概率论与数理统计 习题详解

概率论与数理统计

第一章 随机事件及其概率

1. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；

（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；

（4）测量一汽车通过给定点的速度.

解 所求的样本空间如下

（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}

（2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}

（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10}

（4）S= {v |v>0}

2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件：

（1）A 发生，B 和C 不发生；

（2）A 与B 都发生，而C 不发生；

（3）A 、B 、C 都发生；

（4）A 、B 、C 都不发生；

（5）A 、B 、C 不都发生；

（6）A 、B 、C 至少有一个发生；

（7）A 、B 、C 不多于一个发生；

（8）A 、B 、C 至少有两个发生.

解 所求的事件表示如下

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABC

ABC ABC ABC ABC

A B C AB BC AC

AB BC CA

3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，

事件C 表示该学生是运动员，则

（1）事件AB 表示什么？

（2）在什么条件下ABC =C 成立？

（3）在什么条件下关系式C B ?是正确的？

（4）在什么条件下A B =成立？

解 所求的事件表示如下

（1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员.

（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立.

（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ?是正确的.

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立.

4．设P (A )＝0.7，P (A －B )＝0.3，试求()P AB

解 由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以

P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3,

概率论与数理统计

所以 P (AB )=0.4, 故 ()P AB = 1-0.4 = 0.6.

5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝

14 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率.

解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0

则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)

1111500044488

=++---+=

6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}，

B ＝{两球颜色不同}.

解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B 的事件数为1111112a b b a a b A A A A A A +=,

则 2211222()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

7. 若10件产品中有件正品，3件次品,

（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；

（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.

解 （1）设A={取得三件次品} 则

333333101016()()120720或者====C A P A P A C A .

（2）设B={取到三个次品}, 则

33327()101000==P A .

8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法

语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：

（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；

（2）此人只会讲法语的概率.

解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语}

根据题意, 可得 (1)

32923()()()100100100=-=-=P ABC P AB P ABC (2) ()()()P ABC P AB P ABC =-

()01()P A B P A B =+-=-+

1()()()P A P B P AB =--+

433532541100100100100

=--+=

9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：

（1） 取到的都是白子的概率；

（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率；

（3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；

概率论与数理统计

（4） 取到三颗棋子颜色相同的概率.

解

(1) 设A={取到的都是白子} 则

3831214()0.25555

===C P A C . (2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}

2184312()0.509==C C P B C . (3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子}

()1()0.745=-=P C P A .

(4) 设D={取到三颗子颜色相同}

3384312()0.273+==C C P D C .

10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？

（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？

解

(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则

500500364()1()10.746365

=-=-=P A P A (2)设所求的概率为P(B)

412

612611()0.007312??==C C P B

11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE 的概率p. 解 由于两个C ，两个E 共有2222A A 种排法，而基本事件总数为

77A ，因此有

2222770.000794A A p A ==

12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.

解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有?445

2C 中取法. 设A={4

只手套都不配对}，则有 ?==445410

280()210C P A C

13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为

=

+11i p i

，i=1，2，3，若以x 表示零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？ 解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i i P A p i

==+ 所以 ()11i i i P A p i =-=+ 123123123(2)()()()P x P A A A P A A A P A A A ==++

由于零件制造相互独立，有：

概率论与数理统计

123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A =

123123()()()()P A A A P A P A P A =

11112111311,(2)23423423424

P x ==??+??+??=所以

14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射

击至少有一次命中目标的概率p.

解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.

则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式

12()()()

()()(|)()(()|)

P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+

另外, 由于两次射击是独立的, 故

P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36

由加法公式

P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84

因此

P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.588

15. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品

的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.

解 设A i ={一批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},

C={产品中次品不超两件}, 由题意

0191491105019248

210

5019347310501944611050(|)0

1(|)516(|)49

39(|)98

988(|)2303

=========P B A C C P B A C C C

P B A C C C P B A C C C P B A C 由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式

40()()(|)0.196==

=∑i i i P B P A P B A 由Bayes 公式

000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()

()(|)(|)0.333()======P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B

概率论与数理统计

故

2

0()(|)0.588===∑i i P C P A B

16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，

0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.

解 设B={三件都是好的}，A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%}，则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05.

