A05 - 角动量和角动量守恒定律 - 刚体力学习题课

大学物理教程_上_习题集参考解答

单元五 角动量和角动量守恒定律 1

一 选择题

01. 如图所示，一人造地球卫星到地球中心O的最大距离和最小距离分别是RA和RB。设卫星对应的角动量分别是LA,LB，动能分别是EKA,EKB，则应有 【 D 】

(A) ??LB?LA；

?EKA?EKB?LB?LA(B) ?；

E?E?KAKB(C) ??LB?LA；

?EKA?EKB选择题_01图示

?LB?LA(D) ?。

E?E?KAKB02. 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋转，初始状态为静止悬挂。现有一个小球自左方水平打击细杆。设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 【 C 】

(A) 只有机械能守恒； (B) 只有动量守恒；

(C) 只有对转轴O的角动量守恒； (D) 机械能、动量和角动量均守恒。

选择题_02图示 选择题_03图示 选择题_04图示

03. 如图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的一端相连结，绳的另一端穿过桌面中心的小孔O。该物体原以角速度?在半径为R的圆周上绕O旋转，今将绳从小孔缓慢往下拉。则物体 【 D 】

(A) 动能不变，动量改变； (B) 动量不变，动能改变；

(C) 角动量不变，动量不变； (D) 角动量不变，动能、动量都改变。

04. 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ 【 A 】 (A) 角动量从小到大，角加速度从大到小； (B) 角动量从小到大，角加速度从小到大；

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(C) 角动量从大到小，角加速度从大到小；

(D) 角动量从大到小，角加速度从小到大。

05. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 【 B 】

(A) 刚体不受外力矩的作用； (B) 刚体所受合外力矩为零；

(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零； (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 二 填空题

06. 一可绕定轴转动的飞轮，在20N?m的总力矩作用下，在10s内转速由零均匀地增加到

8rad/s，飞轮的转动惯量J?25kg?m2。

07. 花样滑冰运动员绕自身的竖直轴转动，开始时臂伸开，转动惯量为J0，角速度为?0，然后她将两臂收回，使转动惯量减少为J?1J0。这时她转动的角速度变为3?0。 308. 质量为m的均质杆，长为l，以角速度?绕过杆的端点，垂直于杆的水平轴转动，杆绕转动轴的动能为Ek?1221ml?，角动量为L0?ml2?。 6309. 匀质圆盘水平放置，可绕过盘心的铅直轴自由转动，圆盘对该轴的转动惯量为J0，当转动角速度为?0时，有一质量为m的质点落到圆盘上，并粘在距轴

R处(R为圆盘半径)，则它们的角速度2??J0?0。

J0?mR2/4三 判断题

10. 两个滑冰运动员A,B的质量均为m，以v0的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为R，当彼此交错时，各抓住长度等于R的绳索的一端，然后相对旋转，在抓住绳索之前和抓住之后，两个滑冰运动员各自对绳中心的角动量守恒。 【 对 】 11. 一个质量为m的小虫，在有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘边缘上，此时圆盘转动的角速度为若小虫沿着半径向圆盘中心爬行，则圆盘的角速度变大。 【 对 】 ?，

12. 一均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动。使棒从水平位置自由下摆，棒作匀角加速转动。 【 错 】 四 计算题

13. 长为l质量为m0的细杆可绕垂直于一端的水平轴自由转动。杆原来处于平衡状态。现有一质量为m的小球沿光滑水平面飞来，正好与杆下端相碰(设碰撞为完全弹性碰撞)使杆向上摆到??60处，如图所示，求小球的初速度v0。

? 研究系统为小球和直杆，系统所受外力对通过O点转轴的力矩为零。 系统角动量守恒：mv0l?mvl?0?1m0l2? 3第 2 页

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系统动能守恒：

121211mv0?mv?(m0l2)?2 22230碰撞后，直杆转过??60 重力矩做功：

111?m0gl(1?cos600)?0?(m0l2)?2 22311g?l?2 —— 从以上三式得到： 23v0?m0?3m6gl 12m计算题_13图示

14. 如图所示，有一圆板状水平转台，质量M?200kg，半径R?3m，台上有一人，质量

m?50kg，当他站在离转轴r?1m处时，转台和人一起以?1?1.35rad/s的角速度转动。若轴

处摩擦可以忽略不计，问当人走到台边时，转台和人一起转动的角速度?为多少？ ? 研究系统为人和转台，系统所受外力对转轴的力矩为零，系统角动量守恒：

11MR2?1?mr2?1?MR2??mR2? 22当人走到台边时，转台和人一起转动的角速度：

MR2?2mr2???1

MR2?2mR2??0.95rad/s

计算题_14图示

15. 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动。棒的质量为

1m?1.5kg，长度为l?1.0m，对轴的转动惯量为J?ml2。初始时棒静止。今有一水平运动的

3子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示。子弹的质量为m??0.02kg，速率为

v?400m/s。试问：

1) 棒开始和子弹一起转动时角速度?有多大？

2) 若棒转动时受到大小为Mr?4.0N?m的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度?？ ? 1) 棒和子弹系统对通过O点转轴的角动量守恒：

1m?vl?(ml2?m?l2)?

3??m?1(m?m?)l3?15.4rad/s

计算题_15图示

22棒和子弹开始转动：?Mr?(ml?m?l)?

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1(m?m?)l2?2?15.4rad 0??2?2???????32Mr单元五 刚体力学习题课 2

一 选择题

01. 如图所示，一质量为m的匀质细杆AB，A端靠在光滑的竖直墙壁上，B端置于粗糙水平地面而静止，杆身与竖直方向成?角，则A端对墙壁的压力大小为 【 B 】

(A) 0.25mgcos?； (B) 0.5mgtan?； (C) mgsin?； (D) 不能唯一确定。 ? 细杆平衡，对B的力矩为零：

1NAlcos??mg(l)sin??0

2NA?0.5mgtan?

