?i?1?18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。 解 记

A?{译出密码}， Ai?{第i人译出}，i?1,2,3. 则

?3?P(A)?P?A??i???1?P(A1)P(A2)P(A3) ?i?1??1?0.75?0.65?0.6?1?0.2925?0.707519．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？

?10??1?解 (1) ??5???2?????610?10.

63 ；

256?10??1?(2) ???k???2?k?4????20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。 解 (1)

T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：

255

25622?4?27?3??1?22??(2) ??(0.75)(0.25)?6?? ????2?128?4??4???1?(1?0.75)4?1?(0.25)4?81?3?(3) (0.75)????256?4?44

习题四解答

1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

i,i?0,1,2,3,4,5； 15?5?i2?,i?0,1,2,3； （2）pi?61（3）pi?,i?2,3,4,5；

4i?1（4）pi?,i?1,2,3,4,5。

25（1）

pi?解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证

pi是否满足下列二个条件：其一条件为pi?0,i?1,2,?，其二条件为?pi?1。

i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为

p3?5?94（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）???0；

66中的数列不是随机变量的分布律，这是因为

?pi?i?1520?1。 252. 试确定常数

c，使P?X?i??5?c?1?X???成为某个随机变量X的分布律，并求：P?X?2?；P?,i?0,1,2,3,4?。 222i??

cc16成为某个随机变量的分布律，必须有?，由此解得c?； ?1i3122ii?0（2） P?X?2??P?X?0??P?X?1??P?X?2?

16?11?28 ? ?1????31?24?315?16?11?12?1（3）P?。 ?X???P?X?1??P?X?2??????22312431????解 要使

3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。 解 X可能取的值为-3，1，2，且

4111P?X??3??,P?X?1??,P?X?2??，即X的分布律为

326X 概率 -3 1 2 1 31 216 X的分布函数

x??3 1F?x??P?X?x?= ?3?x?1

35 1?x?2

6 1 x?2

0

4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。 解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件

?X?3?表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即P?X?3???3?1???2????表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时P?X?4???5???3????X的分布律为

X 概率 X的分布函数为

0

3 4 5 11?；事件?X?4?510????3?????4?1???2??3???6?；同理可得P?X?5??。 1010?5???3????1 103 106 10x?3

F?x??

1 3?x?4 104 4?x?5 10 1 x?5

5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。 解 依题意X服从参数

n?5,p?0.6的二项分布，因此，其分布律

?5?k5?kP?X?k????k??0.60.4,k?0,1,?,5，

??具体计算后可得

X 概率 0 1 2 3 4 5 32 312548 625144 625216 625162 625243 31256. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布

律。 （1） （2） （3）

每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； 每次取出的产品都不放回这批产品中； 每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解 （1）设事件

Ai,i?1,2,?表示第i次抽到的产品为正品，依题意，A1,?,An,?相互独立，且P?Ai??10,i?1,2,?而 13P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1即X服从参数

???????3?P?Ak?????13?k?110,k?1,2,? 13p?10的几何分布。 13（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，

103?105,P?X?2???,1313?1226 3?2?1053?2?1?101P?X?3???,P?X?4???.13?12?1114313?12?11?10286P?X?1??X的分布律为

X 概率 （3）X可能取到的值为1，2，3，4，

1 2 3 4 10 135 265 1431 286103?1133,P?X?2???,1313?13169 3?2?12723?2?16P?X?3???,P?X?4???.13?13?13219713?13?132197P?X?1??所求X的分布律为

X 概率 1 2 3 4 10 1333 16972 21976 2197由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量

X~B?6,p?，已知P?X?1??P?X?5?，求p与P?X?2?的值。

?6?k6?k???p1?p,k?0,1,?,6。 X~B?6,p?，因此P?X?6????k???51?p?,P?X?5??6p5?1?p?, 由此可算得 P?X?1??6p?151?p??6p5?1?p?, 解得p?； 即 6p?226?26?6??1??1?6?5?1?15???此时，P?X?2????????。 ???2?222!264????????解 由于

8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。

解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为

11，因此X服从n?4,p?的二项分布，即 22?4??1??1?P?X?k????k???2??2???????由此可得X的分布函数

k4?k,k?0,1,2,3,4

0，

x?0

1， 0?x?1 165 F?x?? ， 1?x?2

1611 ， 2?x?3

1615 ， 3?x?4

16 1， x?4

9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数解 设至少要进

n件物品，由题意n应满足

P?X?n?1??0.99,P?X?n??0.99,

??4的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？

即

P?X?n?1???P?X?n???k!n?14kk?0n4kk!e?4?0.99

e?4?0.99

k?0查泊松分布表可求得 。

10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从

n?9n?1000,p?0.0001的二项分布，即X~B?1000,0.0001?，由于n较大，p较小，因此也可

以近似地认为X服从??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布，即X~P?0.1?，所求概率为

P?X?2??1?P?X?0??P?X?1?0.10?0.10.11?0.1 ?1?e?e0!1!?1?0.904837?0.090484?0.004679.11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。 解 设事件

有

Ai表示第i次试验成功，则P?Ai??0.75，且A1,?,An,?相互独立。随机变量X取k意味着前

k?1次试验未成功，但第k次试验成功，因此

P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1P?Ak??0.25k?10.75

所求的分布律为 X 概率 1 0.75 2 … … ??????0.25?0.75 k 0.25k?1?0.75 … … 12. 设随机变量X的密度函数为 f?x?? 2x， 0?x?A

0， 其他，

试求：（1）常数

（2）X的分布函数。 A；

??A??fxdx?1解 （1）f?x?成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为f?x??0；其二为?，因此有?2xdx?1，解得A??1，其中A??1??0舍去，即取。

（2）分布函数

A?1F?x??P?X?x?????f?x?dx

x???0dx =

xx?0x

???0dx??02xdx???0dx??02xdx??10dx001x00?x?1 x?1x?0

=

x210?x?1

13. 设随机变量X的密度函数为解 （1）系数

x?1?xf?x??Ae,???x???，求：（1）系数A；（2）P?0?X?1?；（3）X的分布函数。

?xA必须满足???Ae??dx?1，由于e???x?x为偶函数，所以

???Ae解得

???xdx?2?0Aedx?2?0Ae?xdx?1

??A?1； 2111?x11P?0?X?1???0edx??0e?xdx?1?e?1222xf?x?dx （3）F?x?????（2）

??；

=

1?xx?0???2edx

110x?x?xx?0???2edx??02edxx

=

1xx?0???2edx

01x1x?xx?0???2edx??02edxx1xx?0e2 = 11?1?e?xx?0221xx?0e2 =

11?e?xx?02??14. 证明：函数

f?x??

xec0?x22c

x?0 （

c为正的常数）

x?0??xx2?e2cdxx2????2cd??e0?为某个随机变量X的密度函数。

证 由于

f?x??0，且???f?x?dx??????c????x????2c??2x2?e2c???1，

0因此

f?x?满足密度函数的二个条件，由此可得f?x?为某个随机变量的密度函数。

0.5ex 15. 求出与密度函数

x?0f?x?? 0.25 0?x?2

0x?2对应的分布函数F?x?的表达式。

解 当当当

综合有

x?0时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx?0.5exxxx0x02x

0?x?2时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx??00.25dx?0.5?0.25x x?2时，F?x?????0.5exdx??00.25dx??20dx?0.5?0.5?1

0.5ex,1,16. 设随机变量X在解 X的密度函数为

x?0;x?2.F?x?? 0.5?0.25x, 0?x?2;

?1,6?上服从均匀分布，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率。

1, 1?x?6； 5f?x??

