大一高数（上）

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第一章 函数、极限、连续（小结）

一、函数

1. 邻域：U(a),U(a) 以a为中心的任何开区间； 2. 定义域：y?tanx{x?k??};y?cotx{x?k?};

??2y?arctanx{x?R,y?(?,)}；y?arcsinx{x?[?1,1],y?[?,]}

2222 y?arccosx{x?[?1,1],y?[0,?]}.

二、极限

1. 极限定义：（了解）

????limxn?a? 若对于???0，?N?Z?，st. 当n?N时，有|xn?a|??；

n??Note：|xn?a|???n??

x?x0limf(x)?A????0，???0，st. 当0?x?x0??时，有f(x)?A??；

Note：f(x)?A???x?x0??

limf(x)?A????0，?X?0，st. 当x?X时，有f(x)?A??；

x??Note：f(x)?A???x?? 2.函数极限的计算（掌握）

??f(x)?A?f(x0f(x)?A；（1） 定理： lim（分段函数） )?f(x0)?lim??x?x0x?x0x2?13?x?1?x0（2）型：①约公因子，有理化； 比如：lim3，lim；

x?1x?1x?1x2?x?20 ②重要极限limsinxsinu(x)?lim?1；

x?0u(x)?0u(x)x12③等价无穷小因式代换：tanx?x,sinx?x,arcsinx?x，1?cosx~nx，e?1~x，ln(1?x)~x 1?x?1~1nxx2，

???型：先通分； 比如：lim12 ?2x?11?x1?xx2?1?型：转化为无穷小； 比如：lim2

x??x?x?2??1型： 重要极限lim?1?x??lim?1?u(x)?x?0u(x)?01x1u(x)?e；

（3）无穷小量：无穷小?无穷小=无穷小；无穷小?有界量=无穷小

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比如：limcosx

x??2xx?x0x?x0（4）函数极限与无穷小的关系：limf(x)?A?f(x)?A??,其中：lim??0（抽象函数） （5）微分中值定理：

f(b)?f(a)arctanx?arctan1（第3章） ?f?(?)； 比如：limx?1b?ax?1f(x)?limg(x)x?x0f?(x)?0??tanx?x（第3章） ,? 比如：lim2?x?0?g(x)?0??xsinx（6）罗必达法则：limx?x03. 数列极限的计算： 夹逼原则：lim1n?12n???1n?22??1n?n2

11ni积分定义：lim ?1???1?xdx ；limqn?0(|q|?1)；limna?1.（第五章）

0n??n?? nn??ni?1三、连续

1. 函数在点x0处连续：limf(x)?f(x0).

x?x0 一切初等函数在其定义域都是连续的.

2. 闭区间上函数连续的性质：

最大最小值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有最大、最小值. 零点定理：设f(x)?C[a,b]，且f(a)?f(b)?0，

? 至少有一点??(a,b)，使得f(?)?0

介值定理：设f(x)?C[a,b]，且f(a)?A，f(b)?B,A?B

? 则对A,B之间的任意常数C，至少有一点??(a,b)，使得f(?)?C.

四、间断点

1．第一类间断点： f(x0?)、f(x0?)存在

若f(x0?)?f(x0?)?f(x0)，则称x0为可去间断点； 若f(x0?)?f(x0?)，则称x0为跳跃间断点； 2.第二类间断点：f(x0?)、f(x0?)至少一个不存在 若其中一个趋向?，则称x0为无穷间断点； 若其中一个为振荡，则称x0为振荡间断点；

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第二章 导数与微分（小结）

一、导数的概念 1.f?(x0)?limf(x0?h)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y?lim ?limh?0?x?0?x?0?xh?xf(x?h)?f(x).

hNote：①该定义主要用于相关定理的分析与证明； ②导函数求导公式：f?(x)?limh?02. 分段函数在分段点处可导性判别：

定理：f(x)在x0处可导?f(x)在x0处即左可导，又右可导

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)f(x)?f(x0), f??(x0)?lim?.

x?xx?x0x?x003. 导数的几何意义：切线斜率，即k?f?(x0)

