高考数学试题汇编（数列）haohao

专题：数列（二复） 重庆文：在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（ A ） A．2 B．3 C．4 D．8

重庆理：若等差数列{an}的前三项和S3?9且a1?1，则a2等于（ A ） A．3 B．4 C．5 D．6 安徽文：等差数列?an?的前n项和为Sx若a2?1,a3?3,则S4＝（ B ） A．12 B．10 C．8 D．6 辽宁文：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（ B ）

A．63 B．45 C．36 D．27 福建文2等比数列?an?中，a4?4，则a2?a6等于（ C ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 福建理2数列{a1n}的前n项和为Sn，若an?n(n?1)，则S5等于（ B ）

A．1 B．5116 C．6 D．30 广东理5已知数列{a2n}的前n项和Sn?n?9n，第k项满足5?ak?8，则k?（ B ） A．9 B．8 C. 7 D．6 ?p?1?1?湖北理5已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则lim?n???1n→??q?（ C ） ??1?1?n???1A．0 B．1 C．pq D．p?1q?1

湖南文4在等比数列{a}（n?N*）中，若aa1n1?1，4?8，则该数列的前10项和为（ B ）

A．2?111124 B．2?22 C．2?210 D．2?211 湖北理8已知两个等差数列{aA7n?45an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且nB?n?3，则使得nb为整数nn的正整数n的个数是（ D ）

A．2 B．3 C．4 D．5

湖南理10设集合M?{1，2，3，4，5，6}， S1，S2，?，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si?{ai，bi}，Sj?{aj，bj}（i?j，i、j?{1，2，3，?，k}），都有min??ai，bi??b??min???aj，bj???iai???bjaj??（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是（ B ） A．10 B．11 C．12 D．13 辽宁理4设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（ ） A．63 B．45 C．36 D．27 宁夏文6已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y?x2?2x?3的顶点是(b，c)，则ad等于（ B ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．?2 宁夏理4已知?an?是等差数列，a10?10，其前10项和S10?70，则其公差d?（ D ）

Ａ．?23 Ｂ．?13 Ｃ．13 Ｄ．23 陕西文5等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2?2,S4?10,则S6等于（ C ） ．12 B．18 C．24 D．42 四川文7等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ B ）

A．9 B．10 C．11 D．12 ?1a??n2，1≤n≤1000，上海文14数列?n?中，an?? 则数列?a?n2n?的极限值（ B ） ??n2?2n，n≥1001，Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在 陕西理5各项均为正数的等比数列?an?的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于（ C ）

A．80 B．30 C．26 D．16 天津理8设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k?（ B ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 重庆理14 设{a2n}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x8x?3?0的两根，则a2006?a2007?_____.18 天津理13

设等差数列?a项的和为Sa2n?n2n?的公差d是2，前nn，则limn??S? ．3

n全国2文14 已知数列的通项an(5n?1)n??5n?2，则其前n项和Sn? ．?2 全国1理15 等比数列?a1n?的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则?an?的公比为 ．3 宁夏文16 已知?a1n?是等差数列，a4?a6?6，其前5项和S5?10，则其公差d? ．2 江西理14 已知数列?a?对于任意p，q?N*n，有a1p?aq?ap?q，若a1?9，则a36? ．4 江西文14 已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11? ．7

广东文13 已知数列{an}的前n项和Sn?n2?9n，则其通项an? ；若它的第k项满足5?ak?8，则k? ． 2n-10 ; 8 北京理10 若数列?an?的前n项和Sn?n2?10n(n?1，2，3，?)，则此数列的通项公式为 ；数列?nan?中数值最小的项是第

项．2n?11 3 北京文10 若数列?a?的前n项和S2nn?n?10n(n?1，2，3，?)，则此数列的通项公式为 2n?11

重庆理21 已知各项均为正数的数列{a*n}的前n项和满足Sn?1，且6Sn?(an?1)(an?2),n?N （1）求{an}的通项公式； （Ⅰ）an＝3n-2 （2）设数列{bbn}满足an(2n?1)?1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：