方程

0, 其他.

t2?Xt?1?0有实根的充分必要条件为X2?4?0，即X2?4，因此所求得概率为

461PX2?4?P?X??2或X?2??P?X??2??P?X?2??0??2dx?55??。

17. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为

f?x??

20000?x?100?3, x?0;

0， 其他.

求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。

0,解 (1)

x?0;20000dx,3

F?x?????f?x?dx=

x??x?100?0xx?0.

0, =

x?0;100001??x?100?2,

x?0.?1?? 。 ?9?(2)

?10000P?X?200??1?P?X?200??1?F?200??1??1???200?100?2? 18. 设随机变量X的分布函数为

1??1?x?e,x?0求X的密度函数，并计算P?X?1?和P?X?2?。

解 由分布函数F?x?与密度函数f?x?的关系，可得在f?x?的一切连续点处有f?x??F??x?，因此

?xF?x??

0,

x?0

f?x??

所求概率

xe?x,0,x?0

其他

P?X?1??F?1??1??1?1?e?1?1?2e?1；

19. 设随机变量X的分布函数为

F?x??A?Barctanx,???x???，求(1) 常数A,B；(2)P?X?1?；(3) 随机变量X的密度函数。

lim?A?Barctanx??0x???解：(1)要使F?x?成为随机变量X的分布函数，必须满足limF?x??0,limF?x??1，即

x???x???lim?A?Barctanx??1x???P?X?2??1?P?X?2??1?F?2??1?1??1?2?e?2?3e?2。

??A?计算后得

?2B?0

A??解得

21A?21B?B?1

?另外，可验证当

（2）

1111A?,B?时，F?x???arctanx也满足分布函数其余的几条性质。

2?2?P?X?1??P??1?X?1??F?1??F??1?

?11?11??arctan1???arctan??1?? 2??2??1?1???????????? ?4??4?2（3）X的密度函数

f?x??F??x??1,???x???。

?1?x2?? 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从

??1的指数分布，其密度函数为5xx?01?5，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，f?x?? 5e,

其他0他就离开。

（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。 解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从

??1的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为 5

P?X?10???10??15x?e5dx?e?2；

（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从

n?5,p?e?2的二项分布，所求概率为

P?Y?1??P?Y?0??P?Y?1??5??2???0??e?????1?e?0?25?5??2?2???1??e1?e????4

?1?4e?21?e?221. 设X服从

（5）

（1）P?X?2.2?；（2）P?X?176?；（3）P?X??0.78?；（4）P?X?1.55?；??0,1?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：

????4P?X?2.5?。

解 查正态分布表可得 （1）

P?X?2.2????2.2??0.9861；

（2）P?X?1.76??1?P?X?1.76??1???1.76??1?0.9608?0.0392； （3）P?X??0.78?????0.78??1???0.78??1?0.7823?0.2177；

（4）

P?X?1.55??P??1.55?X?1.55????1.55?????1.55?

P?X?2.5??1?P?X?2.5??1??2??2.5??1?

22. 设X服从

???1.55???1???1.55???2??1.55??1?2?0.9394?1?0.8788 （5）

?2?2??2.5??2?1?0.9938??0.0124。

（1）P?X?2.44?；（2）P?X??1.5?；（3）P?X??2.8?；（4）P?X?4?；（5）???1,16?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：

（6）P?X?1?1?。 P??5?X?2?；

?b????a???P?a?X?b?????????，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得

???????2.44?1?（1）P?X?2.44????????0.86??0.8051；

?4???1.5?1?（2）P?X??1.5??1?????1????0.125?

4???1??1???0.125?????0.125??0.5498；

解 当

X~??,?2??时，

??2.8?1?P?X??2.8?????????0.45??1???0.45??1?0.6736?0.3264；

4???4?1???4?1?（4）P?X?4????????????1.25?????0.75?

?4??4????1.25??1???0.75??0.8944?1?0.7734?0.6678；

（3）（5）

?2?1???5?1?P??5?X?2????????????0.75?????1?

44???????0.75????1??1?0.7734?0.8413?1?0.9321；

??2?1??0?1??P?X?1?1??1?P?X?1?1??1?P?0?X?2??1??????????

44???????1???0.75????0.25??1?0.7724?0.5987?0.8253。

23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布??2.05,0.01?，合格品的规格规定为2?0.2，求该厂滚珠的合格率。

（6）

解 所求得概率为

?2.2?2.05??1.8?2.05?P?2?0.2?X?2?0.2?????????0.1?0.1??????1.5?????2.5????1.5??1???2.5?

?0.9332?1?0.9938?0.92724. 某人上班所需的时间X~??30,100?（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概

率。

解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为

?40?30?P?X?40??1?????1???1??1?0.8413?0.1587；

?10?（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从n?5,p?0.1587的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为

?5??5?054??????P?Y?1???0.1587?0.8413??1??1??0.1587??0.8413??0.8192。 ????

习题五解答 1. 二维随机变量

1?11?X,Y?只能取下列数组中的值：?0,0?,??1,1?,???1,?,?2,0?，且取这些组值的概率依次为,,解 由题意可得

?X,Y?的联合分布律为

X\\Y ?3?15,，求这二维随机变量的分布律。

6312120 -1 0 1 31 120 1 1 30 0 2 2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字

1 65 120 0 1,2,2,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记

第一、二次取到的球上标有的数字，求?X,Y?的分布律及P?X?Y?。

解 X可能的取值为1,2,3，Y可能的取值为1,2,3，相应的，其概率为

1?211?11P?X?1,Y?1??0,P?X?1,Y?2???,P?X?1,Y?3???,4?364?3122?112?112?11P?X?2,Y?1???,P?X?2,Y?2???,P?X?2,Y?3???,

4?364?364?3611?21P?X?3,Y?1??,P?X?3,Y?2???,P?X?3,Y?3??0.124?36或写成

X\\Y 1 1 0 2 3 2 3 1 61 121 61 61 61 121 60 P?X?Y??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?2??P?X?3,Y?3??1。 63. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下： X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。

