数学(文) 第2部分 第1讲---第3节

§3 数

列

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1.数列的概念 (1){an}与 an 是不同的：{an}表示数列 a1,a2,a3, ,an, ,而 an 只表 示这个数列的第 n 项. (2)对于一个确定的数列，其通项公式不一定唯一. 2.等差数列 (1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d;p+q=m+n ap+aq=am+an. (2){kan}也成等差数列. (3)a1+a2+ +am,ak+ak+1+ +ak+m-1, 仍成等差数列. (4)Sn= n a1+an n n-1 d d ,Sn=na1+ d,Sn= n2+(a1- )n. 2 2 2 2

(5)ap=q,aq=p(p≠q) ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd. (6)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义证明 an+1-an(n∈N*)为常数； ②利用等差中项性质，即证明 2an=an-1+an+1(n≥2 且 n∈N*).

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3.等比数列 (1)an=a1qn-1=amqn-m;p+q=m+n ap·q=am·n. a a (2){an}、{bn}成等比数列 {anbn}成等比数列. (3)a1+a2+ +am,ak+ak+1+ +ak+m-1, 成等比数列.

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na1 q=1 , (4)Sn= a1-anq a1 1-qn 1-q = 1-q q≠1 na1 q=1 , a1 n a1 = - q+ q≠1 . 1-q 1-q (5)证明{an}是等比数列的两种基本方法： an+1 ①利用定义，证明 a 为常数； n ②利用等比中项性质，即证明 a2 =an-1an+1(n≥2 且 n∈N*). n菜 单 隐 藏

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4.等差数列与等比数列的联系 (1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{Aan}(Aan总有意义)必成等 比数列. (2)如果数列{an}成等比数列，且an>0,那么数列{loga an}(a>0, a≠1)必成等差数列. (3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非 零常数数列；数列{an}是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比 数列的必要非充分条件. (4)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新 数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最 小公倍数. (5)如果一个等差数列与一个等比数列由其公共项顺次组成新数列 ，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行研讨，且以等比数列的 项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新 数列.菜 单 隐 藏

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5.数列求和的常用方法 (1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用 1 1 公式： 1+2+3+ +n= n(n+1); 2+22+32+ +n2= n(n+1)(2n 1 2 6 +1

);1+3+5+ +(2n-1)=n2. (2)分组求和法： 在直接运用公式法求和有困难时， 常将“和式” 中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. (3)倒序相加法： 在数列求和中， 若和式中到首尾距离相等的两项 和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和. (4)错位相减法： 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个 等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为 “一个新的等比数列的和”求解.菜 单 隐 藏

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(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻 项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用的裂项形式有： ① ② 1 1 1 = n- ; n n+1 n+1 1 11 1 =k(n- ); n n+k n+k

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1 1 1 1 1 ③ 2< 2 = ( - ); k k -1 2 k-1 k+1 1 1 1 1 1 1 1 k-k+1= k+1 k<k2< k-1 k=k-1-k; ④ ⑤ 1 1 1 1 = [ - ]; n n+1 n+2 2 n n+1 n+1 n+2 n 1 1 = - ; n+1 ! n! n+1 !

⑥an=Sn-Sn-1(n≥2).

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6.数列的通项的求法高分必 做题组

(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式. (2) 已 知 Sn( 即 a1 + a2 + + an = Sn) 求 an , 用 作 差 法 ： an = S1 n=1 , Sn-Sn-1 n≥2 .

f 1 n=1 , (3)已知 a1·2· an=f(n),求 an,用作商法：an= f n a · f n-1 n≥2 . (4)若 an+1-an=f(n),求 an,用累加法：an=(an-an-1)+(an-1-an-2

)+ +(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+ +f(1)+a1(n≥2).

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an+1 an an-1 a2 (5)若 a =f(n),求 an,用累乘法：an= · · · ·1=f(n- a a1 an-1 an-2 n 1)· f(n-2)· f(1)·1(n≥2). · a (6)an=kan-1+b,an=kan-1+bn(k,b 为常数)的递推数列都可以用 待定系数法，先将问题转化为公比为 k 的等比数列后，再求 an. an-1 (7)形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项. ka n-1+b

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