数学建模 猎狗追兔子问题

数学建模论文

《数学建模》（公选课，2014春）课程论文

《数学建模》(2014

题 目 成 员 学生1 学生2 姓 名 春)课程期末论文

题 号 A 联系电话 猎狗追兔子问题 学 号 班 级 学 院

摘要

（一） 对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于通

过建立合适的模型找到这些变量之中的不变量。

猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通的例

子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方程模型，并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。

（二） 对于问题二：学习使用matlab进行数学模型的求解，掌握常用计算机软件的使用方法。

关键词

微分方程 导数的几何意义 猎狗追兔子 数学建模 数学软件

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一、问题重述

如图1所示，有一只猎狗在B点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m的地方O处，

此时兔子开始以8m/s的速度正向正西北方向，距离为150m的洞口A全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。

N 请回答下面的问题：

⑴ 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ A ⑵ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程 是少？

⑶ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的

E W O 距离为30m时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半， 而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍，在这种情 况下回答前面两个问题。

B S

二、问题分析与假设

在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标

系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态。

1.假设兔子的运动是匀速的。

2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。 3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。 4.猎狗运动时总是朝向兔子。

三、模型的建立及求解

3.1 符号规定

1.（x，y）：猎狗或者兔子所在位置的坐标。 2. t：从开始到问题结束经过的时间。 3. a:猎狗奔跑的路程。 4. v:猎狗的奔跑速度。 3.2 模型一的建立与求解

猎狗能够抓到兔子的必要条件：猎狗的运动轨迹在OA要有交点

以OA为y轴，以OB为x轴建立坐标系，则由图有

A N

O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0W 点,而猎狗初始位置是B点，t（s）后猎狗到达了C（x，y），而兔子到达了D（0，8t），则有CD的连线是猎狗运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有：

O E B S 2

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dyy?8t?dxx

da?vdt

da?dx?dy22 三式联立消去t，得到;

d2y8dy2x2?1?()dxvdx设：

8q?v

若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB之间运动时此方程有解，设：

dyd2ydp??p2dx dx dx得到：

dx?q2x1?p得到：

dp

p(250?)

0xqp?1?p?()250

2

250qp?1?p??()x

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两式联立相加得到：

dy1xq250q?[()?()]dx2250x

1.如果q=1即v=8 m/s 得到

y(250)?0

x?0,y?? 所以此情况无交点，所以v=8m/s猎狗无法追上兔子； 2.如果q<1即v>8m/s 得到

1x2?250xy?[?250ln()]2500250

250q1?q2 此情况有交点，所以有可能能够追上兔子，如果要追上兔子需要y<=150;

48?5?61v??8q??161?56解得到： 即

8m/s?5?61所以这种情况下能够追上的最小速度是 . x?0,y?

3.如果q>1 利用上式得到x?0,y??，所以这种情况不能追上兔子。

2501xq1250q?12qy?[()?()?2]2q?12501?qx1?q

48综上讨论，猎狗可以追上兔子的最小速度为61?5。

3.3 模型二的建立与求解

如果猎狗可以追上兔子那么猎狗的轨迹和兔子的轨迹必相交与一点，此时兔子的路

y?程

5qy5qt??1?q2，所用放的时间88(1?q2)，那么猎狗的的路程a=tv;

900带入数值解得a=61?5。

3.4 模型三的建立与求解

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模型三利用matlab试验，得到代码如下：

a=8;

dogxa=[]; dogya=[]; rabbitxa=[]; rabbitya=[]; d=1;

dogx=250; dogy=0; rabbitx=0; rabbity=0; t=0;

dt=0.001; for b=0:100 dogx=250; dogy=0; rabbitx=0; rabbity=0; t=0; c=b; a=8;

while(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d&rabbity<150) if(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)<=30) b=b*1.1^dt; a=a*0.5^dt; end

t=t+dt;

dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2);

dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2);

rabbitx=rabbitx+0; rabbity=rabbity+a*dt; end

if(rabbity<=150) b=c; break; end end

fprintf('猎狗的最小速度是：:/',b); a=8; b=16; d=1;

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dogxb=[];

dogyb=[]; rabbitxb=[]; rabbityb=[]; dogx=250; dogy=0; rabbitx=0; rabbity=0; t=0;

dt=0.001; s=0;

while(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d) t=t+dt;

if(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)<=30) b=b*1.1^dt; a=a*0.5^dt; end

dogx0=dogx; dogy0=dogy;

dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)

dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)/sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)

dogxb=[dogxb,dogx]; dogyb=[dogyb,dogy]; rabbitx=rabbitx+0; rabbity=rabbity+a*dt;

rabbitxb=[rabbitxb,rabbitx]; rabbityb=[rabbityb,rabbity];

s=s+sqrt((dogx0-dogx)^2+(dogy0-dogy)^2); end

fprintf('最短路程是：',s);

得到猎狗的最小速度是：16m/s 猎狗此时的路程是：312.5m

四、模型的检验

使用matlab进行计算机模拟实验检验模型的可行性： 问题一的检验： h=250; a=8; v=16; dogxb=[];

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dogyb=[];

rabbitxb=[]; rabbityb=[]; d=0.01; dt=0.1; t=0; dogx=h; dogy=0; rabbitx=0; rabbity=0;

while((sqrt(dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)>d&&t<=19.3) t=dt+t;

dogx=dogx-v*dt*dogx/sqrt(dogx^2+(a*t-dogy)^2);

dogy=dogy+v*dt*(a*t-dogy)/sqrt(dogx^2+(a*t-dogy)^2); dogxb=[dogxb,dogx]; dogyb=[dogyb,dogy]; rabbity=a*t;

rabbityb=[rabbityb,rabbity]; end

rabbitxb=zeros(length(rabbityb));

plot(dogxb,dogyb,rabbitxb,rabbityb,'*')

问题二的模拟： n=250;

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a=8;

v=16; d=0.1; dt=0.1; t=0; dx=n; dy=0; rx=0; ry=0;

while(sqrt((dx-rx)^2+(dy-ry)^2)>d&&t<19.3) plot(dx,dy,rx,ry,'y*') pause(0.00001) hold on t=dt+t;

dx=dx-v*dt*dx/sqrt(dx^2+(a*t-dy)^2);

dy=dy+v*dt*(a*t-dy)/sqrt(dx^2+(a*t-dy)^2); ry=a*t;

plot(dx,dy,rx,ry,'y*') end

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五、模型的评价

5.1模型的优缺点

模型的优点。

（1)模型的使用范围比较广泛，可以类推到其他许多模型中。 （2）模型具有很高的使用价值。

（3）模型对题目中的问题解决合适，模型使用得当。 这里写模型的缺点。

（4）题目中增加了一些理想化的假设，致使模型的波动比较大。 （5）不同兔子和猎狗的情况会有差异。 5.2模型的改进

可使用仿生学原理，建立我们更加准确的模型。

六、参考文献

[1] 赵书来，MATLAB编程与最优化问题，北京：电子工业出版社，2013。

[2] 邬学军，周凯，宋军全，数学建模竞赛辅导教程，杭州，浙江大学出版社，2009。 [3] 李志林，欧宜贵，数学建模及其典型案例分析，北京，化学工业出版社，2006. [4] Matlab入门教程,http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/daf8592fff00bed5b9f31d5d.htl 2014.06

附录1：Matlab的截图

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rvyp.html