分别就下面两种情况求出二维随机变量?X,Y?的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为

0,1，Y可能取的值也为0,1，且 8?8168?24P?X?0,Y?0???,P?X?0,Y?1???,10?102510?1025

2?842?21P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?102510?1025X\\Y 0 0 1 或写成

16 254 25

1

4 251 25（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为

8?7288?28?,P?X?0,Y?1???,10?94510?945 2?882?11P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?94510?945P?X?0,Y?0??或写成

X\\Y 0 0 1 1 4. 对于第1题中的二维随机变量

?X,Y?的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。

-1 0 概率 28 458 458 451 452 解 把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为 X 5120 1 61 31 125121 按列相加得Y的边缘分布律为

Y 概率 5. 对于第3题中的二维随机变量

?X,Y?的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。

X 概率 0 1 712 1 3解 在有放回情况下X的边缘分布律为

4 50 151 Y的边缘分布律为

Y 概率 在无放回情况下X的边缘分布律为

X 概率 Y的边缘分布律为

Y 概率 0 1 0 1 4 54 54 5151515 6. 求在D上服从均匀分布的随机变量解 区域D见图5.2。 易算得D的面积为

?X,Y?的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线y?2x?1围成的三角形区域。

y 1 S?f?x,y??

111?1??，所以?X,Y?的密度函数 2244,?x,y??D 0,其他?X,Y?的分布函数 yxF?x,y????????f?x,y?dxdy

当

x??1或y?0时，F?x,y??0； 21 0 1 x 2图5.2 当

1?x?0,0?y?2x?1时, 2yxF?x,y???0dy?y?14dx?4xy?2y?y2； ?2-1 ?

当

?1x2x?1?x?0,y?2x?1时，F?x,y???1dx?04dy?4x2?4x?1；

?22y022x?1当

x?0,0?y?1时，F?x,y???0dy?y?14dx?2y?y2； x?0,y?1时，F?x,y???1dx?0?02当

4dy?1

综合有

10, x??或y?0

214xy?y2?2y, ??x?0且0?y?2x?1

21F?x,y?? 4x2?4x?1, ??x?0且y?2x?1

222y?y, x?0且0?y?1 1, x?0且y?1

7. 对于第6题中的二维随机变量?X,Y?的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。

解 X的边缘密度函数为

fX?x?????f?x,y?dy

??= 0?2x?14dy,0,Y的边缘密度函数为

114?2x?1?,?x?0??x?0 = 220,其他其他?fY?y?????f?x,y?dx

???y?14dx,0?y?1=

02

0,解 在有放回情况下，由于

其他 =

2?1?y?,0,0?y?1

其他

8. 在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？

164416，而P?X?0?P?Y?0??，即P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?；容易??255525验证P?X?0,Y?1??P?X?0?P?Y?1?,

P?X?1,Y?0??P?X?1?P?Y?0?,P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1?，由独立性定义知X与Y相互独立。

284416在无放回情况下，由于P?X?0,Y?0??，而P?X?0?P?Y?0??，易见P?X?0,Y?0??P?X?0?P?Y?0?，所以X??455525P?X?0,Y?0??与Y不相互独立。

9. 在第6题中，X与Y是否独立，为什么？

解

?11??1??1?4f??,??4，而fX????2,fY???，易见?43??4??3?30 0.5 ?11??1??1?f??,??fX???fY??，所以X与Y不相互独立。 ?43??4??3? Y 概率 -0.5 1 3 10. 设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律： X -2 -1 概率 写出表示

?X,Y?的分布律的表格。

1 41 31 121 31 21 41 4解 由于X与Y相互独立，因此

PX?xi,Y?yj?P?X?xi?PY?yj,i?1,2,3,4,j?1,2,3,

????例如

P?X??2,Y??0.5??P?X??2?P?Y??0.5??其余的联合概率可同样算得，具体结果为

X\\Y -2 111?? 428-0.5 1 3 -1 1 81 61 161 12116112

0

0.5

11. 设X与Y是相互独立的随机变量，X服从解. 由均匀分布的定义知

?0,0.2?上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求?X,Y?的联合密度函数及P?X?Y?。

1 241 61 481 121 481 12fX?x??

由指数分布的定义知

5,0,

0?x?0.2其他y?0其他

fY?y??

5e?5y,0,y

因为X与Y独立，易得

?X,Y?的联合密度函数

25e?5y,0,

f?x,y??fX?x?fY?y??

概率

0?x?0.2,y?0其他

P?X?Y????f?x,y?dxdy， G???x,y?|x?y?见图5.3，经计算有

0.2x0.2G其中区域

P?X?Y???0dx?025e?5ydy??051?e?5xdx?e?1。

12. 设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

?? 0.2 x 图5.3 其他0,求：（1）系数k；（2）P?0?X?1,0?Y?2?；（3）证明X与Y相互独立。

解 （1）

（2）

f?x,y??

ke??3x?4y?,x?0,y?0

k必须满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dy?0ke??3x?4y?dx?1，经计算得k?12；

????????21P?0?X?1,0?Y?2???0dy?012e??3x?4y?dx?1?e?31?e?8fX?x???????????；

（3）关于X的边缘密度函数

x?012e??3x?4y?dy,?0f?x,y?dy?

??0,其他=

同理可求得Y的边缘密度函数为

3e?3x,0,

x?0

其他

其他 易见f?x,y??fX?x?fY?y?,???x???,???y???，因此X与Y相互独立。

13. 已知二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

0?x?1,0?y?xk?1?x?y, f?x,y??

0,其他（1）求常数k；（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？

0,解 （1）

fY?y??

4e?4y,x?0

k满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dx?0k?1?x?ydy?1解得k?24；

????1x??（2）X的边缘密度函数

fX?x?????0?x?124?1?x?ydy,f?x,y?dy? ?0

x0,其他=

Y的边缘密度函数为

12x2?1?x?,0,0?x?1

其他

?24?1?x?ydx, 0?y?1

fY?y?? y10,其他

=

12y?1?y?,20,

0?y?1其他

（3）

1111131927?11?，易见f?,??24???，而fX?x??12???,fY?y??12???2424342241616??X\\Y 0 0 1 ?11??1??1?f?,??fX??fY??，因此?24??2??4?X与Y不相互独立。

14. 设随机变量X与Y的联合分布律为

2 25b 3 252 251 a 1 252 3，（1） 求常数a,b的值；（2）当a,b取（1）中的值时，X与Y是否独立？为什么？ 523231217解 （1）a,b必须满足??pij?1，即，另外由条件概率定义及已知的条件得 ?b?a????1，可推出a?b?2525252525j?1i?1P?X?0,Y?1?b3P?Y?1|X?0????