因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13,

由全概率公式

3

1333()()(|)

0.80.980.150.900.050.100.8624

===?+?+?=∑i i i P B P A P B A

由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为

3

13

23

3()(|)0.80.98(|)0.8731()0.8624

()(|)0.150.90(|)0.1268()0.8624

()(|)0.050.10(|)0.0001()0.8624

?===?===?===i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B 由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.

17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，

1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：

（1）一次通过验收的概率α；

（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β.

解 设H i ={箱中实际有的次品数}, 0,1,2=i , A={通过验收}

则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有：

042314244222424(|)1,

5(|),6

95(|)138P A H C P A H C C P A H C =====

(1)由全概率公式

2

0()()(|)0.96α====∑i i i P A P H P A H

(2)由Bayes 公式 得

00()(|)0.81(|)0.83()0.96β?==

==i P H P A H P H A P A 18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率

为0.1，问在同一时刻

（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？

（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？

概率论与数理统计

解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故

(1) 223155(2)(0.1

)(0.9)0.0729===P P C (2) 2555(3)(4)(5)

P P P P =++ 332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第7页 (共57页)

第二章 随机变量及其分布

1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：

2. 进行某种试验，设试验成功的概率为34，失败的概率为14，以X 表示试验首次成功所需试验的次数，

试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.

解 X 的分布律为：

113(),1,2,3,44k P X k k -????=== ? ?????

X 取偶数的概率： 2113{}(2)4411116331165116

k k P X P X k -∞∞∞????=== ? ???

????==?= ?-??∑∑∑k=1k=1k=1为偶数 3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数123,,x x x .求：

X ＝max (123,,x x x )的分布律及P(X ≤4)；

Y ＝min (123,,x x x )的分布律及P(Y>3).

解 基本事件总数为：35

10C =， (1)X 的分布律为：

P(X ≤4)=P(3)+P(4)=0.4

(2)Y 的分布律为

P(X>3) =0

4. C 应取何值，函数f(k) =!k C k λ，k ＝1，2，…，λ>0成为分布律？

解 由题意, 1()1k f x ∞

==∑, 即

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第8页 (共57页) 0110(1)1!!!0!k k k k k k C C C C e k k k λλλλλ∞∞∞===??==-=-= ???

∑∑∑ 解得：1(1)

C

e λ=- 5. 已知X 的分布律

X －1 1 2

P 16 26 36

求：（1）X 的分布函数；（2）12P X ?

?< ???；（3）312P X ??<≤ ??

?. 解 (1) X 的分布函数为()()k k

x x F x P X x p ≤=≤=∑

0,11/6,11

()1/2,

121,2x x F x x x <-??-≤

? (3)

31()02P X P ??<≤=?= ??? 6. 设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.6，求一次投篮时投中次数X 的分布函数，并作出其图形. 解 X 的分布函数

00()0.6

0111x F x x x ≤??=<≤??>? 7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为（1）三次射击中恰好命中两次的概率；

（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？

解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则

(1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-

(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=-

8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：

（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；

（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.

解

(1) P(X=6) =6

440.104!6!k e e k λλ--==或者

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第9页 (共57页)

P(X=6) = !k e k λλ-446744!!

k k

k k e e k k ∞

∞--===-∑∑= 0.21487 – 0.11067 = 0.1042. (2) P(X ≤10)104401144110.00284!!k

k

k k e e k k ∞--====-=-∑∑ = 0.99716

9. 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X ＝1)＝P(X ＝2)，求P(X ＝4)

解 由已知可得， 1

2

,1!2!e e λλλλ--=

解得λ=2， (λ=0不合题意)

4

22,(4)4!

P X e -==因此= 0.09

10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两

只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.

解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X 服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此

(1) P(X=2) 2

330.2242!

e -== (2)323(2)1(2)110.80080.1992!k k P X P X e k ∞-=<=-≥=-

=-=∑ (3)333(2)(2)0.5768!

k

k P X P X e k ∞-=>=>==∑ (4)313(1)0.9502!

k

k P X e k ∞-=≥==∑

11. 设连续型随机变量X 的分布函数为

20,0(),

011,1

x F x kx x x ? 求：（1）系数k ；（2）P(0.25

解 (1) 由于当0≤x ≤1时，有

F(x )=P(X ≤x )=P(X<0)+P(0≤X ≤x )=k x 2

又F(1) =1, 所以k ×12=1

因此k=1.

