导数在解题中的应用 - 本科毕业论文

毕 业 论 文

（ 2010 届）

题 目 导数在解题中应用

学 院 数学计算机学院 专 业 数学与应用数学（师范） 年 级 2006级 学生学号 学生姓名 指导教师

导数在解题中的应用

数学计算机学院数学与应用数学（师范）专业 2010届 虎宁

摘 要: 本文通过导数的基本理论来解决数学中的相关问题，通过例题从简单应用和综合应用来说明导数在解题中的应用，如在数列、函数、不等式证明、实际问题、数列求和等方面的应用。

关键词：导数；函数；单调性；最值；数列 中图分类号：017

The Application of Derivative in Solving

problems

Abstract:In this paper, we discuss some problems in mash by the theory of the derivative. The derivative application is obtained by using examples from simple application to comprehensive application, such as the application of the series, inequality proof, practical problems and summation series. Keywords: derivative; function; monotone; the most value; series

目 录

1引言 .............................................................. 1 2 导数在解题中的应用 ............................................... 4 2.1 求曲线的切线方程 .............................................. 4 2.2 导数在探究函数性质中的应用 .................................... 6 2.2.1 判断函数的单调性 .......................................... 6 2.2.2 函数的极值、最值问题 ...................................... 7 2.2.3 求函数的解析式 ............................................ 9 2.2.4 导数在解决实际问题中的应用 ................................ 9 2.3 研究方程根的情况 ............................................. 11 2.4 导数在不等式证明中的应用 ..................................... 12 2.5导数求参数的取值范围 ......................................... 12 2.6 导数在数列中的应用 ........................................... 13 2.6.1 导数在数列求和中的应用 ................................... 13 2.6.2 求数列中的最大(小)项 ..................................... 14 2.7 导数在求极限中的应用 ......................................... 15 2.8 近似计算 ..................................................... 15 3 结束语 .......................................................... 16 谢 辞 ............................................................ 16 参考文献 .......................................................... 17

导数在解题中的应用

1引言

微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，尤其体现在判定函数相关性质，证明不等式，恒等式及恒等变形，研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微积分学中重要的基础知识, 是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值方面起着“钥匙”的作用.中学数学中加入导数的基础知识不仅丰富了函数的基础知识，而且使得对函数内容以及对函数性质的研究更加完整化、系统化，在初等数学与高等数学中导数起着“桥梁”作用，为中学生进入高等学府后继续学习奠定了基础.

导数是高等数学中一个很重要的概念，深入理解导数的概念能够帮助我们很好地解题.

定义[1]：设函数y?f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量?x

(点x0??x仍在该领域内)时，相应的函数y的增?y?f(x0??x)?f(x0)；如果?y与?x之

比当?x?0时的极限存在，则称函数y?f(x)在x0处可导，并称这个极限为函数y?f(x)在x0处的导数，记为y?|x?x0，即

y?|x?x0?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?y?lim (1.1 )?x?x?0?x导数定义的形式比较灵活.对它进行研究，能促进我们对导数的理解，帮助我们迅速、正确地解题，导数的定义式(1)也可以有不同的形式，常见的有

f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0) (1.2 )x?x0f(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0) (1.3 )h(1.3)式中的h即为自变量的增量?x.

从微积分成为一门学科来说[2]，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

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公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱

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布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。

其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……

欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

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2 导数在解题中的应用

2.1 求曲线的切线方程

在求过点P(x0,y0)所作函数y?f?x?对应曲线的切线方程[3]时应先判断该点是否在曲线上.

(1)当点P(x0,y0)在曲线上，即点P(x0,y0)为切点时，则切线方程为

y?y0?f??x0??x?x0?.

?y1?f?x1??(2)当点P(x0,y0)不在曲线上时，则设切点坐标为?x?,y??，由?y0?y1

???fx?1?x0?x1?先求得切点的坐标，然后进一步求切线方程.

例1.已知曲线l:y?x2?2x?a,求过点P?2,?1?的曲线l的切线方程. 解：因y?x2?2x?a，所以y??2x?2， 则当x?2时，y?a，y??2.

① 当a??1时，点P?2,?1?在曲线l上，故过点P的曲线l的切线方程为y?(?1)?2(x?2),即2x?y?5?0，

② 当a??1时，点P不在l上，设曲线l过点P的切线的切点是(x0,y0)， 则切线方程为y?y0?(2x0?2)(x?x0)且点P?2,?1?在此切线方程上，

2所以有 ?1?y0?(2x0?2)(2?x0),即y0?2x0?6x0?3.

又 y0?x0?2x0?a

则有 x0?2x0?a?2x0?6x0?3，即 x0?4x0?(3?a)?0,

??16?4(3?a)?4(a?1)，

2222当a??1时，??0， 所以x0?2?a?1；

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当x?x0时， y??22?a?1?2?21?a?1，

所以切线方程是 y???1??21?a?1?x?2? ，即 y?21?a?1?x?2??1，

当a??1时，??0，切线不存在.

