人教版七年级下册《6.3第1课时实数的概念》同步练习（含答案）

6.3 实数

第1课时 实数的有关概念

关键问答

①无理数有几种常见的表现形式？

②数轴上的每一点都可以表示一个什么样的数？ 1．2017·滨州 下列各数中是无理数的是( ) A. 2 B．0 C.

②①

1

D．－1 2017

2．如图6－3－1，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合(提示：圆的周长C＝2πr)，把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是________，属于__________(填“有理数”或“无理数”)．

图6－3－1

命题点 1 无理数 [热度：90%] 3．下列说法正确的是( ) A．无理数就是无限小数 B．无理数就是带根号的数 C．无理数都是无限不循环小数 D．无理数包括正无理数、0和负无理数 易错警示

③(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限且不循环，不能表示成分数的形式．

③

(2)常见的无理数有三种表现形式：化简后含π的数；有规律的无限不循环小数，如：31.3131131113…；含有根号且开方开不尽的数，如5，6.

221313④

4．在下列各数：0.51525354…，0，0.2，3π，，9，9，，27中，是无理数

711的有________________________．

方法点拨

④一个数不是有理数就是无理数，识别一个数是不是有理数，只需看其是不是整数或分数即可．

5．有一个数值转换器，原理如图6－3－2所示：当输入的x为256时，输出的y是________．

图6－3－2

6．在1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有多 少个？

方法点拨

⑤分别找出1～100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数，即可得出无理数的个数．

命题点 2 实数的概念与分类 [热度：95%] 7．下列说法中，正确的是( ) A．正整数、负整数统称整数 B．正数、0、负数统称有理数

⑥⑤

C．实数包括无限小数与无限不循环小数 D．实数包括有理数与无理数 易错警示

⑥实数包括有理数和无理数，即有限小数、无限循环小数、无限不循环小数． 8．有下列说法：①两个无理数的和还是无理数；②无理数与有理数的积是无理数；③有理数与有理数的和不可能是无理数；④无限小数是无理数；⑤不是有限小数的数不是有理数．其中正确的有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解题突破

⑦两个无理数的和或差不一定是无理数．

12π⑧

9.实数，，中，分数有( )

346A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 方法点拨

⑧分数是两个整数作商，不能整除的数. 10．下列说法错误的是( ) A.1是有理数 B.2是无理数 4

⑦

32

C．－－27是正实数 D.是分数

2

11．在数轴上，表示实数2与10的点之间的整数点有________个；表示实数2与10之间的实数点有________个．

12．将下列各数填在相应的集合里： 3

512，π，3.1415926，－0.456，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数

53逐渐加1)，0，，－21，（－13）2，0.1.

11

有理数集合：{_____________________________________________…}； 无理数集合：{_____________________________________________…}； 正实数集合：{_____________________________________________…}； 整数集合：{_______________________________________________…}． 命题点 3 实数与数轴 [热度：98%] 13．下列说法中正确的是( )

A．每一个整数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个整数 B．每一个有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个有理数 C．每一个无理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个无理数 D．每一个实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数 14．如图6－3－3，数轴上的A，B，C，D四个点表示的数中，与－3最接近的是( )

图6－3－3

A．点A B．点B C．点C D．点D 解题突破

⑨－3介于哪两个连续的整数之间？这两个连续的整数中哪个整数的平方与3的差的绝对值小？

15．2018·宁晋县期中 如图6－3－4，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是( )

⑨

图6－3－4

A．π－1 B．－π－1 C．－π－1或π－1 D．－π－1或π＋1

16.在同一数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离是________． 方法点拨

⑩数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数.

17.?如图6－3－5所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆的周长为3个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2)上．先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将数轴的正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样数轴的正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．

⑩

图6－3－5

(1)圆周上数字a与数轴上的数字5对应，则a＝__________；

(2)数轴绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是________．

模型建立

?数轴绕过圆周n圈(n为正整数)后，一个整数落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是3n＋2.