(2) P(0.25

(3) X 的密度函数为

2,01()'()0,x x f x F x Other

≤≤?==?? (4) 由(2)知，P(0.25

P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} =

334340.5(10.5)0.25C --=.

12. 设连续型随机变量X 的密度函数为

1()0,1x F x x ?

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第10页 (共57页)

求：（1）系数k ；（2）12P X ??< ???

；（3）X 的分布函数. 解 (1)由题意， ()1f x dx +∞

-∞=?, 因此

111()arcsin 111f x dx k x k k ππ+∞+-∞-====-=

??

解得:

(2) 1/21/1/21111arcsin 1/22663P x x ππππ--????<===-= ? ?-????? (3) X 的分布函数

01()()1/2arcsin /11111/x x F x f x dx x x x k ππ

-∞<-??==+-≤≤??>?=?解得:

13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z 表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具

有分布密度为

212(1),01()0,x x x F x ?-<<=??其他

若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？

解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=120.812(1)0.0272x x dx -=?

如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=120.9

12(1)0.0037x x dx -=?

14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为

6001,0()6000,x e x F x x

?

解 设X 表示该型号电子元件的寿命，则X 服从指数分布，设A={X ≤200}，则

P(A)=1200

6003011600

x e dx e --=-? 设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：

100303331(1)1(0)1()(1())

1()1P Y P Y C P A P A e e --≥=-==--=-=-

15. 设X 为正态随机变量，且X ～N(2，2σ)，又P(2

解 由题意知

()222422(24)00.3X P X P σσσσ---????<<=<<=Φ-Φ=

? ????? 即20.30.50.8σ??Φ=+= ???

故 2

0222(0)10.2X P X P σσσσ---??????<=<=Φ=-Φ=

? ? ???????

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第11页 (共57页)

16. 设随机变量X 服从正态分布N(10，4)，求a ，使P(|X －10|

解 由于()()10|10|10222a X a P X a P a X a P --??-<=-<-<=<< ??? 210.9222a a a -??????=Φ-Φ=Φ-= ? ? ???????

所以0.952a ??Φ= ???

查表可得， 2

a =1.65 即 a = 3.3

17. 设某台机器生产的螺栓的长度X 服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X 在范围(10.05±0.12)厘米内

为合格品，求螺栓不合格的概率.

解 由题意，设P 为合格的概率，则

()10.05(|10.05|0.12)0.1210.050.1222

0.06X P P X P X P -??=-<=-<-<=-<< ??? (2)(2)2(2)120.977210.9544=Φ-Φ-=Φ-=?-=

则不合格的概率=1-P = 0.0456

18. 设随机变量X 服从正态分布N(60，9)，求分点x 1，x 2，使X 分别落在(－∞，x 1)、(x 1，x 2)、(x 2，+

∞)的概率之比为3:4:5.

解 由题，

111116060603()()0.253

333456060()1()0.75,33

x x X P X x P x x ---??<=<=Φ== ?++??--Φ-=-Φ= 查表可得

1600.673x --=

解得, x 1 = 57.99

22260606034()()0.58333

33345x x X P X x P ---+??<=<=Φ== ?++??又 查表可得

2600.213x -=

解得, x 2 =60.63.

19. 已知测量误差X （米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对

值不超过10米的概率大于0.98？

解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p , 则由题可知

107.57.5107.5(10)10

1010(0.25)(1.75)(0.25)1(1.75)0.598710.95990.5586

X p P X P ----??=<=<< ???=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 设 Y 为n 次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586)

于是 P(Y ≥1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5586)n ≥0.98

0.4414n ≤0.02, n ≥ln(0.02)/ln(0.4414)

解得：n ≥4.784

取n=5, 即，需要进行5次测量.

20. 设随机变量X 的分布列为

X －2 0 2 3

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第12页 (共57页)

P

17 17 3

7

27

试求：（1）2X 的分布列；（2）x 2的分布列. 解 (1) 2X 的分布列如下

x 2的分布列

(2)

21. 设

X 服从N(0，1)分布，求Y ＝｜X ｜的密度函数.

解 y=|x|的反函数为,

0h(y)=,

x x x x -

≥?, 从而可得Y=|X|的密度函数为： 当y>0

时，2

2

2222

()()|()'|()|'|y

y

y Y X X

f y f y y f y y e e e

---=--+=

=

当y ≤0时，

()Y f y =0

因此有

2

2,0()0,0y

Y y f y y ->=≤?

