第A10章_动量矩定理
更新时间:2023-08-28 14:48:01 阅读量: 教育文库 文档下载
理论力学
第10章 动量矩定理§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 基本知识 质点和质点系的动量矩定理 定轴转动刚体的动力学 质点系的相对运动动量矩定理 刚体平面运动动力学
理论力学
§10-1 基本知识一. 转动惯量(定义)
J Z mi ri 2
zo x
ri
mi
JZ
M
y
r dm
理论力学
1. 匀质圆盘对中心的转动惯量 (R,M)
JZ r d m2 M
M d m 2 2 r d r RJz R 0
1 M r 2 r d r MR 2 R 22
匀质圆环: z MR J
2
理论力学
2. 匀质细直杆的转动惯量
1 J z1 ML2 3
z1
JZ r d m2
C
1 2 Jz ML 12
M dm dx L
M
X
dx
J z1
L
0
M x dx L2
1 2 ML 3
理论力学
3. 用回转半径表示转动惯量:
J Z mi ri2
2
J Z r dmz1J z1 1 ML2 3
M 1 ML2 12
2
相对于z(质心)的回转半径1 m ml 2 122
1 l 12
Jz
相对于z1的回转半径 1 2 1 m m l l 3 32
X
dx
理论力学
4. 转动惯量的平行轴定理
J Z mi ri mi ( xi yi )2 2 22
( m r2
mi [ ( x1i d cos ) ( y1i d sin ) ]22 i 1i
mi d 22
mi r 1i
2d cos mi x1i 2d sin mi y1i )
mi d
2d cos ( mi x1i )
yd
y1
r1iC rix1
mi
2d sin ( mi y1i )
o
x
理论力学
J Z J C Md mi r1i mi d 2d cos mi x1i2 2
2
2d sin mi y1i2
0y1
J c Md
0
yd为z与z1之间的距离d
r 1
r
C
x1
o
x
理论力学
练习: 组合法求转动惯量撞击摆由摆杆OA和摆锤 B组成,若将杆和锤视为匀质的 细长杆和等厚圆盘。杆重P1,长为 l ,盘重P2,半径为R, 求摆对于轴O的转动惯量。
O
lA B R
1P 2 JO 1 l 3g
J O J1O J 2O
1P2 2 P2 2 R (l R) 2g g
理论力学
二.动量矩(瞬时量) kg m/s1. 质点的动量矩(定义)
2
LO r m M o m Lz M z (m ) 同理x, y LO
z LO ri
m
M y
o x
2, 质点系的动量矩(定义)
ri mi i M o mi i 同理x, y
LZ M Z (mi vi )
理论力学
§10.2 质点和质点系的动量矩定理 一.质点的动量矩定理固定点
d r F r ( m )dt d ( r m ) dt
F
d F m dtm
r
M
dr mv v mv 0 dt
dr mv dt
o
理论力学
d r F ( r m ) dt d M o (mv ) M O (F ) dt
F
m
r
M
d LO M o (F ) dt d Lz M z ( F )( x, y轴同理) dt
o
理论力学
练习: 求单摆的运动方程(摆角很小)
研究小球d( mvl ) mgl dt
e d LO M O( F ) dt
d[ m( l )l ] mgl dt
o
ml mgl 2
Tmg
v
02 n
( g / l )2 n
理论力学
二. 动量矩守恒
若质点外力
存在
M O (F ) 0 LO M O (mv ) C
或 M z ( F ) 0 LZ M Z (mv ) C
理论力学
o
r
M
v0
质量为m的小球系于细绳的一端, 绳的另一端穿过光滑水平面上的 小孔O,令小球在此水平面上沿半径 为r的圆周作匀速运动,其速度为 v0 , 如将绳下拉,使圆周半径缩小为 r / 2 , 问此时小球的速度 v1 ?
FT
解:研究小球
e d LO M O (F ) dt e M O(F ) 0
理论力学
e d LO M O (F ) dt
e M O(F ) 0
o
r
M
v0
LO costm v1 r 2
FT
FN FT
n
mg
mv0 r
理论力学
三. 质点系的动量矩定理 固定点 O e i d 对于其中任一质点 F F ( m ) dt 对于质点系 e i d ( F i Fi ) d t (mi i ) 对固定点取矩 O e i d ri Fi ri Fi d t ri mi i
e d LO ri Fi M O ( F ) dt
理论力学
e d LO ri Fi M O ( F ) dt
作用于质点系上所有外力对某固定点的矩的和
等于此质点系的动量矩对时间的导数
d Lx M x (F ) dt
y, z轴同理
理论力学
如图滑轮O上悬有一根绳子,绳子两端离过轴O的水平线的距离分别 。两个质量分别 l1 和 l2 为 m1 和 m2 的人抓着绳子的两端, 同时开始向上爬并同时到达过轴O 的水平线。不计滑轮和绳子的质量, O 忽略所以对运动的阻力。 v2 v1 l2 求两人同时到达的时间。 l1
解:系统任意时刻对O轴的动量矩为
LO m1v1r m2v2r动量矩定理:
m2 g
m1 g
dLO (m2 g m1 g )r dt
理论力学
初始系统静止
m1v1 m2v2 (m2 g m1 g )tm1 v1dt m2 0 T T
O l2 v2 v1 l1
0
1 v2 dt (m2 g m1 g )T 2 2
m2 g
m1 g
1 m1l1 m2l2 (m2 g m1 g )T 2 2T 2( m1l1 m2l2 ) ( m2 m1 ) g
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