C1和C2有例2. 已知抛物线C1:y?x2?2x和抛物线C2:y??x2?a，当a取什么值时，

????????且仅有一条公切线？写出公切线的方程.

分析：传统的处理方法是用法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.

解：设A?x1,y1?,B?x2,y2?分别是直线l与C1、C2的两个切点. 又C1:y?x2?2x，C2:y??x2?a的导数分别为：

y??2x?2，y???2x，所以 2x1?2??x2，即 x1?x2??1

又C1、C2有且只有一条公切线，则点A与点B重合，x1?x2，

11?13?所以x1?x2??，即A??,??，有点B在C2上，可知a??，

22?24?1此时l:y?x?.

4例3. 已知曲线C:y?x3?3x2?2x，直线l:y?kx，且l与C切与点(x0,y0)(x0?0)，求直线l的方程及切点坐标.

解：由l过原点，知k?y02?x0?3x0?2 x0y032(x?0)，点(x0,y0)在曲线C上，?y0?x0?3x0?2x0 x0?又∵y??3x2?6x?2

2∴k?3x0?6x0?2，又 k?y0 x0∴3x0?6x0?2?x0?3x0?2 ∴2x0?3x0?0,x0?2223（x0?0不符合题意） 2 5

3333∴y0?()3?3?()2?2???

22283?y1∴k?0?8??

3x042133所以l的方程为y??x，切点为(,?).

284求曲线的切线方程，关键利用曲线上某点的导数就是曲线上过该点的切线的斜率.

2.2 导数在探究函数性质中的应用

2.2.1 判断函数的单调性

假设y=f?x?在点[a,b]中可导[4]

Ⅰ）若对(a,b)中所有x而言f???x??0，则f?x?在(a,b)中递增； Ⅱ）若对(a,b)中所有x而言f???x??0，则f?x?在(a,b)中递减； Ⅲ）若对(a,b)中所有x而言f??x?=0，则f?x?在(a,b)中不变.

由此可见，只要求出函数的导数，判断其正负性，则能判断函数的单调性.这种方法比传统的的“定义法”及“图像法”更方便.

1例1.求函数y?2ax?在x?[0,1]上的单调性（a?R）.

x1解：令t?x，即求f?t??2at?，t?[0,1]上的单调性.

t当a?0时，f?t?在t?[0,1]上为增函数； 当a<0时, 因f?(t)=2a?则由f?(x)?0 ， 得 2a?1， 3t11-=0. 有 t=， 33ta则可以判断，当t?(0, -3当t?(-3

11)时，f??x??0，说明f?t?在t?（0，-3）上为增函数； aa11,??)时，f??x??0，f?t?在(-3,??)上为减函数. aa6

接下来，要比较-31和1的大小, a1?1，则f?t?在t??0,1?上为增函数， a当?1?a?0时-3此时 f?t??f?1??2a?1，

当a?1时，-3数.

该题用导数来解，淡化了技巧，突出了通法，充分显示了该解法的新颖别致和通俗易懂.

例2. 已知函数f?x?=x2?2xtan??1，x?[-1, 围，使f?x?在区间[-1,

3]上是单调函数.

3]上是单调函数，

3],其中??(?111?1，则f?t?在t?（0，-3）上为增函数；在t?(-3,??)上为减函aaa??,)，求?的取值范

22解：f?(x)=2x+2tan?，它在[-1,

f??x?min??2?2tan?，f??x?max?23?2tan?，

当?2?2tan??0， 即??[,)时，

42???f?x??0，f?x?为单调递增函数；

当23?2tan??0， 即??(??,?]时， 23??f?x??0，故f?x?为单调递减函数；

综上所述，当??[,)?(?,?]时，f?x?在区间[-1,

4223

2.2.2 函数的极值、最值问题

求可导函数f(x)的极值[5]的一般步骤和方法是：

①求导数f?(x)； ②求方程f?(x)?0的根；

③检验f?(x)在方程f?(x)?0的根的左右符号，如果在根左侧附近为正，右侧附近为负，

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????3]上是单调函数.

那么函数y?f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y?f(x)在这个根处取得极小值.

对于在[a,b]连续，在(a,b)可导的函数f(x)的最值的求解，可先求出函数在(a,b)上的极大（小）值，并与f(a)、f(b)比较即可得出最大（小）值.

例1. 已知a为实数，函数f(x)?(x2?4)(x?a).

(1)求导数f?(x)；

(2)若f?(?1)?0，求f(x)在[?2,2]上的最大值和最小值.

解：(1)由原式得f(x)?x3?ax2?4x?4a 则 f?(x)?3x2?2ax?4

(2)由 f?(?1)?0 得a?12，此时有 f(x)?(x2?4)(x?12)，f?(x)?3x2?x?4

由 f?(x)?0 得 x?43或x??1，

又 f(43)??5027，f(?1)?92,f(?2)?0,f(2)?0，

所以f(x)在[?2,2]上的最大值为9502，最小值为?27.