22. 若随机变量X 的密度函数为

23,01()0,

x x f x ?<<=?

?其他

求Y ＝

1x

的分布函数和密度函数.

解 y=

1x

在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)=

1y

, y>1, h ’(y)=2

1y -

222411113

()[()]|()|3Y X X f y f h y h y f y y y y y ??????'==-== ? ?????????

因此有 43

,1

()0,Y

y y f y other ?>?=???

Y 的分布函数为：433131,1()10,y Y y y dy y y y F y other

---?=-=->?=???

?

23. 设随机变量X 的密度函数为

2

2,0

(1)

()0,0

x x f x x π?

>?+=??≤?

试求Y ＝lnX 的密度函数.

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第13页 (共57页)

解 由于

ln y x =严格单调，其反函数为(),'()y y h y e h y e ==且, 则

2()[()]|()|()2(1)

2,()

y y

Y X X y

y y y f y f h y h y f e e e e y e e ππ-'===

+=-∞<<+∞+

24. 设随机变量X 服从N(μ,2

σ)分布，求Y ＝x

e 的分布密度. 解 由于

x y e =严格单调，其反函数为1

()ln ,'(),

h y y h y ==且y y>0, 则

22

1(ln )21

()[()]|()|(ln )

,0

Y X X y f y f h y h y f y y

y μσ

-

-'===

>

当

0y ≤时

()0Y f y =

因此

221(ln )2,0()0,

y Y y f y y μσ--?>=≤?

25. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Y ＝21x

e --在区间(0, 1)上服从均匀分布.

解 由于

21x y

e -=-在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：1()ln(1),01,2

h y y y =--<<

并且1'()2(1)

h y y =

-，则当01y << 1

2(ln(1))

2

()[()]|()|

11

(ln(1))

22(1)1

21

2(1)Y X X y f y f h y h y f y y e

y ---'==---==-

当y ≤0或y ≥1时，

()Y f y =0.

因此Y 在区间(0, 1)上服从均匀分布.

26. 把一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中正面出现的次数，Y 表示三次中出现正面的次数与出现反

面的次数之差的绝对值，试求（X ，Y ）的联合概率分布.

解 根据题意可知, (X ,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y 的取值及概率分别为

P(X=3, Y=3)=18 P(X=2, Y=1)=2

23113228

C ????= ? ????? P(X=1, Y=1)=

31

13

113

228

C -????= ???????

P(X=0, Y=3)= 3

1128

??= ??? 于是，（X ，Y

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第14页 (共57页)

27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X 表示其

中一级品件数，Y 表示其中二级品件数，求： （1）X 与Y 的联合概率分布；

（2）X 、Y 的边缘概率分布； （3）X 与Y 相互独立吗？

解 根据题意，X 只能取0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：

(1) 2713

10

(,),i j k ij C C C p P X i Y j C ====其中,3,0,1,2,i j k i ++==0,1,2,3j =

0,1k =,可以计算出联合分布表如下

(2) X,Y 的边缘分布如上表

(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y 不相互独立.

28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取

纸牌上的数分别为X 和Y ，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X ＋Y>6)

解

(2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)

=1/6+1/6+1/6=1/2.

29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为

(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ?

???=++ ????

???,

求：（1）系数A 、B 及C ； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X ，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X 与Y 是否独立？

解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第15页 (共57页) a r c t a n 022arctan 023022122x A B C y A B C A B C A B C ππππππ?????+-= ??????????????-+=? ??????????????--= ??????????????++= ?????

???? 解得：

21,,,22A B C πππ=== (2) 2222(,)6(,)(4)(9)F x y f x y x y x y π?==??++ (3) X 与Y 的边缘分布函数为：

211()(,)arctan arctan 222222X x x F x F x ππππππ??????=+∞=++=+ ??? ??????? 211()(,)arctan arctan 222322Y y y F y F y ππππππ??????=+∞=++=+ ??? ???????

X 与Y 的边缘概率密度为： '22()()

(4)X X f x F x x π==+

'23()()(9)

Y Y f y F y y π==+ (4) 由(2),(3)可知：(,)()()X Y f x y f x f y =, 所以X ，Y 相互独立.

30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 -(x+y)e ,0,(,)0,x f x y ?<<+∞=??

