第五章 弹塑性断裂力学

弹塑性断裂力学

5-1裂纹尖端张开位移(COD)的概念和小范围屈服方程 5-2裂纹张开位移的全面屈服方程 5-3 J积分的概念及定义 5-4 J积分的守恒性5 5 J积分与KΙ和COD的关系; J积分准则

弹塑性断裂力学

第五章弹塑性断裂力学裂纹失稳准则塑性区域小，小范围屈服。塑性区对绝大部分的弹性应力分布影响不大，可用应力强度因子 KΙ表征应力场中、低强度钢中小型构件、薄壁构件、焊接物件拐角压力容器接管处在裂尖附近发生大范围屈服或全面屈服塑性区尺寸与裂纹长相比，已达到同一数量级断裂发生在接近屈服应力的时刻

测试KΙC2 5平面应变条件，试件厚度h≥ 2.(KΙC/σ S)

大吨位试验机消耗材料

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中、低强度钢，σ s不很高，KΙC不低，裂尖附近塑性应变量较大，且分布不均匀，测塑性应变困难. 选用裂纹尖端塑性区的宽度(以ρ表示)

或裂纹尖端张开位移(以δ表示)作为裂纹尖端应力、应变场的描述参量

弹塑性断裂力学

5-1裂纹尖端张开位移(COD)的概念和小范围屈服方程1960年，D.S . Dugdale (道格达尔)提出了条形塑性区简化模型.塑性区模型:塑性区集中在裂纹尖端前缘沿裂纹方向长为ρ,高为t (ρ>> t )的狭带上,并认为材料是理想弹塑性的，在塑性区内应力为σ s

Dugdale采用该条形模型，运用Muskhelishvili方法获得了裂纹张开位移的表达式.“窄长条屈服模量”(D M模型)

弹塑性断裂力学

1962年， Barenblatt (巴伦布拉特)提出了"内聚力"模型.认为,裂纹尖端奇异性实际是不存在的.奇异性产生源于尖端曲率为零,尖端应力大小有限.裂纹尖端前缘存在微小"内聚力"区域.外载荷作用时,区域内原子被拉开距离,原子间的内聚力起制止作用,内聚力与拉开的距离有函数关系.外载引起的正奇异性与内聚力引起的正奇异性抵消,使尖端应力大小有限.

当内聚力取σ s时,模型就变成D M模型. D M模型为Barenblatt模型的特殊情况,亦称为D B模型.

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σs

σs

D M模型在x=± L处应力不存在奇异性，

σ→ KΙ (1),σ s→ KΙ (2),应力强度因子总和为零 确定塑性区长ρK IA= K IB= p

πap

a p (ξ ) a+b a+ξ K IA=∫ dξ a a bπa a ξ a p (ξ ) a b a ξ K IB=∫ dξ a a+bπa a+ξ

πa

p (ξ )为分布载荷解析函数： Z ( z )= p a2 b2

π ( z b ) z 2 b2

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K I (1)=σπ L

KI

(2)

=

a π L ∫ L1

L L x ( σ s ) dx+∫a L+x

L+x ( σ s ) dx L x

= 2σ s由K I= K I

L

π

cos 1

a L

cos 1 x= y, cos y= x

(1)

+ KI

(2)

= 0得

∫∫

L+x dx= 2 L( y1 sin 2 y1 ), tgy1= L x L x dx= 2 L( y2 sin 2 y2 ), tgy2= L+x

L+ x L x L x L+x

πσ a= cos L 2σ s

塑性区长度

πσ 1)ρ= L a= a (sec

2σ s

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求" D M"模型对应的裂纹尖端处的张开位移δ E可根据 Castigliano定理:δ= lim ( p为一对虚力) p p→ 0 p

来确定.GΙ= ( E U E ) p[GΙ= ( )p= ( )p] a a a

σs

σs

p

δ= lim p→ 0 p

∫

a

0

GΙ da=

∫

a

0

a GΙ KΙ 2 1 lim p da= 2G (1+ν ')∫0 lim p da p→0 p→0

a KΙ 1 KΙ=∫0 lim p da G (1+ν ') p→0

KΙ2 GΙ= 2G (1+ν ')