3Tn?1?log2(an?3),n?N

浙江理21 已知数列?a中的相邻两项a，a2kn?2k?12k是关于x的方程x?(3k?2)x?3k?2k?0的两个根，且a2k?1≤a2k(k?1，2，3，?)． （I）求a1，a2，a3，a7； （II）求数列?an?的前2n项和S2n； （Ⅲ）记f(n)?1?2?sinn?，?sinn?T(?1)f(2)(?1)f(3)(?1)f(4)(?1)f(n?1)?3?n?a??a?…?， 1a2a3a4a56a2n?1a2n求证：156≤Tn≤24(n?N*)． 解：（I）a12．（II）S3n2?3n1?2；a3?4；a5?8；a7?2n?2?2n?1?2．

浙江文19 已知数列{a2n}中的相邻两项a2k?1、a2k是关于x的方程x?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根，且a2k?1≤a2k (k ＝1，2，3，?)．

(I)求a1,a3,a5,a7及a2n (n≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{an}的前2n项和S2n．

解：（Ⅱ）S3n2?3n2n＝2?2n?1?2．

天津理21 在数列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn；

（Ⅲ）证明存在k?N?，使得an?1≤ak?1对任意n?N?aa均成立． nk解（Ⅰ）an(n?1)n?(n?1)?n?2n．（Ⅱ）Sn?2?2n?1?2． 已编 天津文20

在数列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*．

（Ⅰ）证明数列?an?n?是等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn；

（Ⅲ）证明不等式S*n?1≤4Sn，对任意n?N皆成立．

本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设an?1?4an?3n?1，得

an?1?(n?1)?4(an?n)，n?N*．

又a1?1?1，所以数列?an?n?是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知an?n?4n?1，于是数列?an?的通项公式为 a?1n?4n?n．

4n?1n(n?1)?． ?an?的前n项和Sn?32*（Ⅲ）证明：对任意的n?N，

?4n?1n(n?1)?14n?1?1(n?1)(n?2)2??(3n?n?4)≤0． Sn?1?4Sn???4???2322??3所以不等式Sn?1≤4Sn，对任意n?N皆成立． 四川文22 2+

已知函数f（x）=x－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N ），*其中为正实数.

（Ⅰ）用xx表示xn+1；

（Ⅱ）若ax?21=4，记an=lgnx，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；

n?2（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3. 解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力． （Ⅰ）由题可得f'(x)?2x．

所以曲线y?f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是：y?f(xn)?f'(xn)(x?xn)．

即y?(x2n?4)?2xn(x?xn)． 令y?0，得?(x2n?4)?2xn(xn?1?xn)． 即x2n?4?2xnxn?1．

显然xxnn?0，∴xn?1?2?2x． nxn2xn2(xn?2)2(x2（Ⅱ）由xn?2)n?1?2?x，知xn?1?2???2?，同理xn?1?2?． n2xn2xn2xn 故xn?1?2x?(xn?2x)2． n?1?2n?2从而lgxn?1?2x?2x?2lgnx，即an?1?2an．所以，数列{an}成等比数列． n?1?2n?2故a?2n?1an?1x?2n1?2lg1x?2n?1lg3．

1?2即lgxn?2x?2?2n?1lg3． n从而xn?2?32n?1x?2 nn?1所以x2(32?1)n?32n?1?1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知x2(32n?1?1)n?32n?1?1， ∴bn?x4n?2?32n?1?1?0 ∴bn?1n?1?11b?32?13?1?1112n?2n?132n?1?321?1? n33当n?1时，显然T1?b1?2?3．

n?1时，b111n?3bn?1?(3)2bn?2???(3)n?1b1

∴Tn?b1?b2???bn ?b13b11?1???(3)n?1b1 b?(11[1)n?3]1?1 3?3?3?(13)n?3． 综上，Tn?3(n?N*)． 上海理20

