状态空间分析法的应用与特点

状态空间分析法的主要特点及其应用

课 程： 现代控制工程 教 师： 学 生： 班 级： 机电研 班 学 号：

状态空间分析法的主要特点及其应用

机电研班

摘要：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个

主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时域分析方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。 本文通过分析比较经典控制理论在多输入多输出方面存在的不足，阐述了现代控制理论中的一种方法——状态空间分析法。本文以线性系统的状态空间表达式为基础对状态空间分析法的特点和应用方面作了一些阐述和论证，并结合现实生活中的一些实际工程问题的分析，论证了此种方法的实用性和先进性。

关键词：现代控制；状态空间分析法；汽轮机；调节系统；动态分析 1引言

经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入——单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。复域分析法对于控制过程来说是间接的。

现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变、非线性、多输入——多输出系统的问题。现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统；另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。随着控制系统的高性能发展，最优控制、最佳滤波、系统辨识，自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。

在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。已能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。

2 状态空间的基本概念

2.1 线性系统理论

线性系统是一种最为常见的系统，也是控制理论讨论得最深人的系统。线性系统理论着重于研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的定量关系。通常，研究系统运动规律的问题称为分析问题，研究改变运动规律的可能性和方法的问题则称为综合问题。线性系统理论的主要内容有系统的结构性问题，如系统的可控性、可观性、系统实现和结构性分解、以及线性状念反馈及极点配置、镇定、解耦和状态观测等问题。近30年来，线性系统理论一直是控制领域研究的重点，其主要研究方法有：以状态空间分析为基础的代数方法，以多项式理论为基础的多项式描述法和以空间分解为基础的几何方法。

2.2 线性系统状态空间

状态和状态空间等概念很早以前就在力学和电工学中得到了应用。状态变量法是系统的时域描述法，它反应了系统内部的全部信息，又称内部描述法。20世纪50年代后期贝尔曼等人将状态变量法引入控制工程领域之后，这种方法就得到了日益广泛的应用，成为现代控制理论最基本的方法。为了准确理解和应用状态变量法，下面给出状态、状态变量、状态向量及状态空间等术语的定义。

状态：系统的状态是指系统过去、现在和将来的状况。比如对一个作直线运动的质点构成的系统，其状态就是质点的位置和速度。

状态变量：系统的状态变量是指能完全表征系统运动状态的最小一组变量。这里所说的“完全表征”，是指系统所有可能的运动状况都能表达出来，也就是说，x1(t),x2(t),?,xn(t)如果是某个n阶系统的一组状态变量，就必须满足下列两个条件：1）在任何时刻t?t0，这组状态变量的值x1(t0),x2(t0),?,xn(t0)表示系统在该时刻的状态；2）当t?t0时的输入

u(t)给定，且上述初始状态确定时，状态变量能完全表征系统在t?t0的行为。

而所谓“最小一组变量”，是指x1(t),x2(t),?,xn(t)为完全表征系统行为所必须的最少个数的一组状态变量，在这组变量中各个状态变量是相互独立、线性无关的，减少任一个都将破坏表征的完整性，而增加变量个数度对完整表征系统行为又是多余的。这里，最小一组变量的个数就是系统的阶数。因此，对一个用n阶微分方程描述的系统来说，它有且仅有n个独立的状态变量。

状态矢量：若一个系统有n个彼此独立的状态变量x1(t),x2(t),?,xn(t)，用这n个状态变量作为分量所构成的向量x(t)，称为状态向量。记作xT(t)??x1(t),x2(t),?,xn(t)?。 状态空间：以状态向量X(t)的各个分量x1(t),x2(t),?,xn(t)为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间。系统在任一时刻的状态都可以用状态空间中的一点来表示。如果已知初始时刻t0的状态X(t0)，就得到状态空间中的一个初始点：随着时间的推移，X(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，即所谓的状态轨迹。

状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。由于状态变量的选择具有非唯一性，故状态方程也具有非唯一性。对于一个具体的系统，当按可量测的物理量来选择状态变量时，状态方程往往不具备某种典型形式，当按一定规则来选择状态变量时则具有典型形式，从而给研究系统特性带来方便。尽管状态方程形式不同但它们都描述了同一个系统，不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。

输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

状态空间表达式：将反映系统动态过程的n微分方程或传递函数，转换成一阶微分方程组的形式，并利用矩阵和向量的数学工具，将一阶微分方程组用一个式子来表示，这就是状态方程。状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。由于系统状态变量的选择是非唯一的，因此状态空间表达式也是非唯一的。下面就是状态空间表达式的标准描述：