ν ν '= ν 1 ν

平面应力平面应变

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考虑裂纹半长ξ在0<ξ≤ L的范围内，由σ,σ s和p作用下产生的KΙ。

σ→σπξσ s→ 2σ sp

(0<ξ≤ L)

σs

p

σs

p

ξ 1 a cos (0<ξ≤ L)πξ

ξξ+aξ a 2p p→ (+ )= (a<ξ≤ L)ξ+aπξξ aπξ 2 a2

弹塑性断裂力学

KΙ=σπξ 2σ s

ξ 2p (a<ξ≤ L)ξ 1 a 2 2 cos+ π (ξ a )πξ (0<ξ≤ a) 0

L 2ξ aξ (σπξ 2σ s cos 1 ) dξδ= 2 2∫a G (1+ν ')πξπ (ξ a ) 8σ a 4πaπa )= s ln(sec )σ s a ln(sec= G (1+ν ') 2σ s 2σ sπ E1

E E1= 1 ν 2 E

平面应变平面应力

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对于平面应力情况，材料屈服应变 es= s E 8πσδ= es a ln(sec ) 2σ sπ在弹性和小范围屈服情况下(σ/σ s≤ 0.5),当σ/σ s→ 1时，

σ

δ→∞不合理，原因在与忽略了塑性区材料的硬化。考虑: ln(sec 1πσ 2 5πσ 4 61πσ 6πσ )= ln[1+ ( )+ ( )+ ( )+ ] 2σ s 2 2σ s 24 2σ s 720 2σ s 1πσ 2= ( ) (σ/σ s≤ 0.5) 2 2σ s

1 1 KΙ2σ 2σ 2δ=πσ 2π a= a ( )=π es a ( )=σs Eσs Eσ s Eσs表征材料断裂的物理参数

σs

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5-2裂纹张开位移的全面屈服方程1963年，A.A. Wells,提出半经验全面屈服公式。

对于小塑性区尺寸情况,ry=

1 KΙ 2δ== 2π es ry EσS(1)材料为理想塑性；

1 KΙ 2 ( ) 2πσ S

es=

σSE

材料屈服应变

对于σ/σ s≥ 1情况, Wells提出： e ry (2)材料在屈服后,名义应变 e和 es存在关系:= . es a

故有δ= 2π es ry= 2π ae.引入无量纲Φ=

δ e,则有Φ= . 2π es a es

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另外, Burdekin建立了一个基于宽板试验的半经验公式:

δ= 2π a ( e 0.25es )

(全面屈服)

COD准则：当δ=δ c时，裂纹开裂。

δ c由试验测定δ c为开裂状态临界值(与材料尺寸无关),不是失稳状态临界值(与材料尺寸相关)。

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5-3

J积分的概念及定义

裂纹尖端塑性区应力、应变场复杂，难以确定。 **1967年G.C.Sih提出S判据； **1960年D.S.Dugdale提出“D-M”模型； ----窄长条屈服模型.环绕裂尖画出一个“禁区”,在禁区外考虑弹性力学场，涉及KI禁区内裂尖称为奇点，在该点上应力、应变和应变能率都趋于无限大。 **1968年，J.R. Rice提出一个环绕着奇点的封闭线积分，它的大小与积分的路径无关。

裂纹扩展

能量释放率 G=

U, A

U:系统能量(势能)U= E W

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考虑单位厚度试件中含有一贯穿裂纹(平面问题)T:作用在回路Γ弧元ds上的外力(应力)矢量 T= Ti ji=σ ij n j jiΓ上的张力,曳力 u:Γ上的位移矢量侧面积Bds上的外力为T Bds= Tds ( B= 1)dW= Tds u= u Tds