当f?(x0)??时，曲线在点(x0,y0)处的切线、法线方程为： 切线方程：y?y0?f?(x0)(x?x0)；法线方程：y?y0??二、导数的运算

1. 四则运算：?u(x)?v(x)???u?(x0)?v?(x0)；[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)；

1(x?x0) f?(x0)??u(x)?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)； ?v(x)??2v(x)??2. 反函数求导：y?f(x)，x??(y)互为反函数，则f?(x)?1 ??(y)3. 复合函数求导：y?f??(x)?，则

dy?f?(u)???(x) . dx4. 隐函数求导： F(x,y)?0 两边关于x求导，把y看成是x的函数.

5. 参数方程：?三、微分

?x?x(t),dydydtdy???则

dxdtdxdt?y?y(t),dxy?(t)? dtx?(t)1. 微分的概念：若有?y?f(x0??x)?f(x0)?A?x?o(?x)成立，记作： dy?A?x

?dyNote：dy?A?x?Adx?f?(x)dx,y?f(x),dy?f?(x)dx； 2. 微分在近似计算中的应用

（1）近似计算f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0).

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第三章 微分中值定理及导数的应用

一、微分中值定理

1、罗尔(Rolle)中值定理： (a,b)内至少存在一点?，使得 f?(?)?0.

Note：① 证明导函数根的存在性. ② 证明原函数根的唯一性. 2、拉格朗日中值定理：在(a,b)内至少存在一点?,使得 f?(?)?Note：① 把

f(b)?f(a).

b?af(b)?f(a)用f?(?)做代换，求极限.

b?a② 由a???b建立不等式，用于证明不等式.

f?(?)f(b)?f(a)?3、柯西中值定理：在(a,b)内至少存在一点?,使得： g?(?)g(b)?g(a)Note：用于说明洛必达法则.

二、洛必达法则

（1）可结合两个重要极限、等价无穷小代换，约公因子等方法灵活运用. （2）若?-?，不为分式，可通过令：x?2比如：lim[xln(1?)?x]

x??1，创造分式. t1x

三、函数图形的描绘

0?0???0通分取倒数取对数?-???0???? 00????1??（1）写定义域，研究f(x)的奇偶性、周期性； （2）求f?(x)，f??(x)；

（3）令

f?(x)?0?f??(x)?0?可疑极值点，x???可疑拐点x2； ?1???f(x)不??f(x)不??x??（4）补充个别特殊点，求渐近线：limf(x)?C，limf(x)??；

x?x0（5）列表分析单调性、凹凸性、拐点、极值点； （6）画图

xf(x)f?(x)f??(x)

五、最值的计算:

??????x1?x1极值点拐点?x1???x2?x2?x2??????

（1）求f(x)在(a,b)内的可疑极值点：x1,x2,?,xm

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（2）最大值：M?max?f(x1),f(x2),?,f(xm),f(a),f(b)? 特别的，

（1）f(x)在[a,b]上只有一个可疑极值点，若此点取得极大值，则也是最大值点. （2）f(x)在[a,b]上单调时，最值必在端点处达到.

（3）对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .

第四章 不定积分 一、不定积分：

?f(x)dx?F(x)?C，

?F?(x)dx?F(x)?C

g(x)dx；?kf(x)dx?k?f(x)dx.

Note： ①C为积分常数不可丢！

②

d?f(x)dx??f(x)???dx③[f(x)?g(x)]dx?④几个常用的公式

??f(x)dx???xdx??1??1x??1ax?C?C， ?adx?lnax1?xdx?lnx?C

?secxtanxdx?secx?C ， ?cscxcotxdx??cscx?C，

二、 换元积分法： 1.

u??(x)?f[?(x)]??(x)dx??f(u)du.