选择题_01图示

02. 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，今使棒由静止开始从水平位置自由下落摆动到竖直位置。若棒的质量变为原来的两倍，长度不变，则棒下落相应所需要的时间 【 A 】

(A) 不变； (B) 变短； (C) 变长； (D) 是否变，不确定。

12?lmgsin??ml?1??23? 根据刚体定轴转动定律：? 其中?是杆与竖直方向的夹角

?l(2m)gsin??1(2m)l2?2?3?2??1??2 从两个方程得到：?1??2???/2?/2?0?1dt??0?2dt?? —— 棒下落相应所需要的时间不变

1203. 如图所示，一水平刚性轻杆，质量不计，杆长l?20cm，其上穿有两个小球。初始时，两小球相对杆中心O对称放置，与O的距离d?5cm，二者之间用细线拉紧。现在让细杆绕通过中心O的竖直固定轴作匀角速的转动，转速为?0，再烧断细线让两球向杆的两端滑动。不考虑转轴的和空气的摩擦，当两球都滑至杆端时，杆的角速度为 【 D 】

(A) 2?0； (C)

(B) ?0；

11?0； (D) ?0。 24XCH 第 4 页 7/14/2017

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? 两个小球对转轴的角动量守恒：

1111m(?0d)d?m(?0d)d?m(?l)(l)?m(?l)(l)

22225(5?0)?5(5?0)?10(10?)?10(10?)

???0

选择题_03图示

14二 填空题

04. 一根均匀棒，长为l，质量为m，可绕通过其一端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由转动。开始时棒静止在水平位置，当它自由下摆时，它的初角加速度等于

3g。当它自由下摆到竖直位置时，2l它的角速度等于123g。已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为ml。

3l? 在水平位置时，根据刚体定轴转动定律：

l13gmg?ml2? —— ?? 232l自由下摆到竖直位置时，应用动能定理：mg(l)?121122(ml)??0 23??3g l05. 如图所示，x轴沿水平方向，y轴竖直向下，在t?0时刻将质量为

m的质点由A处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点对原点O的角动量L?mgbt

? 任一时刻v?gt —— 方向垂直向下 对O点的角动量：L?mgbt

06. 质量为m的质点以速度v沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d的一点的角动量大小是

填空题_05图示

?mvd。

三 判断题(无) 四 计算题

07. 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为?，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度?0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？(圆形平板的转动惯量

J?mR2/2，其中m为圆形平板的质量)

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? 在r处选取面积元：dS?rdrd? 受到摩擦力：df?(mrdrd?)g? —— 方向逆切线方向 ?R2mgrdrd?)??r ?R2该面积元的摩擦力矩为：dM?(?M?总摩擦力矩：M?dM??M?2?mgR 3???0R2?0m?g?r2drd? 2?R平板角加速度：??M J设停止前转数为n，则转过角度??2?n

2?0?2???2(M/J)(2?n)

22J?03R?0n??

4?M16??g08. 一轴承光滑的定滑轮，质量为M?20.0kg，半径为R?0.10m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m?5.0kg的物体，如图所示。已知定滑轮的转动惯量为

J?1MR2，其初角速度?0?10.0rad/s，方向垂直纸面向里。求： 21) 定滑轮的角加速度；

2) 定滑轮的角速度变化到??0时，物体上升的高度； 3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度。

? 研究对象物体和滑轮，系统受到mg,Mg,N三个力，只有mg对转轴的力矩不为零，选取转轴正方向为垂直纸面向里。

系统对转轴的角动量：L?mR(R?)?根据角动量定理：

1MR2? 2dLd[(mR2?MR2/2)?]?mgR??

dtdt?mgR?(m?M/2)R2?

定滑轮的角加速度：???根据：?2??02?2?? 当??0——

2mg??32.7rad/s2

R(M?2m)计算题_08图示

??02???1.53rad

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?R?02?0.153m 物体上升的高度：h??R?2?—— 物体回到原处时，系统重力矩做的功为零，系统的转动动能不变。 定滑轮的角速度：???0?10rad/s —— 方向与原来相反

09. 如图所示，长为L的均匀细杆可绕端点O固定水平光滑轴转动。把杆摆平后无初速地释放，杆摆到竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。球的质量与杆相同。设碰撞是弹性碰撞，求碰后小球获得的速度。 ? 研究对象为直杆和小球

过程一为直杆在重力矩的作用下，绕通过O的轴转动，重力矩做的功等于直杆的转动动能。 应用刚体动能定理：

11mgl?JO?2?0 223g碰撞前的角速度：??

l?JO??JO???mvl? ?112122JO??mv?JO????222将??计算题_09图示

过程二为直杆和小球发生弹性碰撞：系统的角动量和动能守恒，并规定顺时针为转轴正方向。

13g3gl 代入上述两式得到：v?2l1M。开始时盘载人对地以角速度?0匀速转动，现在此人垂直圆盘半1010. 在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上(圆盘质量为M)，有一人静止站立在距转轴为R/2处，人的质量m?径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示。已知圆盘对中心轴的转动惯量为

1MR2。求： 21) 圆盘对地的角速度

2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着R/2圆周对圆盘的速度v的大小及方向？ ? 1) 设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为? 人相对于地面转轴的角速度：?1???(??vv)???2 R/2R人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒 设盘的质量为M，则人的质量为

1M，有： 10计算题_10图示

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1M11M1[MR2?(R)2]?0?MR2??(R)2?1 21022102从上面两式得到：???0?2v 21R2v21R?0 —— v?? 21R2?02) 欲使盘对地静止：???0?负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致

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