其他

（1）求分布函数F(x, y)； （2）求(X ，Y)落在由x ＝0，y ＝0，x ＋y ＝1所围成的三角形区域G 内的概率.

解 (1) 当x>0, y>0时， ()00(,)(1)(1)y

x u v x y F x y e dudv e e -+--==--??

否则，F (x, y ) = 0.

(2) 由题意，所求的概率为

11()100((,))(,)120.2642

G

x x y P x y G f x y dxdy

dx e dy e --+-∈===-=????

31. 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

-(3x+4y)Ae ,0,0,(,)0,x y f x y ?>>=??其他

求：（1）常数A ；（2）X ，Y 的边缘概率密度；（3）(01,02)P X Y <

≤<≤.

解 (1) 由联合概率密度的性质，可得

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第16页 (共57页)

(34)00(,)1/12x y f x y dxdy Ae dxdy A +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞===????

解得 A=12.

(2) X, Y 的边缘概率密度分别为：

(34)30123,0()(,)0,

x y x X e dy e x f x f x y dy other +∞-+-+∞-∞?=>?==????? (34)40124,0()(,)0,

x y y Y e dx e y f y f x y dx other +∞-+-+∞-∞?=>?==?????

(3) (01,02)P x y <≤<≤ 2

1(34)003812(1)(1)

x y e dxdy e e -+--==--??

32. 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

2,01,02,(,)30,xy x x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他

求 P(X ＋Y ≥1).

解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G 中, 则

1

22012310((,))(,)3

456532672G

x P x y G f x y dxdy

xy dx x dy x x x dx -∈==+=++=?????

33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G 上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概

率密度.

解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G 的面积A 为：

2112001(,)()6

x x G A f x y dxdy dx dy x x dx ===-=

?????, (X, Y)的联合概率密度为：

6,01(,)0,x f x y other ≤

. X,Y 的边缘概率密度为： 2266(),0

1

()(,)0,

x x X dy x x x f x f x y dy other +∞-∞?=-≤

y

Y dy y y f y f x y dx other +∞-∞?=≤

34. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y 的概率密度是

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第17页 (共57页)

55,0

()0,0y y e y f y y -? >=?≤?

求：（1）X 和Y 和联合概率密度； （2）P(Y ≤X).

解 由于X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以()1/0.25X f x ==

(1) 由于X ，Y 相互独立，因此X, Y 的联合密度函数为：

525,0,00.2

(,)()()0,y X Y e y x f x y f x f y other

-?><<==??

(2) 由题意，所求的概率是由直线x=0, x=0.2, y=0, y=x 所围的区域，

如右图所示， 因此

0.2500

0.2

511

0()(,)255111x y G x P Y X f x y dxdy dx e dy

e dx e e ----≤===-=+-=?????

35. 设（X ，Y ）的联合概率密度为

1

,01,02(,)20,x y f x y ?

≤≤≤≤?=???其他

求X 与Y 中至少有一个小于12的概率.

解 所求的概率为

0.50.5120.50.51

1()()221

11,221(,)15

128

P X Y P X Y f x y dxdy

dxdy +∞

+∞??

<< ???

??

=-≥≥ ???=-=-=????

36. 设随机变量X 与Y 相互独立，且

X －1 1 3 Y －3 1

P 12 1

5 3

10 P 14 3

4

求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律.

解

37. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为

X 1 2 3

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第18页 (共57页) Y

1

1 1 1

2 a b c

（1）求常数a ，b ，c 应满足的条件；

（2）设随机变量X 与Y 相互独立，求常数a ，b ，c.

解 由联合分布律的性质，有：

11116918a b c +++++=, 即 a + b + c =12133

-= 又，X, Y 相互独立，可得 111::::6918

a b c = 从而可以得到： 121,,399a b c ===

38. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

2

223

2,0,1,1(,),0,01,10,x x y x

x y F x y x y x ? >>?+??= ><≤?+?? ??

其他， 求边缘分布函数()x F x 与()y F y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数

2222

lim ,0()(,)110,0y X x x x F x F x x x x →+∞?=>?=+∞=++??≤?

下面计算F Y (y )

23322

20,0()(,)lim ,011lim 1,11Y x x y x y F y F y y y x x y x →+∞→+∞??≤??=+∞==<≤?+??=>?+?

