全等三角形经典题型50题（含答案）

全等三角形证明经典50题（含答案）

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A B

D

C

延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?A 12AB

D C B

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A 1 2 B E C F D 证明：连接BF和EF。??因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

??所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。??所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。????连接BE。

??在三角形BEF中,BF=EF。??所以 ∠EBF=∠BEF。??又因为 ∠ABC=∠AED。??所以 ∠ABE=∠AEB。??所以 AB=AE。????在三角形ABF和三角形AEF中，??AB=AE,BF=EF,??∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。??所以 三角形ABF和三角形AEF全等。??所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。??

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

证明：??过E点，作EG//AC，交AD延长线于G??则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2??又∵CD=DE??∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）??∴EG=AC??∵EF//AB??∴∠DFE=∠1??∵∠1=∠2??∴∠DFE=∠DGE??∴EF=EG??∴EF=AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A B E A 1 2 F C D B D C

证明：??在AC上截取AE=AB，连接ED??∵AD平分∠BAC??∴∠EAD=∠BAD??又∵AE=AB，AD=AD??∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）??∴∠AED=∠B，DE=DB??∵AC=AB+BD??

AC=AE+CE??∴CE=DE??∴∠C=∠EDC??∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C??∴∠B=2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥

AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： ??在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ??因为CE⊥AB ??所以∠CEB＝∠CEF＝90° ??因为EB＝EF，CE＝CE， ??所以△CEB≌△CEF

??所以∠B＝∠CFE ??因为∠B＋∠D

＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ??所以∠D＝∠CFA ??因为AC平分∠BAD ??所以∠DAC＝∠FAC ??又因为AC＝AC ??所以△ADC≌△AFC（SAS） ??所以AD＝AF ??所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE ????

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.??∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;??AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;??又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;??又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.??所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

AB//ED,AE//BD推出AE=BD,

E D 又有AF=CD,EF=BC F A B C 所以三角形AEF 全等于三角形DCB， 所以:∠C=∠F

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

??证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD

A D 点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。 则：??△AED是等腰三角形。??所以：AE=DE??而AB=CD??所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）??所以：△BEC

B C 是等腰三角形??所以：角B=角C.

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

C 作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）??因为PC

A

P B PC-PB

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE ∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C?? ∠1=∠BAC/2=90-2∠C?? ∠ABE=90-∠1=2∠C??

延长BE交AC于F?? 因为，∠1 =∠2，BE⊥AE??

所以，△ABF是等腰三角形

??AB=AF,BF=2BE????∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C??BF=CF????AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

D C B 作AG∥BD交DE延长线于G?? AGE全等BDE AG=BD=5??AGF∽CDF ??

F A

E AF=AG=5

??所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

延长AD至H交BC于H;??BD=DC;

??所以:??∠DBC=∠角DCB;??∠1=∠2;?? ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;??∠ABC=∠ACB;?? 所以:??AB=AC;??

三角形ABD全等于三角形ACD;??

∠BAD=∠CAD;??AD是等腰三角形的顶角平分线??所以:??AD垂直BC

19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB?? 所以MA=MB??所以∠MAB=∠MBA?? 因为∠OAM=∠OBM=90度?? 所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA??所以∠OAB=∠OBA

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线

交AP于D．求证：AD+BC=AB．

PEDC证明：??做BE的延长线，与AP相交于F点，??∵PA//BC??∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线??∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形??在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ??∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF??在三角形DEF与三角

AB形BEC中，??∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，??∴三角形DEF

与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC??∴AB=AF=AD+DF=AD+BC?? 21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

证明：在AB上找点E，使AE=AC??∵AE=AC，

A∠EAD=∠CAD，AD=AD??∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C??∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE??∠B=∠EDB??∠C=∠B+∠EDB=2∠B

CDB

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．??

解答：解：（1）连接BE，DF．??∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，??∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，??在Rt△DEC和Rt△BFA中，??∵AF=CE，AB=CD，??∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

??∴DE=BF．??∴四边形BEDF是平行四边形．??∴MB=MD，ME=MF；?? （2）连接BE，DF．??∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，??∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，??在Rt△DEC和Rt△BFA中，??∵AF=CE，AB=CD，??∴Rt△DEC≌Rt△BFA，??∴DE=BF．??∴四边形BEDF是平行四边形．??∴MB=MD，ME=MF． ?? 23．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积

相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： (1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知

AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。?? （2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。

EODA

BC

24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE．

FAED证明：延长BA、CE，两线相交于点F ??∵BE⊥CE ??∴∠BEF=∠BEC=90° ??在△BEF和△BEC中 ??∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC ??∴△BEF≌△BEC(ASA) ??∴EF=EC ??∴CF=2CE ??∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° ??又∵∠ADB=∠CDE ??∴∠ABD=∠ACF ??在△ABD和△ACF中 ??∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ??∴△ABD≌△ACF(ASA) ??∴BD=CF ??∴BD=2CE

BC

结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。??证明：??过D作AE平行线与AC交于F，连接FB??由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。??RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°??∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°??△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°??RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ??∠AFB=90°-∠FBA>45°??∴AB>AF??∵AB=CE AF=DE??∴CE>DE

49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. 先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB A 在证明△ABE≌△DCE 得出AE=DE

B E C D 50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

证明：作CG平分∠ACB交AD于

G??∵∠ACB=90°??∴∠ACG= ∠DCG=45°??∵∠ACB=90° AC=BC??∴∠B=∠BAC=45°??∴∠B=∠DCG=∠ACG??∵CF⊥AD??∴∠ACF+∠DCF=90°

A 图9

??∵∠ACF+∠CAF=90°??∴∠CAF=∠DCF??∵ AC=CB ∠ACG=∠B??∴△ACG≌△CBE??∴CG=BE ??∵∠DCG=∠B C F E D B

CD=BD??

△CDG ≌△BDE??∴∠ADC=∠BDE ∴

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