安徽省舒城中学2020_2021学年高二数学上学期第三次月考试题文.doc

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安徽省舒城中学2020-2021学年高二数学上学期第三次月考试题 文

时间：120分钟 分值：150分

第Ⅰ卷

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1．椭圆

22

12516x y +=的短轴长为 （ ）

A.241

B.10

C.8

D.6

2．以下三个命题：

①对立事件也是互斥事件；

②一个班级有50人，男生与女生的比例为3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽到的概

率为

35，每个女生被抽到的概率为25

； ③若事件A ，B ，C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=.

其中正确命题的个数为

（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．双曲线22

13

x y -=的渐近线方程为

（ ）

A ．3

3

y x =± B ．3y x =±

C ．13y x =±

D ．3y x =± 4．已知命题“02x ?>，2

0040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是

（ ）

A ．[)2,+∞

B ．()2,+∞

C ．(],2-∞

D ．(),2-∞

5．过点P (2，0)作圆O ：2

2

1x y +=的切线，切点分别为A ，B .若A ，B 恰好在双曲线C ：22

221

x y a b

-=的两条渐近线上，则双曲线C 的离心率为

（ ）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．5

6．已知椭圆2

2

1:12x y C m n +=+与双曲线2

2

2:1x y

C m n

-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为

（ ）

A ．2(

,1)2 B ．2(0,

)2

C ．(0,1)

D ．1(0,)2

7.已知m R ∈，则“3m >”是“方程

22

113

x y m m -=--表示双曲线”的

（ ）

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

8．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几个?程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出

n 的值为 （ ）

A ．20

B ．25

C ．75

D ．80

9．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a 、b 满足：xy b a =+，则

b

a 4

1+的最小值为 （ ）

A ．

B ．2

C ．8

D ．

10．已知F 是椭圆2

2x C y 12

+=：的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点()Q 4,3，则PQ PF +的

最大值为 （ ） A ．52B ．32C 34D ．2

11．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇

数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是 （ ） A.甲得10张，乙得2张 B.甲得6张，乙得6张 C.甲得8张，乙得4张 D.甲得9张，乙得3张

12．已知椭圆C :22

184x y +=的下顶点为A ，点B 是C 上异于点A 的一点，若直线AB 与以3(0,)1M -为圆心的圆相切于点P ，且1

4

AP AB =，则tan ABM

∠= （ ） 舒中高二统考文数 第1页 (共4页) 舒中高二统考文数 第2页 (共4页)

2

A. 12

B. 23

C. 53

D. 32

第Ⅱ卷

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．命题“若1a =-，则2

1a =”的逆命题是___________.

14．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕

琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是________________.

15．设A ?B 是椭圆22336x y +=上的两点，点(1,3)N 是线段AB 的中点，直线AB 的的方程为____. 16．若点O 和点F 分别为双曲线

2

213

x

y -=的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ?的取值范围为__________.

三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）设命题p ：实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a >；命题q ：实数x 满足()3log 11x -<.

（1）当1a =时，若p q ∧为真，求x 的取值范围；

（2）若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.

18．（本小题满分12分）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可

以从A ，B 两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900． （1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001～090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，

求样本中所有成绩编号之和；

（2）若采用分层抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层．已知该校高三学生有540

人选做A 题目，有360人选做B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数为5，B 题目的成绩平均数为5.5．

（i ）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数；

（ii ）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数

都是 5.5．从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率．

19．（本小题满分12分）已知圆22:2220C x y x y ++--=，点(,1),(4,2)A m B m -+，其中

m R ∈．

（1）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程；

（2）若在圆C 上存在点M ，使得MA MB ⊥，求实数m 的取值范围．

20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2

ADC π

∠=

，1

2

BC AD =

，PA PD =．Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，

（1）求证：平面PAD ⊥平面PBQ ；

（2）若平面PAD ⊥底面ABCD ，2PA =，1BC =，3CD =

-P MBQ 的体积为

14

，求PM

MC

的值．

21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>经过点3

(-，且短轴长为2.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围.

22．（本小题满分12分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点12(2,1),,P A A 分别是椭圆C 的左

右顶点，且直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为1

2

-．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设不过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，若直线PM 与直线PN 斜率之积为1，试问

直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．

舒中高二统考文数 第3页 (共4页) 舒中高二统考文数 第4页 (共4页)

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参考答案 一、选择题

CBAAC ABBDA DB 二、填空题

13.【答案】“若2

1a =，则1a =-”

14. 【答案】34

15.【答案】40x y +-=

16.)

323,?++∞? 三、解答题

17. 【答案】（1）()1,2；（2）[]

1,2.