例2. 求函数y?2x?4?x?3的值域.

分析:求函数的值域是数学中的难点,方法因题而异, 不易掌握而采用导数求解, 较为容易, 且一般问题都可行.

解：函数的定义域为[?2,??).

y??112x?3?2x?42x?4?2x?3?22x?4x?3 又 2x?3?2x?4=

2x?82x?4?2x?3，可见当x??2时，y??0，

所以y?2x?4?x?3在[?2,??)上是增函数，而f(?2)??1， 所以y?2x?4?x?3的值域是[?1,??).

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则2.2.3 求函数的解析式

例1. 设函数y?f(x)为三次函数，其图像与y轴的交点为P，且曲线在P点处的切线方程为24x?y?12?0，若函数在x?2处取得极值?16，求函数的解析式.

解：设f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)，则f?(x)?3ax2?2bx?c， 依题意有f?(0)?c.

因为切线24x?y?12?0的斜率为k??24，所以c??24. 把x?0代入24x?y?12?0，得y?12.

所以P点的坐标为(0,12)，即求得d?12，此时f(x)?ax3?bx2?24x?12. 由函数f(x)在x?2处取得极值?16，

??16?8a?4b?36则得 ?， 解得

?0?12a?4b?24所以 f(x)?x3?3x2?24x?12

?a?1， ??b?3例2. 设y?f(x)为三次函数，且图像关于原点对称，当x?数f(x)的解析式.

解：设f(x)?ax3?bx2?cx?d(d?0)，

因为其图像关于原点对称，即 f(?x)??f(x)， 所以 ax3?bx2?cx?d?ax3?bx2?cx?d，

则 b?0,d?0, 即 f(x)?ax3?cx，所以 f?(x)?3ax2?c.

1时，f(x)的极小值为，求函21311c依题意 f?()?a?c?0，f()?a???1，解得 a?4,c??3,

24282故f(x)?4x3?3x.

2.2.4 导数在解决实际问题[6]中的应用

学习的目的, 就是要会实际应用.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函

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数.把“问题情景”译为数学语言, 找出问题的主要关系, 并把问题的主要关系近似化, 形式化, 抽象成数学问题, 再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.

例1. 用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

解：设容器底面短边为xm, 则另一边长为(x?0.5)m，高为

1[14.8?4x?4(x?0.5)]?(3.2?2x)m. 4由 3.2?2x?0且x?0，得0?x?1.6.

设容器的容积为ym3，则有

y?x(x?0.5)(3.2?2x)??2x3?2.2x2?1.6x,(0?x?1.6)，

所以 y???6x2?4.4x?1.6,令 ?6x2?4.4x?1.6?0，即15x2?11x?4?0， 解得 x1?1,x2??4（不合题意，舍去）. 15当x?(0,1)时，y??0；当x?(1,1.6)时，y??0.

所以函数y??2x3?2.2x2?1.6x在(0,1]上单调递增，在[1,1.6)上单调递减. 因此，当x?1时，ymax??2?2.2?1.6?1.8，这时，高为3.2?2?1?1.2，

故高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3.

例2 . 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂和甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解：根据题意，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，如右图所示，设C点距D点xkm,

因为BD?40,AD?50,AC?50?x,，所以BC?BD2?CD2?x2?402. 设总的水管费用为y元，则

y?3a(50?x)?5a?x2?402(0?x?50).

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所以 y???3a?5axx?4022，令y??0，

解得x1?30,x2??30 （舍去）.

当x?30时，y??0；当x?30时，y??0，所以当x?30时，取得最小值，

此时，AC?50?30?20(km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20km处可使水管费用最省.

2.3 研究方程根的情况

用导数的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法,它是通过函数的变化情况,运用数形结合的方法来确定函数的图象与x 轴的交点的个数并结合定义域来确定方程解的个数的方法.

例1. 若a?3，则方程x3?ax2?1?0在[0,2]上有多少个根？ 解：设f(x)?x3?ax2?1，则f?(x)?3x2?2ax，

当a?0，x?(0,2)时，f?(x)?0，故f(x)在(0,2)上单调递减. 而f(x)在x?0与x?2处都连续，且f(0)?1?0,f(2)?9?4a?0,

故f(x)在[0,2]上有且只有一个根.

例2. a取何值时, 关于x的方程x2?ax?2?0在(0,1]上有解？

分析：本题亦可结合二次函数f(x)?x2?ax?2的图象, 使得问题转化为区间根分布问题, 但是要分在(0,1]上有两解和一解两种情况.采用转化思想将a与x分离开, 利用导数求函数值域, 使得运算量大大减少.

2解：因为 x2?ax?2?0，所以 a??(x?)，将a看成x的函数，

x2因为 x?(0,1]， a???(1?2)，

x22所以函数a??(x?)在(0,1]上是增函数， 故a??(1?)??3.

x1

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参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rw02.html