???x?A(t)x?B(t)u???y?C(t)x?D(t)u

式中： A∈Rn╳n——由系统自身结构确定的参数矩阵，称为系统矩阵或状态矩阵；B∈Rn╳r——称为输入矩阵或控制矩阵；C∈Rm╳n——称为输出矩阵；D∈Rm╳r——称为直接转移矩阵。

3状态空间分析法的数学模型

3.1状态空间法的基本概念

用状态空间法进行控制系统的分析和综合，比以传递函数为基础的分析设计方法更为直接和方便。为说明如何用状态空间描述和分析控制系统，这里先介绍状态变量、状态空间、状态方程等几个基本概念。 3.1.1状态变量

描述系统运动特征所需独立变量的最少组合。每一变量都表示系统运动状态的一种特征，这单个变量往往也称为状态变量。 状态变量的选取对一个系统来说不是唯一的，一般选取易于测量的变量。 3.1.2状态向量与状态空间

（1）状态向量。状态向量是以状态变量为元组成的向量。如x1(t)，x2(t)、x3(t)，?，xn(t)是系统的一组状态变量，则状态向量就是以这组状态变量为分量的向量，即：

?x1(t)??x(t)?X(t)??2?

?????x(t)?n?（2）状态空间。以x1(t)，x2(t)，x3(t)，?，xn(t)为坐标轴所组成的正交n维空间，称为状态

空间，状态空间中的每一点，都代表状态变量的唯一和特定的一组值。由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。 3.1.3 状态方程与输出方程

（1）状态方程。由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。

（2）输出方程。在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

对于线性系统，其状态方程和输出方程一般可以表示为：

dX(t)?AX(t)?Bu(t) dtY(t)?CX(t)?Du(t)式中： A∈Rnn——由系统自身结构确定的参数矩阵，称为系统矩阵或状态矩阵；

╳

B∈Rnr——称为输入矩阵或控制矩阵；

╳

C∈Rmn——称为输出矩阵；

╳

D∈Rmr——称为直接转移矩阵。

╳

3.2状态空间表达式

系统的状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统动态过程的完整描述，称为系统的状态空间表达式。

4 状态空间分析法的主要特点

4.1 状态空间描述系统带来的新概念——可控性和可观性

可控性和可观测性是系统的一种特性。这两个概念是卡尔曼在60年代提出的，是现代控制理论中的两个重要概念。它是最优控制和最优估计的设计基础。可控性是检查每一状态分量能否被u(t)控制，是指控制作用对系统的影响能力；可观性表示由观测量y能否判断状态x，它反映由系统输出量确定系统状态的可能性。因此，可控性和可观测性从状态的控制能力和状态的识别能力两个方面反映系统本身的内在特性。实际上，现代控制理论中研究的许多问题，如最优控制、最佳估计等，都以可控性和可观测性作为其解存在的条件。

可控性定义：线性系统

x?A(t)x?B(t)u，如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在

?有限时间区间t0,tf内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。

???可观性的定义：线性系统?x?A(t)x?B(t)u如果对任意给定的输入u(t)，在有限观

??y?C(t)x??测时间tf?t0，使得根据在t0,tf期间的输出y?t?能唯一地确定系统在初始时刻的状态

??x(t0)，则称状态x(t0)上是能观测的。

4.2 状态空间分析法在描述分析系统时的特点

在经典控制论中，对线性定常系统可以用微分方程或传递函数加以描述，但这样的数学模型只能涉及到输入与输出两个变量，只能描述输入及输出变量的变化过程。因此，这样的数学模型只能用来描述单输入——单输出系统。但事实上，一个系统除了输入、输出两个变量之外，还包含有其他相互独立的中间变量信息，微分方程或传递函数不能描述出这些变量，

因此不能包含系统的全部信息。此外，许多实际系统也并不仅仅是只有一个输入或输出变量。因此，从是否完全揭示系统的全部运动信息来说，微分方程或传递函数是有不足的，而且对于多变量系统，一个微分方程不能完全描述整个系统。这时，运用状态空间分析法来描述分析系统就显示出了它的巨大优越性。