若有穷数列a1,a2...an（n是正整数），满足a1?an,a2?an?1....an?a1即ai?an?i?1（i是正整数，且1?i?n），就称该数列为“对称数列”。 （1）已知数列?bn?是项数为7的对称数列，且b1,b2,b3,b4成等差数列，b1?2,b4?11，试写出?bn?的每一项 （2）已知?cn?是项数为2k?1?k?1?的对称数列，且ck,ck?1...c2k?1构成首项为50，公差为?4的等差数列，数列?cn?的前2k?1项和为S2k?1，则当k为何值时，S2k?1取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数m?1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1,2,22...2m?1成为数列中的连续项；当m?1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008 解：（1）设?bn?的公差为d，则b4?b1?3d?2?3d?11，解得 d?3， ?数列?bn?为2，，，5811，，，852． （2）S2k?1?c1?c2???ck?1?ck?ck?1???c2k?1 ?2(ck?ck?1???c2k?1)?ck， S2k?1??4(k?13)2?4?132?50， ?当k?13时，S2k?1取得最大值． S2k?1的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是： ① 1，，222，?，2m?2，2m?1，2m?2，?，22，，21； ② 1，，222，?，2m?2，2m?1，2m?1，2m?2，?，22，，21； ③ 2m?1，2m?2，?，22，，21，，222，?，2m?2，2m?1；

④ 2m?1，2m?2，?，22，，21，1，，222，?，2m?2，2m?1． 对于①，当m≥2008时，S220072008?1?2?2???2?22008?1． 当1500?m≤2007时，Sm?22008?1?2???2?2m?1?2m?2???22m?2009

?2m?1?2m?1?22m?2009?2m?2m?1?22m?2009?1． 对于②，当m≥2008时，S20082008?2?1． 当1500?m≤2007时，Sm?20082008?2m?1?22?1．

对于③，当m≥2008时，Smm?20082008?2?2．

当1500?m≤2007时，S2009?m2008?2m?2?3．

对于④，当m≥2008时，S2008?2m?2m?2008．

an?1?an?6n?3．?????????????????③ 于是an?2?an?1?6n?9．????????????????????④ 由④－③得：an?2?an?6．???????????????????⑤ 即数列{an?2?an}（n≥2）是常数数列．

（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a． 由③有a1?a2?15，所以a3?3?2a， 而⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列．

所以a2k?a2?(k?1)?6?6k?2a?6，a2k?1?a3?(k?1)?6?6k?2a?3，k?N*．

由题设知，b?1n?18?7n．当a为奇数时，a2k?1为奇数，而bn为偶数，所以bn不是数列{a2k?1}中的项，bn只可能是数列{a2k}中的项．

若b1?18是数列{a2k}中的第kn项，由18?6k?2a?6得a?3k0?6，取k0?3，得a?3，此时a2k?6k，由bn?1n?a2k，得18?7?6k，k?3?7n?1?N*，从而bn?1n是数列{an}中的第6?7项．

（注：考生取满足a?3kn?12an?6，kn?N*的任一奇数，说明bn是数列{an}中的第6?7?3?2项即可） 湖北理21 已知m，n为正整数，

（I）用数学归纳法证明：当x??1时，(1?x)m≥1?mx； mm（II）对于n≥6，已知???1?1?1?m?1n?3???2，求证??1?m?3???2， mm求证???1?m?n?3?????1??2??，m?1，2，?，n； （III）求出满足等式3n?4n???(n?2)n?(n?3)m的所有正整数n．

本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当m?1时，原不等式成立；当m?2时，左边?1?2x?x2，右边?1?2x，

因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当m?k时，不等式成立，即(1?x)k≥1?kx，则当m?k?1时， ∵x??1，∴1?x?0，于是在不等式(1?x)k≥1?kx两边同乘以1?x得 (1?x)k·(1?x)≥(1?kx)(1?x)?1?(k?1)x?kx2≥1?(k?1)x， 所以(1?x)k?1≥1?(k?1)x．即当m?k?1时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．

m（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得??1?m?1?n?3??≥1?n?3?0， nnmm于是??1?m??n?3??≤??1??1?n?3???????1?1?n??1?m?，2，?，n． ??n?3????????2??，m?1（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时， ?nnn2n??1?1?n?3??????1?2?n?3???????n?1?1??1?1?1?n?3???2???2???????2???1?2n?1， ?n?2??n?1??3?∴???????????1． ?n?3??n?3??n?3?nnn即3n?4n???(n?2)n?(n?3)n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．