18．阅读下面的文字，解答问题．

大家都知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能

全部写出来，于是小明用2－1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，所以将2减去其整数部分，差就是其小数部分．

(1)你能求出5＋2的整数部分和小数部分吗？

(2)已知10＋3＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求出x－y的相反数．

19.?定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作是分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数．可以这样证明：

aa22设2＝，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2＝2，a＝2b2.因为b是整数且不为0，

bb所以a是不为0的偶数．设a＝2n(n是整数)，所以b2＝2n2，所以b也是偶数，这与a，b是互质的两个整数矛盾，所以2是无理数．

仔细阅读上文，求证：5是无理数．

方法点拨

?从结论的反向出发，经推理，推得与基本事实、定义、定理或已知条件相矛盾的结果，这样的方法称为反证法.

典题讲评与答案详析

1．A 2.－2π 无理数 3.C

3

4．0.51525354…，3π，9，27 [解析] 因为0是整数，0.2可化成分数，9＝3，是整数，理数．

5.2 [解析] 由题图中所给的程序可知，把256取算术平方根，结果为16，因为16是有理数，所以再取算术平方根，结果为4，是有理数．再取4的算术平方根，结果为2，是有理数．再取算术平方根，结果为2，2是无理数，所以y＝2.

6．解：∵12＝1，22＝4，32＝9，…，102＝100，

∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，∴无理数有 90个．

∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64， 53＝ 125，且64<100，125>100，

∴1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，∴无理数有96个， ∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90＋96＝186(个)．

7．D [解析] 正整数、负整数、0统称为整数；有理数分为正有理数、0和负有理数；有理数包括无限循环小数和有限小数；实数包括有理数和无理数．

8．B [解析] 两个无理数的和不一定是无理数，如2和－2；无理数与有理数的积也不一定是无理数，如2和0；有理数与有理数的和一定是有理数；无限不循环小数是无理数；有限小数和无限循环小数是有理数．

131223，是分数，所以这五个数都是有理数.0.51525354…，3π，9，27都是无117

1

9．B [解析] 分数是两个整数作商，不能整除的数，因此只有是分数．

310．D [解析]A项，11

＝是有理数，故选项正确；B项，2是无理数，故选项正确；42

32

C项，－－27＝3是正实数，故选项正确；D项，是无理数，故选项错误．故选D.

2

11．2 无数

5312．有理数集合：{512，3.1415926，－0.456，0，，（－13）2，…}；

11

3无理数集合：{π，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，－21，0.1，…}；

3正实数集合：{512，π，3.1415926，

5

3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，，（－13）2，

110.1，…}；

3整数集合：{512，0，（－13）2，…}．

13．D [解析] 实数与数轴上的点具有一一对应的关系． 14．B

15．C [解析]∵圆的直径为1个单位长度，∴此圆的周长＝π，∴当圆向左滚动时点A′表示的数是－1－π；当圆向右滚动时点A′表示的数是π－1.

16．2＋3 [解析] 在同一数轴上表示2的点与表示－3的点之间的距离是2＋|－3|＝2＋3.

17．(1)2 (2)302 [解析] (1)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字a与数轴上的数字5对应时，a＝2.

(2)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字0，1，2与数轴的正半轴上的整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，…每3个一组分别对应，

∴数轴绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是302.

18．解：(1)∵4＜5<9，∴2＜5<3， ∴5的整数部分是2，小数部分是5－2，

∴5＋2的整数部分是2＋2＝4，小数部分是 5－2. (2)∵3的整数部分是1，小数部分是3－1，

∴10＋3的整数部分是10＋1＝11，小数部分是3－1，∴x＝11，y＝3－1， ∴x－y的相反数是y－x＝3－12.

aa22

19．证明：设5＝，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝2，a＝5b2.因为b是

bb整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，这与a，b是互质的两个整数矛盾，所以5是无理数．

【关键问答】

①无理数有三种常见的表现形式：一是含有根号且开方开不尽的数；二是化简后含π的数；三是人为创造的一些无限不循环小数．

②数轴上的每一点都可以表示一个实数．

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