状态空间分析法描述系统的主要特点：1）便于采用向量、矩阵符合，简化数学描述。2）能了解系统全部内部状态的变化，其将系统的所有输入、输出信号(如果有多个)作为动态方程的变量，同时也将系统动态过程中的中间信息作为变量，组成一组一阶微分方程组。因此能同时确定系统每时每刻的全部运动信息。2）容易考虑初始条件，由于描述系统用的是一阶微分方程，所以可以很容易地处理初始条件。3）可广泛地适用于线性/非线性、定常/时变、连续/离散、随机、多变量等各类系统。4）便于计算机求解。由于是一阶微分方程，加之计算机的利用，可以用来求解除线性定常系统问题之外，还可以求解非线性、时变、多输入——多输出系统、随机过程等问题。5）由于状态空间法能同时确定系统每时每刻的全部运动信息，因而为复杂系统的精确控制提供了条件，像载人航天飞行控制的发射与返回控制，若没有状态空间法是难以实施的。

4.3 状态空间分析法在设计控制器时的特点

在运用状态空间分析法建立数学模型的基础上分析系统的各种性能及其与系统的结构、参数和外部作用间的关系后，就要设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标都得到满足。而运用状态空间分析法可以很容易的利用现代设计方法实现实时控制、最优控制、自适应控制、精确控制等。 4.3.1 线性反馈控制系统设计的基本结构

在现代控制理论中，控制系统的基本结构和经典控制理论一样仍然是由受控对象和反馈控制器两部分构成的闭环系统。不过在经典理论中习惯于采用输出反馈，而在现代控制理论中则更多地采用状态反馈。由于状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使系统获得更为优异的性能。

通常反馈控制系统设计有下面几种选择：带输出反馈结构的控制系统；带状态反馈结构的控制系统；带状态观测器结构的控制系统；解耦控制系统。带输出反馈结构的控制系统包括输出到输入反馈和输出到状态微分的反馈。带状态反馈结构的控制系统是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。带状态观测器结构的控制系统中的状态观测器是一个物理可实现的模拟动力学系统，它基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量。解耦控制系统是将

一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的组合。这些反馈控制系统的基本结构都已固定化，有其自己的特性，便于我们根据要求选择合适的反馈控制系统。 4.3.2 控制系统的极点配置

反馈控制系统的性能取决于系统极点的位置分布。极点配置的位置不同，系统的响应品质、稳定程度、抗干扰能力、对参数变化的敏感性（鲁棒性）就不一样。经典控制理论是利用串联、并联校正装置和调整开环增益的方法，使系统极点分布于期望的位置。现代控制理论是应用基于状态反馈的系统极点配置方法，使系统极点分布于期望的位置。

状态反馈任意配置反馈控制系统极点的充分必要条件：被控对象或原系统是完全可控的。在此情况下，状态反馈可以任意配置系统特征值，从而可使原来不稳定的系统通过状态反馈变成稳定的系统。这种使不稳定变为稳定的控制，称为系统的镇定。系统如果不是完全可控，就不能采用状态反馈实现任意的极点配置，或者说此时状态反馈矩阵无解。在任意配置系统极点时，要注意系统零点的影响。因为，状态反馈一般不改变系统的零点。不难想象，当任意配置系统极点就可能导致系统的零极点相消，会影响系统的可观性。当然，原系统不含零点时，状态反馈就能保持系统的可观性。状态反馈矩阵是常数矩阵，在实现上就表现为放大器的功能。因此，具体的数值不能过大，否则会影响系统的响应特性和实现上的困难。

输出反馈中的输出到输入的反馈：完全可控单输入/单输出系统采用输出线性反馈不能实现任意极点的配置。输出到状态微分的反馈中系统采用输出线性反馈实现任意极点配置的充分必要条件是：原系统具有完全可观性。输出反馈是状态反馈的一种特殊情况，尽管保持原有的可控性和可观性，但代价是不能任意配置系统极点。反过来说，通过输出反馈来配置任意的系统极点，可能出现零极点对消的现象，从而破坏系统的可控性和可观性。因此，输出反馈不能任意配置系统的极点。将状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中常常含有输出的各阶导数，此时反馈矩阵不是常数矩阵，实现上就有技术上的困难。这说明反馈矩阵是常数矩阵时，不能任意配置系统极点。因此，输出反馈的应用有一定的限制。

5 状态空间分析法在工程的应用

5.1 运用状态空间分析法控制一个动态系统的几个基本步骤

1） 建模：基于物理规律建立数学模型。

为一个系统选择一个数学模型是控制工程中最重要的工作。当系统是不完全清楚的时候，为此系统建议一个数学模型是特别困难的。有些情况，可以写出一个系统的精确的动力学数学公式，但是他可能是如此复杂以致无法在它基础上设计一套控制规律。所幸的是对于