111d(x2?c), dx?2d(x?c), dx?d(ln|x|?c) 2xxNote：①常见凑微分：

dx?d(x?c), xdx?11dx?d(arctanx)??d(arccotx),dx?d(arcsinx)??d(arccosx) 221+x1?x2x②适用于被积函数为两个函数相乘的情况，若被积函数为一个函数，比如：e?1dx，

???若被积函数多于两个，比如：

sinxcosx?1?sin4xdx，要分成两类；

③一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成??(x)； ④若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项； 2.

?f(u)duu??(x)??f[?(x)]??(x)dx

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Note：常见代换类型:

?f(x,nax?b)dx，t?nax?b?f(x,x2?a2)dx，x?asect

??f(x,a2?x2)dx，x?asint?f(x,a2?x2)dx，x?atant

ax?bcx?df(ax)dx，t?ax?f(x,nax?bcx?d)dx，t?n

三、分部积分法：uv?dx?uv?u?vdx.

Note：①按“ 反对幂指三” 的顺序，谁在前谁为u ②u?v要比uv?容易计算；

③适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：

?????arcsinx?1dx，?exdx（t?x）；

④多次使用分部积分法：

uu?u???求导

?vvv?积分?三、 有理函数的积分 1. 假分式= 多项式 + 真分式??P(x)??；

?Q(x)?2222. 真分式= （拆成）若干部分分式之和；

Note：拆项步骤：①将分母分解：Q(x)?(x?a)?(x?px?q) ②根据因式的情况将真分式拆成分式之和：

?p2?4q?0?

PAA2B1x?C1B2x?C21(x) ?1???2222Q(x)x?a?x?a?x?px?q(x?px?q)3. 逐项积分.

注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！

第五章 定积分

一、 定积分的概念及性质 1.定义：

?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi ，其中?i=??0i?1n(b?a)i ； n2．几何意义：f(x)?0,??babaf(x)dx——曲边梯形面积 f(x)dx——曲边梯形面积的负值

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f(x)?0,

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3.性质： （1） （2）（3）（4）（5）

?baf(x)dx???f(x)dx,?f(x)dx?0; baaa????babababadx?b?a

kf(x)dx?k?f(x)dx;

ab[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx;

aabbf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx;

accb（6）若在[a,b]上f(x)?0，则

?baf(x)dx?0;

（7） 设M?maxf(x),m?minf(x)，则m(b?a)?[a,b][a,b]?baf(x)dx?M(b?a);

（8）积分中值定理：

?baf(x)dx?f(?)(b?a)，??[a,b].

4. 变上限函数：?(x)?Note：

?xaf(t)dt

dbd?(x)；??f(x)f(t)dtf(t)dt?f[?(x)]??(x) ??xadxdxd?d?(x)?f(t)dtdx??(x)dx????a(x)f(t)dt???(x)a?f(t)dt?

??f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)

5.牛顿—莱布尼茨公式：

?baf(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a).

b二、 定积分的计算

1. 换元积分：换元必须换限，无需变量回代，凑微分不必换限； 2. 分部积分：

?bauv?dx =uva??u?vdx ；

abb3. 若f(x)为奇函数，则

?a?aaf(x)dx?0 ；

f(x)dx?2?f(x)dx .

0a??b若f(x)为偶函数，则4. 广义积分：

?a?a?a??f(x)dx?lim?f(x)dx ; ?b???bf(x)dx?lim?f(x)dx ;

a??ba三、 定积分的应用 1. 平面图形的面积

直角坐标：A??baf(x)dx

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推广：A=?b[f(x)?g(x)]dx A=?dac[f(y)?g(y)]dy

极坐标：A?1?2???2(?)d? 2.曲线的弧长 （1）s??b2ba1?y?dx??a1?f?2(x)dx，y?f(x)(a?x?b)

（2）s?????2(t)???2(t)dt，??x??(t)??y??(t)(??t??) （3）s????r2(?)?r?2(?)d?，r?r(?)(?????)

3. 已知平行截面面积函数为A(x)的立体体积：V??b

aA(x)dxNote：特别的，当立体为曲线f(x)绕坐标轴形成的旋转体时， ①f(x)绕x轴：V??baπ[f(x)]2dx ②f(x)绕y轴：V??baπ[?(y)]2dy

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