故只需要讨论n?1，2，3，4，5的情形： 当n?1时，3?4，等式不成立； 当n?2时，32?42?52，等式成立； 当n?3时，33?43?53?63，等式成立；

当n?4时，34?44?54?64为偶数，而74为奇数，故34?44?54?64?74，等式不成立； 当n?5时，同n?4的情形可分析出，等式不成立．

综上，所求的n只有n?2，3． 解法2：（Ⅰ）证：当x?0或m?1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x??1，且x?0时，m≥2，(1?x)m?1?mx． ①

（ⅰ）当m?2时，左边?1?2x?x2，右边?1?2x，因为x?0，所以x2?0，即左边?右边，不等式①成立；

（ⅱ）假设当m?k(k≥2)时，不等式①成立，即(1?x)k?1?kx，则当m?k?1时， 因为x??1，所以1?x?0．又因为x?0，k≥2，所以kx2?0． 于是在不等式(1?x)k?1?kx两边同乘以1?x得 (1?x)k·(1?x)?(1?kx)(1?x)?1?(k?1)x?kx2?1?(k?1)x， 所以(1?x)k?1?1?(k?1)x．即当m?k?1时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立． nn（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵???1?1?1??1?m??1?mn?3???2，∴?????1?n?3????????2??， m而由（Ⅰ），???1?1?n?3??≥1?mn?30?， nn∴??m???1?m??1?m?1?n?3??≤?????1?n?3????????2??． （Ⅲ）解：假设存在正整数n6使等式3n0?4n0???(nnn0≥0?2)0?(n0?3)0成立， n0n0n0即有??3??n????4???????n0?2???1． 0?3??n0?3??n0?3? ② n0n0n0又由（Ⅱ）可得??3??n0?3?????4??n??????n0?2??

0?3??n0?3?n0n0n0????1?n0??n?1??1?n0?3?????1?0n0?3???????1?n? 0?3?nn?1??00?1??1?11?2?????2?????2?1?2n0?1，与②式矛盾．

故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n． 下同解法1． 湖北文20

已知数列{an}和{bn}满足：a1?1，a2?2，an?0，bn?anan?1（n?N*），且{bn}是以q为公比的等比数列． （I）证明：a2n?2?anq；

II）若cn?a2n?1?2a2n，证明数列{cn}是等比数列； （III）求和：111111． ???????a1a2a3a4a2n?1a2n本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（I）证：由aaabn?1?q，有n?1n?2?n?2?q，∴ an?2?anq2(n?N*)． bnanan?1an（II）证：?an?qn?2q2， ?a2?22n?1?a2n?3q???a1q2n，a2n?a2n?2q2???an?22q， ?cn?a2n?1?2an?22n?a1q2?2a2n?22q?(a1?2a2)q2n?2?5q2n?2． ??c2n?是首项为5，以q为公比的等比数列． （III）由（II）得111a?1q2?2n，2n?2q2?2n，于是2n?1a1aa

1a?11?111??111?a????????????????? 12a2n?a1a3a2n?1??a2a4a2n? ?1?a??1?11qq?1?1?111?2?4??q2n?2???a?1?2?4???2n?2? 12?qqq? ?3?2??1?111?q2?q1???q2n?2??． 当q?1时，1113?1a?????2??1?11?q2?q4???q2n?2??

1a2a2n ?32n． 当q?1时，1a?1???1?3??1?111?2?4???2n?2?

1a2a2n2?qqq??2n

?3?1?q?2??1?q?2? ?