2P?X?0?5?b2531714由此解得b?，结合a?b?可得到a?，

25252514a?25即

3b?25143517（2）当a?时，可求得P?X?0??，易见 ,b?,P?Y?0??252525252P?X?0,Y?0???P?X?0?P?Y?0?

25且

P?Y?1|X?0??因此，X与Y不独立。

15. 对于第2题中的二维随机变量解 易知

?X,Y?的分布，求当Y?2时X的条件分布律。

1，因此Y?2时X的条件分布律为 2X|Y=2 概率 1 2 3 p?2?P?Y?2??p121? p?23?2p221? p?23?p321? p?2316. 对于第6题中的二维随机变量

1??X,Y?的分布，求当X?x,????x?0?时Y的条件密度函数。

解 X的边缘密度函数为（由第7题所求得）

1?x?0 fX?x?? 20,其他?1??x?0?时Y的条件密度函数为 由条件密度函数的定义知当X?x,???2?4,0?y?2x?1f?x,y? fY|X?y|x??? 4?2x?1?

??fXx其他0,4?2x?1?,?

10?y?2x?1, = 2x?1

其他0,

习题六解答 1. 设X的分布律为

X 概率 -2 -0.5 0 2 4 181 41 4-0.5 1.5 1.5 0.25 181 61 62 4 -1 4 13 求出：以下随机变量的分布律。（1）解 由X的分布律可列出下表

2（2）?X?1；（3）X。 X?2；

概率 18-2 0 3 4 180 2 1 0 134 6 -3 16 X X?2 ?X?1 X2 由此表可定出

（1）

X?2的分布律为

X?2 概率 0 18-3 3 21 4-1 2 4 6 181 1 63 21 416 133 （2）

?X?1的分布律为

?X?1 概率 1 3X2 概率 0 1 61 41 418 18 （3）

X2的分布律为

4 117 83241172其中PX。 ?4?P?X?2??P?X??2????86240,若X?1;2. 设随机变量X服从参数??1的泊松分布，记随机变量Y? 试求随机变量Y的分布律。

1,若X?1,解 由于X服从参数??1的泊松分布，因此

1k?1e?1P?X?k??e?,k?0,1,2,?,

k!k!e?1e?1而 P?Y?0??P?X?1??P?X?0??P?X?1????2e?1；

0!1!P?Y?1??P?X?1??1?P?X?1??1?2e?1。

??即Y的分布律为

Y 概率

3. 设X的密度函数为

0 1 2e?1 1?2e?1 f?x??

2x,0,

0?x?1;其他, 求以下随机变量的密度函数：（1）

2X；（2）

2（3）X。 ?X?1；

解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果（1）解法一：设

y?g?x?为单调可导函数，则也可利用性质求得。

Y?2X，则Y的分布函数

y??FY?y??P?Y?y??P?2X?y??P?X??

2??00yy?0?022yyy?1 = = ?22xdx 0? 0?y?2

024y?11y?222xdx1?0y0?y?2 fY?y??FY??y?? 2

其他0y1解法二：y?2x，x??h?y?，而h??y??，则

22fY?y??fX?h?y??h??y?

y1y?,0??1 = 22 20,其他y0?y?2, = 2

其他0（2）设Y??X?1，则x?1?y?h?y?,h??y???1，Y的密度函数

2?fY?y??fX?h?y??h??y??

=

2?1?y????1?00?1?y?1其他

0?1?y?1

其他

2?y?1?0 （3）设

Y?X2，由于X只取?0,1?中的值，所以y?x2也为单调函数，其反函数h?y??y,h??y??2y?0,11,0?y?12y

其他

112y，因此Y的密度函数为

fY?y??fX?h?y??h??y??

1, =

0,

0?y?1其他4. 对圆片直径进行测量，测量值X服从解 圆面积

?5,6?上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。

1Y??X2，由于X均匀取?5,6?中的值，所以X的密度函数

4fX?x??

且

1,0,

5?x?6;其他.

1y??x2为单调增加函数?x??5,6??，其反函数

44y2y2111h?y???,h??y???????2y?y1,

，

Y的密度函数为

fY?y??fX?h?y??h??y??

?y0,5?2y??6;

其他,

25??y?9?; = ?y 4其他.0,2 5. 设随机变量X服从正态分布??0,1?，试求随机变量的函数Y?X的密度函数fY?y?。

1?x22 解 X~??0,1?，所以fX?x??e,???x???，此时y?x2不为单调函数不能直接利用性质求出fY?y?。须先求Y的分布函数

2?FY?y?。

0y?0;2 FY?y??P?Y?y??P?X?y??

y?0,P?y?X?y,1??P?y?X??y??1?y?yfX?x?dx???2yy12?e?2y?ye?x22dx. ,

fY?y??FY??y??

0,1 =

2??2ye12y?12?12yy?0;其他,

2?y0,e,

y?0;其他.

6. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数

Y?eX的密度函数fY?y?。

解

fX?x??

e?x,0,x?0;

其他.

??0,1?，证明?X?a服从??a,?2?,其中a,?为两个常数且??0。

1?x22证明 由于X~??0,1?,所以fX?x??e,???x???，记Y??X?a，则当??0时，y??x?a为单增函数，其反函

2?y?a1数h?y??,h??y??,因此Y的密度函数为

7. 设X服从

1，因此所求的Y的密度函数为 y1e?lny,lny?0;?fY?y??fX?h?y??h?y?? y

其他,0,1,y?1;2 = y

其他.0,y?ex的反函数h?y??lny,h??y????fY?y??fX?h?y??h??y??即证明了

12?e1?y?a????2???2?1?X?a~??a,?2?。

??12??e??y?a?22?2,???y???，

1,若X?0；8. 设随机变量X在区间

??1,2?上服从均匀分布，随机变量

； Y? 0,若X?0?1,若X?0.试求随机变量函数Y的分布律。

1?1?x?2;,解 X~R??1 ,2?，则f?x?? 3

其他.0,011而 P?Y??1??P?X?0??； dx???133P?Y?0??P?X?0??0；

212????PY?1?PX?0??dx?。

033因此所求分布律为

Y 概率 -1 0 0 1 9. 设二维随机变量

?X,Y?的分布律

X\\Y １ 1 3１ 2 3３ ２ ２ ３ 1 41 81 81 4０ 1 8０ 1 8０ 求以下随机变量的分布律：（１）

解 概率 （２）X?Y；（３）2X；（４）XY。 X?Y；

?X,Y? X?Y X?Y XY 1 4?1,1? ２ ０ 1 1 4?1,2? ３ -１ 2 1 8?1,3? ４ -2 3 1 8?2,1? ３ 1 2 ０ ０ ?2,2? ４ 0 4 ?2,3? ５ -1 6 1 8?3,1? ４ 2 3 1 8?3,2? ５ 1 6 ０ ?3,3? ６ 0 9 从而得到 （1）

X?Y 概率 （２）

２ ３ ４ ５ 1 4-２ -1 3 80 1 41 1 82 X?Y 概率

（３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为

Ｘ 概率 1 8１ 1 4２ 1 4３ 1 41 4６ 1 85 8２ 1 8４ 由此得

2X的分布律为

Ｘ 概率 5 81 2 1 83 1 46 （４）

XY 概率 13 48?1??1?１０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，X~B?1,?,Y~B?1,?,

?4??4?

