2014·高三复习数学(理)2第7章 5讲 直线、平面垂直的判定及性质

第5讲 直线、平面垂直的判定及性质

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不同寻常的一本书，不可不读哟！

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1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间 图形的位置关系的简单命题.

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1个重要关系 垂直问题的转化关系：

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2种必会方法

1. 证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b,a⊥α=b⊥α;③α∥β,a⊥α a⊥β;④面面垂直的性 质. 2. 判定面面垂直的方法有：①面面垂直的定义.②面面垂 直的判定定理(a⊥β,a α α⊥β).

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3点必须注意 1. 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程，

如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件. 2. 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的 依据，应用时常添加的辅助线是在一平面内作两平面交线的垂 线.

3. 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.第七章 第5讲第6页

课前自主导学

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1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

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(2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 判 定 定 理 一条直线与一个 平面内的 __________都垂 l⊥α

图形语言

符号语言

直，则该直线与此平面垂直

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(3)直线与平面垂直的性质定理文字语言 图形语言 符号语言 a∥b

性 垂直于同一个 质 平面的两条直 定 线______ 理

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(1)命题：如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂 直，那么这条直线和这个平面垂直是真命题吗？其逆命题呢？

(2)如果两条平行线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？

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2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 判 一个平面过另一个 平面的________, 则这两个平面垂直 图形语言 符号语言

定定 理

α⊥β

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(2)平面与平面垂直的性质定理

文字语言性 质 定 理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于 ________的直线垂直 于另一个平面

图形语言

符号语言 l⊥α

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(1)如果一条直线和一个平面垂直，那么经过这条直线的所 有平面都和这个平面垂直吗？ (2)如果两个平面垂直，

那么其中一个平面内的任何一条直

线都和另一个平面垂直吗？(3)如果两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平 行吗？

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1.任意一条l⊥b 平行 a⊥α

两条相交直线b⊥α

a,b α

a∩b=O

l⊥a

想一想：提示：(1)假命题，真命题. (2)垂直. 2.一条垂线 l β l⊥α 交线 α⊥β α∩β=a l β

l⊥a想一想：提示：(1)垂直 (2)不一定 (3)不一定

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核心要点研究

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例1

若有平面α与β,且α∩β=l,α⊥β,P∈α,P l,则

下列说法中错误的是________.(填序号)

①过点P且垂直于α的直线平行于β;②过点P且垂直于l的直线平行于β; ③过点P且垂直于β的直线在α内； ④过点P且垂直于l的直线在α内.

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[解析]

如图(1)所示，设过点P且垂直于α的直线为b,过l

上的任意一点A作直线a,使a⊥l,且a β.因为α⊥β,所以a⊥α. 所以a∥b.根据直线与平面平行的判定定理可知b∥β.所以①正

确.如图(2)所示，过点P作a⊥l,垂足为A.过点A作直线b⊥l, 且a α,b β.

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设过直线a、b的平面为γ,因为a⊥l,b⊥l,a∩b=A,所 以l⊥γ.在平面γ内过点P任作一条直线m,∵l⊥γ,∴l⊥m,而m

与β可能平行，也可能相交.所以②不正确.

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