18. 【解析】解：（1）由题意知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以25为首项，以90为公差的等差数列，

所以样本编号之和即为该数列的前10项之和， 所以

；

（2）（i ）由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中A 题目的成绩有6个，按分值降序分别记为x 1，x 2，…，x 6；

B 题目的成绩有4个，按分值降序分别记为y 1，y 2，y 3，y 4；

记样本的平均数为，样本的方差为s 2

； 由题意可知，

，

，i ＝1，2， (6)

，i ＝1，2， (4)

；

所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36．

（ii ）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和B 题目成绩的中位数都是5.5，

易知样本中A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，分别为x 1，x 2，x 3； B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，分别为y 1，y 2；

从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法，为： （x 1，x 2），（x 1，x 3），（x 2，x 3），（y 1，y 2），（x 1，y 1）， （x 2，y 1），（x 3，y 1），（x 1，y 2），（x 2，y 2），（x 3，y 2）， 其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种，为： （x 1，y 1），（x 2，y 1），（x 3，y 1），（x 1，y 2），（x 2，y 2），（x 3，y 2）；

记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件A ， 所以

．

19.【答案】（1）34170x y -+=或3430x y --=；（2）325,253.??--??．

【分析】

（1）求出直线AB 的方程，利用圆心到直线AB 的距离等于圆的半径可求出直线AB 的方程； （2）求出以AB 为直径的圆的方程，确定该圆的圆心坐标和半径长，结合已知条件转化为两圆有公共点即可求得实数m 的取值范围. 【详解】

圆22

:(1)(1)4C x y ++-=，圆心(1,1)C -，半径2C r =

（1）由题得34

AB k =

，故设其方程为3

4y x b =+，即3440x y b -+=

则圆心C 到直线AB 的距离为47

5b d -=

由直线AB 与圆C 相切得C d r =，即4725

b -=，解得174b =或3

4-

故直线AB 的方程为：34170x y -+=或3430x y --=

（2）AB 的中点1

252

D

m AB +=(,),且MA MB ⊥ M ∴点的轨迹为以AB 为直径的圆D ，其方程为[]2

2

125(2)()24

x m y -++-=

由于存在点M 使得MA MB ⊥，故圆C 与圆D 有公共点 即D C D C r r CD r r -≤≤+，也即22515-2(3)(1)+2222

m ≤++-≤ 解得325253m --≤≤-

故实数m 的取值范围为325,253.??---??

20.【详解】

（1）

//AD BC ，1

2

BC AD =

，Q 为AD 的中点， //QD BC ∴，QD BC =，四边形BCDQ 为平行四边形，

又2

ADC π

∠=

，知四边形BCDQ 为矩形，即BQ AD ⊥；

PA PD =，Q 为AD 的中点，PQ AD ∴⊥，

又PQ BQ Q =，,PQ BQ ?平面PBQ ，AD ∴⊥平面PBQ 又AD ?平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBQ .

（2）PA PD =，Q 为AD 的中点，PQ AD ∴⊥，22213PQ =-=又平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 底面ABCD ，PQ ∴⊥底面ABCD

11111

31332322P BCQ V BQ BC PQ -∴=????=?=.

又14

P BMQ V -=，利用等体积法有：111

244M BCQ P BCQ P BMQ V V V ---=-=-=.

4

1

2

M BCQ P BCQ V V --∴=，故点P 到平面BCQ 的距离是点M 到平面BCQ 的距离的2倍.

M ∴为PC 的中点，即1PM

MC

=.

21.（1）由题意知，

22

13

14a b +=，22b =，解得2a =，1b =， 故椭圆方程为：2

214

x y +=.

（2）()i 当OP ，OQ 斜率一个为0，一个不存在时，1OPQ S ?=，

()ii 当OP ，OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，

由221

4

y kx x y =???+=??消y 得212414x k =+，2

222

112

414k y k x k ==+， 22114

y x k x y ????=-+=???，得22

22

44k x k =+，222222144y x k k ==+，

∴OP OQ ====

∴1·2OPQ

S OP OQ ?===， 又24222

999

01214

2k k k k k <=≤++++，所以415

OPQ S ?<， 综上，OPQ △面积的取值范围为4

[,1]5

.

22. （1）易知12,A A 坐标分别为(,0),(,0)a a -，

则122

11112242

PA PA k k a a a ?=?==-+--，

解得a =(2,1)P 为2222:1x y

C a b

+=上一点，

可得2241

1a b

+=

，b =

所以椭圆C 的方程为22

163

x y +=；

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，

带入椭圆方程22

163

x y +=整理可得：222(1)4260k x kbx b +++-=，

设1122(,),(,)M x y N x y ，

所以2121222426

,1212kb b x x x x k k -+=-=

++， 121211

122

MP NP y y k k x x --?=?=--，整理可得：12121212()2()30y y y y x x x x -+-++-=，

11y kx b =+，22y kx b =+，带入整理可得：

221212(1)(2)()230k x x kb k x x b b -+-+++--=，

2121222426

,1212kb b x x x x k k -+=-=

++带入可得： 222

22

264(1)(2)()2301212b kb k kb k b b k k --+-+-+--=++， 整理可得：222

12823

012k b kb b k

----+=+， 即22128230k b kb b +++-=，(21)(63)0k b k b +-++=，

所以210k b +-=，此时直线方程为21y kx k =-+过定点(2,1)，舍去， 或630k b ++=，此时直线方程为63y kx k =--，过定点(6,3)-，

当斜率不存在时设直线方程为x t =

（t <，

带入椭圆方程可得2

2

260y t +-=，

所以120y y +=，2126

2

t y y -=，12x x t ，

同理由12121212()2()30y y y y x x x x -+-++-=可得： 解得2t =（舍去）或6t =， 此时6x =也过定点(6,3)-，

综上可得直线l 过定点，定点为(6,3)-.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rvd1.html