1 41 8

Z?X?Y，求Z的分布律；

（２） 记随机变量U?2X，求U的分布律。

从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，X?Y与2X的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。

?1??1??1?解（１）由于X~B?1,?,Y~B?1,?，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知X?Y~B?2,?，即

?4??4??4?k2?k?2??1??3?P?Z?k??P?X?Y?k????k???4??4?,k?0,1,2,经计算有

??????０ １ ２ Z 619概率 161616（１）

记随机变量

（２）由于

X ０ １ 概率 因此

14 3 4２ U?2X 概率

０ 14 3 4X?Y与2X的分布并不相同。直观的解释是的X?Y与2X的取值并不相同，这是因为X与Y并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。

１１. 设二维随机变量?X,Y?的联合分布律为

易见

X\\Y １ １ ２ ０ ３ ０ ２ ３ U?max?X,Y?的分布律；

（２） 求V?min?X,Y?的分布律。 解 （１）随机变量U可能取到的值为１，２，３中的一个，且

（１）

求

1 92 92 91 92 9０ 1 91P?U?1??P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??;9P?U?2??P?max?X,Y??2??P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1??P?X?2,Y?2?211??;993P?U?3??P?max?X,Y??3??0??P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?3??P?X?3,Y?1??P?X?3,Y?2??P?X?3,Y?3??0?0?2215???;9999综合有

U １ ２ ３ 概率 1 91 35 9（２）随机变量

V可能取到的值为１，２，３中的一个，且

P?V?1??P?min?X,Y??1?1225?0?0???;9999

?P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?2??P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?1??P?X?3,Y?1?同理可求得?11P?V?2??,P?V?3??,综合有

39V １ ２ ３ 511 939 １２. 设二维随机变量?X,Y?服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线x?0,y?0，x?2,y?2所围成的区域，求X?Y的分布函数及密度函数。 解 ?X,Y?的联合密度函数为

?10?x?2,0?y?2;?,f(x,y)??4 设Z?X?Y，则Z的分布

? y 0,其他.?函数 Dz FZ?z??P?Z?z? 2 概率 ?P?X?Y?z??Dzz

??f?x,y?dxdyDz???x,y?:x?y?z?， 当z??2时，积分区域见图6.2，此时

FZ?z????0dxdy?0

其中区域

Dz当

?2?z?0时，积分区域见Dz图6.3，此时

1FZ?z????f?x,y?dxdy???dxdy4DzDz??-2 0 2 x 图6.2 y 2 Dz 图6.3 1?区域Dz?的面积 411122???2?z???2?z?428其中Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2中的那部当0?z?2时，积分区域Dz见图6.4，此时

分。

-2 0 2 x y 2 D y z 2 -2 0 D 2 x z 图6.4 1FZ?z????f?x,y?dxdy???dxdy4DzDz???1?区域Dz?的面积42

1?1???4???2?z??4?2?12?1??2?z?8其中Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2中的那部分。 当z?2时，积分区域Dz见图6.5，此时

-2 0 2 x 图6.5

FZ?z????f?x,y?dxdy?1。

Dz综合有

0,1?2?z?0;?2?z?2,8 FZ?z??

121??2?z?,0?z?2;8z?2,1,z??2;Z的密度函数

1?2?z?0;?2?z?,41fZ?z??FZ??z?? ?2?z?, 0?z?2;

40,其他.13. 设?X,Y?的密度函数为f?x,y?，用函数f表达随机变量X?Y的密度函数。 解 设Z?X?Y,则Z的分布函数

FZ?z??P?Z?z??P?X?Y?z????f?x,y?dxdy??dx?f?x,y?dxdy。

????x?y?z对积分变量

??z?xy作变换u?x?y，得到

z?x???于是

f?x,y?dy??f?x,u?x?du

????zzFZ?z???FZ?z???从而，

??????z???????f?x,u?x?dx?du??????f?x,u?x?dudx，交换积分变量x,u的次序得

Z的密度函数为fZ?z???f?x,z?x?dx，

????把

X与Y的地位对换，同样可得到Z的密度函数的另一种形式fZ?z???f?z?y,y?dy。

习题七解答 1. 设

X的分布律为，

X -1 0 1 2 1 2 概率 1 3。

1616 11 412求（1）

2（2）E(?X?1)，（3）E(X)，（4）DXEX，

解 由随机变量X的分布律，得

X -1 0 -X+1 2 1 X2 1 0 P 所以

1 316 1 21 21 41 61 2 0 -1 1 4 1 121 4

1111111E?X??(?1)??0?????1??2?

362612431111112E??X?1??2??1????0??(?1)??

3626124311111135 E?X2??1??0????1??4??36461242435129722D(X)?E(X)?(E(X))??()?

2437212E??X?1???E?X??1???1?

332.设随机变量X服从参数为????0?的泊松分布，且已知E??X?2??X?3???2，求?的值。

解

另外，也可根据数学期望的性质可得：

?D?X???E?X????5E?X??6?22

E??X?2??X?3???EX2?5X?6?EX2?5E?X??6?2

????????5??4?0??23. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求解

2所以 故

X~B?10,0.4?

E?X??10?0.4?4,D?X??10?0.4?0.6?2.4

X2的数学期望E?X2?。

EX2?D?X???E?X???2.4?42?18.4

2??4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？

解 设随机变量Y表示平均收益（单位：万元），进货量为

Y=

则

3X??a?X?3aa吨

x?a

x?a

E?Y?????4x?a?2000a400011dx??3adxa200020001?2a2?14000a?80000002000要使得平均收益E?Y?最大，所以

??2a2?14000a?8000000???0

得 a?3500（吨）

??

5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望和方差

D?X?。

P?X?0??0.9?0.8?0.7?0.504P?X?1??0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398P?X?2??0.1?0.2?0.7?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.092P?X?3??0.1?0.2?0.3?0.006

E?X?解 X的可能取值为0，1，2，3，有

所以X的分布律为

E?X??0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6X Pr 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006 EX2?02?0.504?12?0.398?22?0.092?32?0.006?0.82 D?X??0.82??0.6??0.462??