?3?2?q2n?1??q2n?2(q2?1)?． ???3故1a?1a???1???2n， q?1， 12a2n???????q2n?1??q2n?2(q2?1)?，?q?1.解法2：（I）同解法1（I）．

（II）证： cn?1c?a2n?1?2a2n?2a2a?q2a2n?1?2q2a2n?q2(n?N*)，又c1?a1?2a2?5， n2n?1?2na2n?1?2a2n??cn?是首项为5，以q2为公比的等比数列． （III）由（II）的类似方法得a2n?1?a2n?(a1?a2)q2n?2?3q2n?2， 1a?aa?aa?aa?1a???1?12?34a???2n?12n， 12a2na1a23a4a2n?1a2na2k?1?a2k3q2k?23?2k?22，?，n． ，k?1，??4k?4?qa2k?1a2k2q21113??????(1?q?2???q?2n?2)． a1a2a2k2下同解法1． 广东理21

已知函数f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，f'(x)是f(x)的导数；设a1?1，a)n?1?an?f(anf'(a（n=1,2,??） n) （1）求?,?的值； （2）证明：对任意的正整数n，都有an>a；

（3）记ba??n?lnna（n=1,2,??），求数列{bn}的前n项和Sn。

n?a解析：（1）∵f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)， ∴???1?52,???1?52； 21a15 （2）f'(x)?2x?1，an(2an?1?aan?an?1n?1)?n??an?24(2an?1)?42a n?12an?15=14(2a1n?1)?42a?2，∵a5?15?11?1，∴有基本不等式可知a2?2?0（当且仅当a1?2时取等号），n?1∴a5?15?12?2?0同，样a3?2，??，a5?1n?2??（n=1,2,??）， （3）a(a??)(an??)n?1???ann???2a?an??(an?1??)，而?????1，即??1???， n?12an?1a(an??)2(an??)21??3?53?5n?1???2a1，同理an?1???2a1，bn?1?2bn，又b1?ln1???ln3?5?2ln2

n?n?Sn?2(2n?1)ln3?52 广东文20

已知函数f(x)?x2?x?1，?、?是方程f(x)?0的两个根(???)，f?(x)是的导数 设a1?1，aan)n?1?an?f(f?(a，(n?1,2,?). n)(1)求?、?的值；

(2)已知对任意的正整数n有aan??n??,记bn?lna,(n?1,2,?).求数列{bn}的

n??前n项和Sn．

(1) 由 x2?x?1?0 得x??1?52 ????1?52 ???1?52 (2) f??x??2x?1 aa22n?an?1an?1n?1?an?2a1? n?2an?1a2n?1a??2a?1?5a2??5?a3?5n?12n?1n?n?12a??a2?n?1?n?11?532a?2a2?5?a?5n?1?n?n?12?2 ??a1?5??n???a???22??1????na????a5?n??n?2?? ? b1??3?51?n?1?2bn 又 b1?lnaa??ln3?5?4ln52 1??数列?bn?是一个首项为 4ln1?52,公比为2的等比数列; 4ln1?52?1?2n? S?n?1?2?4?2n?1?ln1?52 福建理21 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?1?2，S3?9?32． （Ⅰ）求数列{an}的通项an与前n项和Sn； （Ⅱ）设bSnn?n(n?N?)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分

解：（Ⅰ）由已知得???a1?2?1，，?d?2， ??3a1?3d?9?32 故an?2n?1?2，Sn?n(n?2)．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得bSn?nn?n?2．

假设数列{b}中存在三项b2np，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则bq?bpbr． 即(q?2)2?(p?2)(r?2)． ?(q2?pr)?(2q?p?r)2?0 ?p，q，r?N?，

2 ???q2?pr?0， ???2q?p?r?0，?p?r??2???pr，(p?r)2?0，?p?r． 与p?r矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列． 福建文21

数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，an?1?2Sn(n?N*)． （Ⅰ）求数列?an?的通项an； （Ⅱ）求数列?nan?的前n项和Tn．

本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．满分12分．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rwrf.html