整个试件的W=∫ dW=∫ u TdsE=∫ dE=∫ U1dV=∫∫ U1dxdy (dV= BdA= Bdxdy )A

Γ

U= E W=∫∫ U1dxdy ∫ u TdsA

G=∫ U1dy Γ

u Tds= J x σ ij x j

Γ

对于任何弹塑性体 (大范围屈服或全面屈服), J都存在。

=0

(平衡方程 )

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5-4

J积分的守恒性 u J=∫ U1dy Tds xΓ

x→ x1, y→ x2

T= Ti ji=σ ij n j ji

( i, j= 1, 2 )

j1: x方向单位矢量，j2: y方向单位矢量u= ui ji ( i, j= 1, 2 )

dy= n1ds=δ1 j n j ds u u u u T= l jl σ ji n j ji= lσ ji n jδ il=σ ij n j i x x x x ui ui J=∫ U1dy σ ij n j ds=∫ (U1δ1 j σ ij )n j ds x xΓΓ ui考虑I=∫ (U1δ1 j σ ij )n j dsΓ*: ABCDA→Γ1+ BC Γ 2+ DA xΓ*

(

)

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Green公式:

Q P )dxdy] x y S A x→ x1, y→ x2 P∫ Pn j ds=∫∫ x j dA (dx= n2 ds, dy= n1ds ) S A

∫ Pdx+ Qdy=∫∫ (

ui I=∫ (U1δ1 j σ ij )n j ds xΓ* ui ui U1 (U1δ1 j σ ij )dA=∫∫[ (σ ij )]dA=∫∫ x j x1 x1 x j x1 A A

U1 U1 ε ij 1 ui u j ==σ ij+ x x1 ε ij x1 x1 2 j xi ui σ ij ui ui u =σ ij ( )= (σ ij ) = (σ ij i ) x j x1 x j x1 x j x1 x j x1

故 I=∫∫ 0dA= 0A

弹塑性断裂力学

在 BC和DA上，dy= 0, Ti= 0

ui故∫ U1dy n jσ ij ds= 0 x BC ui∫ U1dy n jσ ij x ds= 0 DA u u故有∫ U1dy T ds ∫ U1dy T ds= 0 x xΓ1Γ2即∫ U1dy T Γ1

u u ds=∫ U1dy T ds x xΓ2

结果表明,J积分守恒。

弹塑性断裂力学

J积分适用条件：除了弹性、小变形之外，对于塑性体，只有在用 U1全量理论和单调加载时才有σ ij=即σ ij由ε ij唯一确定，与 ε ij加载历史无关(不允许卸载).

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5 5

J积分与KΙ和COD的关系;J积分准则(一)J积分与KΙ的关系考虑线弹性情况，以裂尖为圆心，r为半径的圆作为J积分的回路Γ u u J=∫ U1dy T ds= r ∫ (U1 cosθ T )dθ x xΓ ππ

1+ν 1 1 2 2[(1 ν ) (σ x+σ y ) 2νσ xσ y+ 2τ xy 2] U1=σ ijε ij= (σ xε x+σ yε y+τ xyν xy )= 2E 2 2 KI 3θθθ cos (1 sin sin )σx= 2 2 2 2π r在平面应变条件下 KI 3θθθ cos (1+ sin sin )σy= 2 2 2 2π r KΙ 3θθθ sin cos cosτ x

y= 2 2 2 2π r

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1 1 1ε x=[σ x ν (σ y+σ z )],ε y=[σ y ν (σ x+σ z )],γ xy=τ xy, E E G 1ε z=[σ z ν (σ x+σ y )]= 0,σ z=ν (σ x+σ y ) E KIθ r 2θ cos[(1 ν ')+ (1+ν ') sin] u= 2 2 G (1+ν ') 2π KIθ r 2θ sin[2 (1+ν ') cos] v= 2 2 G (1+ν ') 2π ν平面应力 ν '= ν 1 ν平面应变 K Kθ 3θ r或u= I[(2χ 1) cos cos], v= I 4G 2π 2 2 4G 3 ν平面应力 χ= 1+ν 3 4ν平面应变

θ 3θ r[(2χ+ 1) sin sin] 2π 2 2

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