1?x2（2）E?X?。 e，求（1）E?X?；

2??1?x解 （1）E?X??x????2edx?0

????1221?x2?x （2）E?X?????x?2edx?2?02xedx?2

6. 设X的密度函数为

f?x??注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为

???0x2e?xdx可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。

。

?2(1?x),0?x?1，求EX,DXX的密度函数为f(x)??0其他?11解 （1）E?X?? x?2(1?x)dx??031122 （2）E?X?? x?2(1?x)dx??06112122故D(X)?E(X)?(E(X))??()?

6318 7. 某商店经销商品的利润率

8. 设随机变量X的密度函数为

f?x?? e?x x?0

0 x?0

?2X?、D?X?。 求E?X?、E?2X?、E?X?e解

E?X?????0xe?xdx?1

E?2X??2E?X??2E?X?e?2X??E?X??E?e??1???2X??0e?2x?xedx?1??e?3xdx?1?0??14?33

E?X2?????0x2e?xdx?22D?X??E?X2???E?X???19. 设随机变量

?X,Y?的联合分布律为

X\\Y 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 求

E?X?、E?Y?、E?X?2Y?、E?3XY?、D?X?、D?Y?、cov?X,Y?、?X,Y。

解 关于X与Y的边缘分布律分别为：

X Pr 0 0.5 1 0.5 Y Pr 0 0.7 1 0.3 E?X??0?0.5?1?0.5?0.5

EX???02

2?0.5?1?0.5?0.522D?X??0.5??0.5??0.25E?Y??0?0.7?1?0.3?0.3EY2?02?0.7?12?0.3?0.3D?Y??0.3??0.3??0.212

??E?X?2Y??E?X??2E?Y??0.5?2?0.3??0.1E?3XY??3E?XY??3?0?0?0.3?0?1?0.2?1?0?0.4?1?1?0.1??3?0.1?0.3cov?X,Y??E?XY??E?X??E?Y??0.1?0.5?0.3??0.05cov?X,Y?D?X?D?Y?2e?2x0

?X,Y???0.050.250.21

??21214e?4y010. 设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为

fX?x??

求

x?0x?0fY?y??

y?0

y?0

D?X?Y?。

解

11?， 22411Y~E?4?，所以D?Y??2?，

164X~E?2?，所以D?X??X,Y相互独立，所以

D?X?Y??D?X??D?Y??11. 设

值。

解 先画出A区域的图

?X,Y?服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求（1）E?X?；（2）E??3X?2Y?；（3）E?XY?的

-1 x A y 0 x y -1 5。 16f?x,y?? 2 ?x,y??A

0 其他

-1-y fX?x???f?x,y?dy?

?????

0?x?12dy?2?1?x?

???1?x?0

0 其他

fY?y???f?x,y?dx?

??

?2dx?2?1?y??1?y00?1?y?0

0 其他

1?1301E?Y???y?2?1?y?dy???13E?X???x?2?1?x?dx???1??1?1E??3X?2Y???3E?X??2E?Y???3?????2??????3??3?300012E?XY????xy2dydx???x?1?x?dx??1?1?x?112

12. 设随机变量

?X,Y?的联合密度函数为

f?x,y?? 12y2 0?y?x?1

0 其他 求

E?X?,E?Y?,E?XY?,EX2?Y2,D?X?,D?Y?。 解 先画出区域0?y?x?1的图

??

y 1

fX?x???f?x,y?dy? ?????x012y2dy?4x3

0?x?1

0

G 0 1 x

E?X2?Y2??E?X2??E?Y2???1x2?4x3dx??1y2?12y2?11600?y?dy?152D?X??E?X2???E?X??2?4?6??4??5???275

D?Y??E?Y2???E?Y??2?6?3?2115???5???7513. 设随机变量X,Y相互独立，且E?X??E?Y??1,D?X??2,D?Y??3，求D?XY?。

解

D?XY??E?X2Y2???E?XY??2??E?X2?E?Y2???E???X??E?Y??2?D?X???E?X??2D?Y???E?Y??2???E?X??2?E?Y??2

??2?1??3?1??1?1?1114. 设D?X??25,D?Y??36,?X,Y?0.4，求（1）D?X?Y?；（2）D?X?Y?。

解：（1）

D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y?

?25?36?2?0.4?25?36?85

（2）

D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y?

?25?36?2?0.4?25?36?37 15. 设随机变量X,Y相互独立，X~N(1,1)，Y~N(?2,1)，求E(2X?Y),D(2X?Y)。 解 E(X)?1,D(X)?1;EY(?)?2,DY(? )

其他

f??Y?y?????f?x,y?dx?

?1y12y2dy?12y2?1?y? 0?y?1

0

其他

E?X???1x?4x340dx?5E?Y???10y?12y2?1?y?dy?35E?XY???10?X0xy?12y2dydx?12

E(2X?Y)?2E(X)?E(Y)?2?1?(?2)?0

D(2X?Y)?2D(X)?D(Y)?4?1?1?52

16. 验证：当

(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式EX??的分布密度。

?????????xf(x,y)dydx及按公式EX??xf(x)dx算得的EX值相等。这里，

??????f(x,y)、f(x)依次表示(X,Y),X 证明 17. 设

EX???????????xf(x,y)dydx???????x??????xf(x)dx (f,x)ydydx??X的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计P{X?EX?7.5}的值。

D(X)2.51 解 P{X?EX?7.5}? ??227.57.522.518. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计解

P?X?Y?6?的值。

E?X?Y??E?X??E?Y???2?2?0

D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y??1?4?2???0.5?1?4?3所以

P?X?Y?6??P?X?Y?0?6??P?X?Y?E?X?Y??6? ?D?X?Y?1?2126

21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。

试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。

解 设死亡人数为概率为

X,X~B?3000,0.001?，保险公司亏本当且仅当2000X?10?3000，即X?15。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的

?X?np15?np???P?X?15??P??np?1?p?np?1?p????15?3??x?3 ?p???1.73??3?0.999?1???6.93??0

习题九解答 1. 设

X1,X2,?,X6是来自服从参数为?的泊松分布P???的样本，试写出样本的联合分布律。 f?x1,x2,?,x6??en 解

???x1x1!?e???x2x2!???e???x6x6!

?e?6??6?xii?1

?x!ii?1 2. 设

x1,x2,?,x6?0,1,2,?

X1,X2,?,X6是来自?0,??上的均匀分布的样本，??0未知

（1）写出样本的联合密度函数；

（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？

T1?X1?X2???X6,T2?X6??,T3?X6?E?X1?,T4?max?X1,X2,?,X6?

6f?x1,x2,?,x6?? ??6 0?x1,x2,?,x6??