不完全清楚的模型还能较好的处理，因为从无数实践中我们已经学到，一个复杂的系统可以在十分简化的模型上有反馈控制得到成功。因而，控制工程中的模型问题和物理学中的模型问题是完全不同的。在控制理论中，问题的关键是寻找一个健壮的数学上的精练的模型，它在有效数据基础上可以用系统辨识方法求得。 2） 系统辨识：基于输入输出实测数据建立数学模型

系统辨识可以定义为用在一个动态系统上观察到的输入与输出数据来确定他的模型过程。如果模型结构已给定，只是其参数尚未知道，则系统辨识就变成参数估计。辨识是控制理论中不可分割的重要的组成部分，它属于应用数学中的求逆问题。进行系统辨识常需作下列使用，发生输入和记录输出信号。有许多统计方法和计算技术可用以处理数据和得到模型。 3） 信号处理：用滤波、预报、状态估计等方法处理输出

信号处理是控制理论外面的独立的一门学科，但这两学科之间有许多重叠之处，而控制界曾对信号处理做出了重要贡献，特别是在滤波和平滑的领域。这一领域是研究如何从被噪声污染的观察信号中重构原信息的问题。它们有广泛的应用场合，如通信、从卫星追索数据、语言处理、图像再现等。

4） 综合控制输入：用各种控制规律综合输入

控制的综合就是为控制系统生成控制规律，它与模型、辨识、信号处理、所用综合方法有关。这些过程的复杂性导致了各种控制研究课题。

5.2 汽轮机调节系统的状态空间设计

随着汽轮发电机组的大型化和对汽轮机控制要求的提高，汽轮机的调节系统也越来越复杂。要分析调节系统的动态特性，就必须导出系统的数学模型，即研究并写出系统的微分方程。组成调节系统的各个环节，不论是机械的、液压的、电气的或是热力的，都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得调节系统对输入量的动态响应。 5.2.1 汽轮机调节系统动态分析的微分方程 5.2.1.1 汽轮发电机转子的运动方程

当作用在汽轮发电机组转子上的蒸汽主动力矩MT和发电机反动力矩MG有变化时，转子的转速和角加速度就会有变化。

若令其增加量为：△MT（蒸汽主动力矩增量）、△MG (发电机反动力矩增量)和△ω(转动角速度增量)，可得以下数学表达式：

Jd????MT??MG （1） dt

汽轮发电机组在额定工况下（稳定状态时）有：MT0=MG0。将式（1）两端同时除以额定蒸汽力矩MT0并考虑流进通流部分的蒸汽量与蒸汽汽室中的压力成正比，经简化整理后可得： TM式中：TM?d????????(t) (2) dtJW0?P1?w?n为转子飞升时间常数，s；为转速变化相对值；?????w0n0MTP10为蒸汽汽室中压力变化相对值；β为汽轮发电机组自平衡系数；?(t)为扰动（外界负荷 变化的相对值）其方向规定为以减小负荷为正扰动。当自平衡作用很小时β→0，式（2）可改写为：

TM5.2.1.2 蒸汽容积方程

当进入汽轮机蒸汽汽室的蒸汽流量D1和流出的蒸汽流量D2有变化时，就会引起汽室中蒸汽比重的变化，可表示为： Vd?????(t) （3） dtd???D1??D2 (4) dt式中 : V为蒸汽汽室及管道的总容积；γ为蒸汽比重。这个容积方程和转子方程的形式相似，同理，经转换可得： T?式中：??d?????1??2 （5） dt?h1?h2?P为汽室中蒸汽压力变化的相对值；?1?、?2?为阀门P0?h1max?h2max开度变化的相对值；T??V?0D0为汽室及管路总容积中的蒸汽重量与额定流量之比，其物理

意义是以额定流量D0入汽室V中，使比重从0升高到γ0所需要的时间为ρ0。

对于汽轮机调节阀后的蒸汽喷嘴室，由于其出口为喷嘴组，面积是固定不变的，所以

?h?0、?2?0，于是式（6）可改写为：

T?d?????1 （6） dt需要注意的是，对于喷嘴调节，各调节阀压力不相同，还应有另一折算或分别计算。 5.2.1.3 调速器方程

对于理想的调速器（调速器的质量好、摩擦阻力小）， 当转速变化时，调速器的输出（如

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