辅导讲义：常见辅助线作法

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中考数学辅助线的作法 教学内容 学生： 科目： 数 学 教师： 刘 美 玲

课 题

【一】 作辅助线的常见方法：

一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

五：两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

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六：两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

七：切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。

如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。

如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。

有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。

九：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

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【精讲精练】

二 由角平分线想到的辅助线

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

（一）、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

（1） 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

（2） 已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC

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AEDBFCA图1-2CEDB图1-3

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AE（3） 已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD

C 练习

BD图1-4（1） 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC

（2） 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE

（3） 已知：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CM>AB-AC

（4） 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

(1)如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180

BEADF(2)如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。 求证：BC=AB+AD

(3)已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。

BBAC图2-1DEC图2-2ANDPMFC4

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图2-3

练习：

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BCPODA1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA， PD⊥OA，如果PC=4，则PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1

图2-42．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，

A1AE=2（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。

4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC 上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。

（5） 已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。

BADEBCD图2-5CEEFADHB图2-6FC图2-75

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（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

? 求证：DH=

?

已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。

12（AB-AC）

ADEBHC图示3-1已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平

ADF分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。

BE

例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。

求证：AM=ME。 练习：

BFNDCAM图3-2CE图3-3（1)已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。

（2)已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=

12BC

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（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

CHDEAFGBBCAI图4-1图4-2

例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

例5 如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。

D C

B

D

A

B

A 1 2 D C

例6 如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。

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C

E

A

B

练习：

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C

1. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。

2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC

B D A A 1 2 C

B

3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD

4．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD

B D C

A B

E A D C

三 由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

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对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1、 已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,

求证:AB+AC>BD+DE+CE.

BMDENA图1?1C二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

AG例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。

三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

EBAEDF图2?1CNF例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。

B2341D图3?1C

四、 截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2， P为AD上任一点，求证：AB-AC>PB-PC。

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A21PNCDB图6?1M

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A D

例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

E B C

例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE， 求证：∠ADC+∠B=180o

DCAEB例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，?A=108°，BD平分?ABC。 求证：BC=AB+DC。

B C

A D 例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且

1A

M AM=MB。求证：CD=2DB。

C

D

B

1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。

A

B E D C 10

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2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE

四 由中点想到的辅助线

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形，如图1，AD是ΔABC的中线，

则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线

例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

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（四）、直角三角形斜边中线的性质

例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，

求证：AC=BD。

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

（六）中线延长

三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

例一：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF。

BEAF123D4C例二：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。

练习：

1 如图，AB=6，AC=8，D为BC 的中点，求AD的取值范围。

B 6 8 A

E图4?1MADBC图5?1D

C

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A 2 如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。

3 如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM⊥DC。

B

M CA

B

E

C

D

ED D EAF4，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。

5．已知：如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC

BDC图5?2A E F 五 全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

B

D C

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

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A（一）、倍长中线（线段）造全等

1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3， 则中线AD的取值范围是_________.

CBD2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与

AEFBDCEF的大小.

3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

ABDEC

中考应用

（09崇文二模）以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt

?ACE，?BAD??CAE?90?,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的

位置关系及数量关系．

（1）如图① 当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转?(0

?

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（二）、截长补短

1.如图，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

AACBD2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

D

3：如图，已知在?ABC内，?BAC?600EBC0，?C?40，P，Q分别在BC，CA上，并

A且AP，BQ分别是?BAC，?ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

B

CPQ4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分?ABC，求证：?A??C?180

BCAD05:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

A

12

P

BDC

15

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中考应用 （08海淀一模）

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（三）、平移变换

1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为求证

PBPA，△EBC周长记为

PB.

＞

PA.

2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

ABDEC

（四）、借助角平分线造全等

1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

A

BDCEO16

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2：（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

中考应用

（06北京中考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCBEGACFDA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，

B 你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

M

E O 图①

B F E D C

图② (第23题图)

P N

A

F D

A 图③

C

ADF（五）、旋转

1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF， 求∠EAF的度数.

BEC 2：D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN, DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

EBA（1） （2）

当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 若AB=2，求四边形DECF的面积。

MCFA17

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03.如图，?ABC是边长为3的等边三角形，?BDC是等腰三角形，且?BDC?120，以

D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则?AMN的

A0MNBC周长为 ；

中考应用

D

??BC?CD，AB?BC，∠ABC?120，∠MBN?60，AB?AD，已知四边形ABCD中，

∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时（如图1），易证AE?CF?EF．

当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

已知:PA=

2A

E

M

B A

E M

B F C A

B C F D

C N

F D

D

N

N

E M

（图1） （图2） （图3）

,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

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六 梯形的辅助线

梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：

作法 平移腰，转化AD图形 为三角形、平行四边形。 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 BCEBEC ADE 延长两腰，转化为三角形。 BADC 作高，转化为直角三角形和矩形。 BADEFC A中位线与腰中点连线。 DEBCF （一）、平移

1、平移一腰：

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DC例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.

2、平移两腰：

AB例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

A D

3、平移对角线：

B

H

C

E

例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

（二）、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

例8. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

DC（三）、作对角线

AB即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

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（四）、作梯形的高

1、作一条高

例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高

例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

（五）、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：

（1）EF//AD；（2）EF?12(BC?AD)。

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3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

例15、在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为____cm.

2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（ ） A. 19

AD B. 20

A C. 21

B D. 22

BC

DEC

3. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（ ） A. 130

B. 140 C. 150 D. 160

*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.

ADADBC BC

5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.

AADDCDEBEC AB BC

7. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长. **8. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？

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1．圆中作辅助线的常用方法：

（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。

（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。

（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。

（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。

②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。

图1（上） 图1（下）

（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径， （7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。

（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。

（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。

（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。 例题1：如图2，在圆O中，B为∠OAB=50，求∠CBD的度数。

0

的中点，BD为AB的延长线，

图2

例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=

12（弧AD+弧BC）的度数。

图3

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一、造直角三角形法 1.构成Rt△,常连接半径

例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM长; 2.遇有直径,常作直径上的圆周角

例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E.

求证:CE = AE;

3.遇有切线,常作过切点的半径

例3 .割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F. 求证:∠OAE = ∠OBF;

4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长) 例4 .小 ⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P = 60°。

求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3； 5．正多边形相关计算常构造Rt△

例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积. 二、欲用垂径定理常作弦的垂线段

例6. AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC = DF;

A(2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O的面积;

三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形

1PAC上一点,AM延长线交DC延长线于F. 例7. AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是?求证: ∠F = ∠ACM; 四、切线的综合运用

B1．已知过圆上的点，常_________________

例8.如图， 已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB ⊥BC于B.求证： BC与⊙O2相切.

例9.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点． 求证：CD与⊙O相切于点E．

2.两个条件都没有,常___________________

例10. 如图，AB是半圆的直径， AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求证: 直线MN与半圆相切；

例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点. 求证:AC与⊙D相切;

例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。 求证：⊙O也与其他三边都相切； 六、开放性题目

例17．已知：如图，以△ABC的边AB为直径的?O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．（1）BC与?O是否相切？请说明理由；

OC（2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．

C C

A D E B

A D E

O

O B

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