（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解 （1）

0 其他 （2）1和

TT4是，T2和T3不是。因为T1和T4中不含总体中的唯一未知参数?，而

T2和T3中含有未知参数?。

111X??Xi??Xi??0.5?1?0.7?0.6?1?1??0.8

ni?16i?16221n162样本方差S???Xi?X????Xi?X?

ni?16i?11222222???0.3???0.2????0.1????0.2???0.2???0.2??0.0433 6n6（3）样本均值

??样本标准差

S?S2?0.0433?0.2082。

22?0(12)?，.990.01(12)，t0.99(12)，t0.01(12)。

3. 查表求解

22?0.99(12)?26.217，?0.01(12)?3.571，t0.99(12)?2.6810，t0.01(12)??2.6810。

T~t?10?，求常数c，使P?T?c??0.95。

解 由t分布关于纵轴对称，所以P?T?c??0.95即为P?T??c??0.05。 由附表5.6可查得?c?1.81，所以c??1.81。

2 5. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体?0,?的样本，试证：

1n22（1）?n?； X~??i2 4. 设

???i?11?n?2X1?。 （2）??i?~??2n??i?1?证明： （1）

2Xi1n2?Xi?22??~?n独立同分布于??0,1?，由?分布的定义，??，即X~?2?n?。 ?2?i??i?1i?1???n2?n?XX2????iinn1??22i?1?~?2?1?，即（2）易见，?Xi~?0,n?，即~??0,1?，由?2分布的定义，?i?1??Xi?~??1?。 2?n?2?n??i?1?i?1n?2???? 6. 设X1,X2,?,X5是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个Xi?i?1,2,?,5?都服从??0,1?。

n2??22服从?分布，并指出它的自由度； c，使得cX12?X2X1?X2（2）试给出常数d，使得d服从t分布，并指出它的自由度。

222X3?X4?X5（1）试给出常数 解

??22X12?X2即为二个独立的服从??0,1?的随机变量平方和，服从??2?分布，即c?1；自由度为2。

X1?X2（2）由于X1?X2~??0,2?，则~??0,1?。

2X1?X22222222又X3?X4?X5~??3?，与X3?X4?X5相互独立，则

2?X1?X2?2~t?3? 222X3?X4?X53（1）易见，

??即

62X1?X22X3?2X4?2X5~t?3?

6，自由度为3。 2 7. 设?X1,X2,?,Xn?是取自总体XX~R?0,2??，其中??0。

即

d?的一个样本，在下列三种情况下，分别求

E?X?,D?X?,ES2??：（1）

（2）X~E???；（3）X~B?1,p?；

解 （1）

X~B?1,p?

E?X??p,E?X2??p,D?X??p?1?p?

?1n?1nE?X??E??Xi???E?Xi??p?ni?1?ni?1p?1?p??1n?1nD?X??D??Xi??2?D?Xi??

nnni?1?i?1?

2?1?n21?n?1n?2?E?S??E???Xi?X?n??E??Xi?nX????E?Xi2??nE?X2???ni?1?n?i?1?n?i?1?2?21?n???D?Xi???E?Xi???nD?X??E?X??n?i?1?2????????p?1?p?1?2???np?n??p??n?n??????1???1??p?1?p??n?（2）X~E???

E?X??E?X??1

?1,D?X??1?2,?1D?X??2n?1?n1?12??2ES2???D?Xi???E?Xi???nD?X???E?X?????1??2n?i?1n????（3）X~R?0,2??，其中??0

E?X???

??????D?X???23

E?X???D?X??ES?2??23n1?n22???D?Xi???E?Xi???nD?X???E?X??n?i?1??????1?????1-n?3???2 8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：

（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解

（1）引入新变量：

Xi? 1，第i个样本居民年收入超过1万 0，第i个样本居民年收入没超过1万

其中i?1,2,?,n,n?1600

易见：p?P?Xi?1??0.1

又因n?1600??N?100000，故可以近似看成有放回抽样，X1,X2?,Xn相互独立。

??E?Xi??0.1,??D?Xi??0.1?0.9?0.3

??2样本中年收入超过1万的比例即为X，由于n?1600较大，可以使用渐近分布求解，即X~???,?n???，所求概率即为 ??

?n?X???40?0.11?0.1???P?X?11%??1?P?X?0.11??1?P?????0.3??

?4??1?????1?0.9082?0.0918?3?（2）同（1）解法

引入新变量：

Xi? 1，第i个样本居民受过高等教育 0，第i个样本居民未受过高等教育

其中i?1,2,?,n,n?1600

p?P?Xi?1??0.2??0.2,??0.2?0.8?0.4

?40?0.19?0.2?n?X???40?0.21?0.2????P?19%?X?21%??P???? 0.4?0.4?????1?????1??2??1??1?2?0.8413?1?0.6826答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。

习题十解答

X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计： （1）X~B?n,p?，其中p未知，0?p?1； （2）X~E???，其中?未知，??0。

??X。 解 （1）E?X??p，故p的矩估计量有p1. 设

另，X的分布律为

故似然函数为

P?X?x??px?1?p?i?11?x,x?0,1，

L?p??p对数似然函数为：

?Xin?1?p?n??Xii?1n

n?n???lnL?p????Xi?lnp??n??Xi?ln?1?p?

i?1?i?1???令

dlnL?p??dp?Xii?1nn??Xi?i?1n解得

p的最大似然估计量

可以看出

p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。

11??1（2）E?X??，令?X，故?的矩估计量???X另，X的密度函数为

p1?p1n???Xi?X。 pni?1?0

。

fX?x??

故似然函数为

?e??x0 x?0x?0

nL???? ?e0对数似然函数为

???Xii?1n

Xi?0,i?1,2,?,n其他

lnL????nln????XidlnL???nn???Xi?0d??i?1i?1

n

解得

???的最大似然估计量?n?Xii?1可以看出2. 设

n?1X。

?的矩估计量与最大似然估计量是相同的。

X 频数 0 17 1 20 2 10 3 2 4 1 X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为?的泊松分布，其中?未知，??0，求?的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值

?的矩估计值与最大似然估计值。

??X解 E?X???，故?的矩估计量?求

由样本观测值可算得

。

X?另，X的分布律为

0?17?1?20?2?10?3?2?4?1?1

50??P?X?x??e故似然函数为

?xx!n,x?0,1,2,?

L????e?n?对数似然函数为

??Xii?1X1!?Xn!,Xi?0,1,2,?,i?1,2,?,n

n?n?lnL?????n????Xi?ln???ln?Xi!?i?1?i?1?dlnL?????n?d?n解得

?Xii?1n

??0?X， n??1。 故?的最大似然估计值?3. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从区间?0,??的均匀分布，其中??0未知，求?解

???的最大似然估计量??Xii?1的矩估计。

224. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

2x0?x?? f?x?? ?2

其他0其中??0未知，求?的矩估计。

2x22???3X。 解 E?X???x?，令，故?的矩估计量为?dx????X0332?25. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

0?x?1???1?x??? fx?