可以看出，F(x,y)= F x (x ) F Y (y ), 因此，X ，Y 相互独立.

39. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

132,1,1(,)0,y e x y f x y x -? ≥≥?=?? ?其他，

求边缘概率密度

()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立. 解 先计算()X f x , 当x <1时, ()0X f x =

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第19页 (共57页) 当x ≥1时,

113331222()1y y X f x e dy e x x x +∞

--+∞-===? 再计算()Y f y , 当y <1时, ()0Y f y = 当y ≥1时,

11132121()1y y y Y f y e dx e e x x +∞

---+∞-===? 可见, (,)()()X Y f x y f x f y =, 所以随机变量X, Y 相互独立

40. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

,(,)0,x y x y f x y + 0≤,≤1,?=? ?

其他， 求边缘概率密度

()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立. 解 先计算()X f x , 当x <0或者x >1时, ()0X f x =

当1≥x ≥0时, 121

2011()02

X f x x y dy xy y x =+=+=+? 再计算()Y f y , 当y <0或者y >1时, ()0Y f y =

当1≥y ≥0时,

1

20111()022Y f y x ydx xy x y =+=+=+? 由于11(,)()()22X Y f x y x y f x f y x y ????=+≠=++ ???????, 所以随机变量X,Y 不独立 41. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

22,00(,)0,x y e x y f x y --? >,>=? ?其他

求随机变量Z ＝X －2Y 的分布密度.

解 先求Z 的分布函数F(z )

:2()()(2)(,)D X Y z F z P Z z P X Y z f x y dxdy -≤=≤=-≤=

?? 当z<0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x -2y ≤z} 求得2

220()2z z y x y F z dy e dx +∞+---=?? 224122z y y z z e e dy e +∞

----=-=? 当z ≥0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x -2y ≤z}，

2200()2z y x y F z dy e dx +∞+--=?? 2401212

y y z z e e dy e +∞----=-=-? 由此, 随机变量Z 的分布函数为

11,02()1,02

z z e z F z e z -?-≥??=??

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第20页 (共57页) 1,02()1,02

z z e z f z e z -?≥??=??

42. 设随机变量X 和Y 独立，X ～2()N μ,

σ，Y 服从［－b ，b ］(b>0)上的均匀分布，求随机变量Z ＝

X ＋Y 的分布密度.

解 解法一 由题意，

2

2()21()()()2z y a b X Y F z f z y f y dy dy b σ---+∞-∞-=-=??

?

令)/,,[,],z y a t dy dt y b b σσ--==-∈-(则

()()()2211()22z b a z b a t z b a z b a F z dt b b

σ

σσσ+--

--+---=

=Φ-Φ? 解法二

22()()(),

()1()221122111212X Y z b z b F z f x f z x dx -b

z -b

x a F z dx b z b x a z b a z b a z b b b a z b a z b b a z b b σσσσσσσ+∞

-∞+-=-∴--=?+-?+---???????=Φ=Φ-Φ ? ? ? ?-??????????--?-+?????=

-Φ--Φ ? ? ? ?????????-+??=

Φ ????? a z b σ?--???-Φ ? ?????

43. 设X 服从参数为

12的指数分布，Y 服从参数为13的指数分布，且X 与Y 独立，求Z ＝X ＋Y 的密度函数.

解 由题设，X ~12120,0(),0X x x f x e x -≤??=?>??, Y ~13130,0(),0

Y x x f y e x -≤??=?>?? 并且，X ，Y 相互独立，则()()()Z X Y F z f x f z x dx +∞-∞=

-? 由于()X f x 仅在x>0时有非零值，()Y f z x -仅当z -x >0，即z>x 时有非零值，所以当z<0时，()X f x =0, 因此()Z f z =0.

当z>0时，有0>z>x, 因此

1132()011()23

z

z x x Z F z e e dx ---=? 163320

16z z z z x e dx e e ----==-?

44. 设（X ，Y ）的联合分布律为

X

0 1 2 3

概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第21页(共57页)

Y

0 0 0.05 0.08 0.12

1 0.01 0.09 0.1

2 0.15

2 0.02 0.11 0.1

3 0.12

求：（1）Z＝X＋Y的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y）的分布律. 解(1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有

P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0

P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06

P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19

P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35

P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28

P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12

同理，V=min(X,Y)的分布分别如下V∈{0,1,2}

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rvve.html