其他0其中??0未知，求?的矩估计和最大似然估计。

??1??11???1?2X解 E?X???x??，令，故?的矩估计量为????1xdx??X0??2??2X?1E?X???，令

??X，故

?的矩估计量

??2X?。

，另，似然函数

???1??Xi?L???? i?1nn

0?Xi?1其他

0对数似然函数为

lnL????nln???1????lnXindlnL???n???lnXi?0d???1i?1???1?n??1?1解得?的最大似然估计量为?nX?Xii?1

n。

i?1X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为p的几何分布，即P?X?x??p?1?p?0?p?1，求p的最大似然估计。

6. 设

解 似然函数

对数似然函数

x?1,?x?1,2,3,??，其中p未知，

L?p??p?1?p?i?1n?Xi?nn

?n?lnL?p??nlnp???Xi?n?ln?1?p??i?1?dlnL?p?n??dpp解得

?Xi?ni?1n

p的最大似然估计量为

1?p1??。 pX?07. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布

隔的矩估计值与最大似然估计值。

解 根据习题1的结果，

：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间E???，其中??0未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）

?的矩估计和最大似然估计量都为

1X，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为

1，即为X??。

由样本观测值可算得

X?1?1.8?3.2?4?8?4.5?2.5??4。 6x8. 设总体X的密度函数为

估计。

1??f?x;???e,????x????，其中??0未知，设X1,X2,?,Xn是取自这个总体的一个样本，试求?的最大似然

2?解 似然函数

对数似然函数为

L????1?2??ne?i?1?nXi，

?lnL?????nln?2???n1??Xii?1

ndlnL???n???i?12?0d???1n???Xi。 得?的最大似然估计量为?ni?19. 在第3题中解

?Xi?的矩估计是否是

?的无偏估计？

1n2n??2n??E?2X??2E?X??2E???E?X?EX???i?????ini?12?ni?1?ni?1故?的矩估计量2X是?的无偏估计。

10. 试证第8题中

???的最大似然估计是?的无偏估计。

?1n?1n???E??Xi???E?Xi证明：E???ni?1?ni?1x?

1n??1?1n??1??????x?e?dx??2?0x?e?dx??ni?12?ni?12?x

故

???Xi?的最大似然估计?1是?的无偏估计。

ni?1211. 设X1,X2,X3为总体X~??,?的样本，证明

111?1?X1?X2?X3?632 212?2?X1?X2?X3?555n??都是总体均值

?的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。

11?1??1??E?X1?X2?X3? E??32?6?111?E?X1??E?X2??E?X3?632

?111??????E?X??E?X????632?12?2??2??E?X1?X2?X3?E??55?5?212?E?X1??E?X2??E?X3? 555?212??????E?X??E?X????555??1,??2都是总体均值?的无偏估计。 所以?证明 又

X?X?X?1??D?1?2?3? D??32??6111?D?X1??D?X2??D?X3?3694

772?111??????D?X??D?X???1818?3694?12?2??2??D?X1?X2?X3?D??55?5?414?D?X1??D?X2??D?X3? 25252599?D?X???22525?2??D???1?，所以二个估计量中??2更有效。 可见D??12. 设

X1,X2,?,Xn是取自总体X~?0,??2?1n2???Xi?0未知，令?的一个样本，其中?ni?122，试证

?2是?2的相合估计。 ?证明 易见

?1n?1n?2?E??Xi2???EXi2??2 E??ni?1?ni?1????又

1?2?Xi2~?2?n?，

i?1n?1n2?Xi??2n， 由第九章公式（9），D?2???i?1?42?4?1n2??2??D?2?Xi??2?故 D?。

n??i?1?n由切比雪夫不等式，当n??，对任给??0，

?2D?2?42222???????P???0，即?是?的相合估计。

?2n?2??????

1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布求

?的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。

解 由于

??,0.2?2?

，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，

?2?0.22已知，所以选用?的1??置信区间?X?u1??2??当

1???0.9，查表得u1???u0.95?n??1.64，当1???0.99，查表得u1??2,X?u1??2?。 n??u0.995?2.576。x?14.95,n?6,

2??代入数据得

0.2??，即为?14.82,15.08?。

66???0.20.2?,14.95?2.576??的双侧0.99置信区间观测值为?14.95?2.576??，即为?14.74,15.16?。 66???的双侧0.9置信区间观测值为?14.95?1.64?0.2,14.95?1.64?2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布64，57，49，81，76，70，59，试求

??,?2??，

?未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对?和?作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：

?的双侧0.95置信区间和方差?2的双侧0.9置信区间。

解 由于?和?都未知，故?的1??双侧置信区间为

?S*S*??n?1?,X?t1???n?1??， ?X?t1??22nn???2的1??双侧置信区间为

??22nSnS??， ,22????n?1????n?1??2?1?2?代入数据得

22x?65.14,s2?108.41,s*?11.25,t0.975?6??2.45,n?7,?0.95?6??0.05?6??1.635，

?的0.95双侧置信区间观测值为?65.14?2.45???11.257,65.14?2.45?11.25??，即为?54.74,75.54?。 7??7?108.417?108.41?,?，即为?60.3,464.14?。

12.5921.635??2*23. 随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的s?11，设子弹速度服从正态分布??,?，求这种子弹速度的标准差?和方差?的双侧0.95置信区间。

?2的0.9双侧置信区间观测值为????*2*2?????n?1Sn?1S22?，代入数据得n?9,S*2?121,?0??8?17.535,?解 由于?未知，故?的双侧置信区间为?,.9750.025?8??2.18， 2??2??n?1?????n?1?2?1?2??8?1218?121?,?2的0.95双侧置信区间观测值为??，即为?55.204,444.037?。故?的0.95双侧置信区间观测值为55.204,444.037，即为

17.5352.18???7.43,21.07?。

2??4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布未知参数

?的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。

??,?2??，且标准差

，试求??0.108。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%）

解 由于

??0.108已知，故?的1??单侧置信下限为X?u1????n，

?的1??单侧置信上限为X?u1???0.1085?n，代入数据得

x?4.364(%),u0.95?1.645,n?5，故?的0.95单侧置信下限观测值为4.364?1.645??4.285，?的0.95单侧置信上限观测值为

4.364?1.645?0.1085?4.443。

??,?25. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布

??，现抽查了25天，得

x?170元，s*?30元，求职工每天医疗费均值?的双侧0.95置信区间。

?S*S*?*,X?t1??解 由于?未知，故?的1??双侧置信区间为?X?t?，代入数据得x?170,s?30,n?25,t0.975?24??2.0639，?1?22nn???3030?,170?2.0639故?的0.95双侧置信区间观测值为?170?2.0639?，即为?157.4,182.6?。 2424??2

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