初中数学竞赛专题选讲-线段、角的相等关系

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初中数学竞赛专题选讲

线段、角的相等关系

一、内容提要

证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。

构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）

一. 证明两条线段相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。 2. 在两个三角形中，证明全等。

3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质

②用平行线等分线段定理 4.运用比例式证明相等：若

xyxy? 则x=y；若?则x=y

yxaa5.应用等量代换、等式性质

二.证明两个角相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。 2. 在两个三角形中，证明全等或相似。 3.在平行线图形中

① 用平行四边形的对角相等

② 行线的同位角相等，内错角相等

③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 ④ 角（或等角）的余角（或补角）相等 ⑤ 用等量代换、等式性质

二、例题

例1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形” 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B 求证：AD＝BC

下面提供三种基本证法：

1. 把BC、AD集中到同一个三角形，证它等腰三角形。

辅助线是：过点D作DE∥BC，我们称它为“平移” ∵BCDE是平行四边形，可证△DAE为等腰三角形

2. 以BC、AD为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素，

辅助线为：作两条高CM和DN，根据夹在平行线间的平行线段相等，

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可用角角边证全等。

3. 由∠A＝∠B，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分

别延长AD和BC交于P。 P

D C D C D C

A E B A N M B A B 例2.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于O,AD、BC的延

长线相交于P

求证：PO平分AB P 证明：设PO延长线交AB于E，交CD于F

DF∵AB∥CD CDFPFCFCFCODF ∴ ＝＝① ＝＝② AEPEBEAEAOBEADF?CFCF?DFE①×②得 ?22AEBE

OB∴AE2＝BE2∵AE＞0，BE＞0

∴AE＝BE，即PO平分AB

例3.已知：△ABC中，AC＝3AB，AF是∠A的平分线，

过点C作CD⊥AF，D是垂足 求证：AD被BC平分 A

证明：以AD为轴作△ADC的对称三角形ADE B 那么DE＝DC，AE＝AC＝3AB，BE＝2AB G F 取BE的中点G，连结DG E C 则DG∥BC，∵AB＝BG D ∴AF＝FD，即AD被BC平分

例4.已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，

和CAN，P是边BC的中点

求证：PM＝PN （1991年泉州市初二数学双基赛题）

证明：取AB中点Q，AC中点R A连结PQ，PR，MQ，NR

PQ∥AC，PQ＝

1AC＝NR 2QRMPR∥AB，PR＝MQ

C∠PQM＝∠PRN（两边分别垂直） BPN∴△PQM≌△NRP， PM＝PN

例5.已知：四边形ABCD中AD＝BC，E，F分别是AB、CD的中点，

延长AD，BC和EF的延长线分别交于G，H 求证：∠AGE＝∠BHE

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H证明：连结AC，取AC的中点P，连结PE，PF ∵PE是△ABC的中位线，

G1BC， 21同理PF∥AD，PF＝AD

2∴PE∥BC，PE＝

FDC∴∠PEF＝∠BHE，∠PFE＝∠AGE P∵AD＝BC，∴PE＝PF，∠PEF＝∠PFE

k∴ ∠AGE＝∠BHE AEB例6.已知：△ABC中，∠A＝Rt∠，点O是正方形BCDE对角线的交点 求证：AO是∠A的平分线

证明：过点O作OF⊥OA交AC的延长线于F

A∵∠ABC，∠FCO都是∠ACO的补角

∴ ∠ABC＝∠FCO

∵∠AOB，∠FOC都是∠AOC的余角 C B ∴ ∠AOB＝∠FOC

F又∵OB＝OC

O∴△ABO≌△FCO

?∴AO＝FO， ∠F＝∠OAF＝45 E ∴ AO是∠A的平分线

（△FCO是△ABC绕点旋转90后的位置） 又证： ∵∠BAC＋∠BOC＝180

??DA∴A，B，O，C四点共圆，

CB过ABOC四点作辅助圆，在这个圆中 ∵弦OB＝弦OC ∴弧OB＝弧OC

O∴圆周角BAO＝∠OAC

即 AO是∠A的平分线 D E 三、练习

1. 在等边△ABC的边AB，BC，CA上分别截取AD＝BE＝CF，连结AE，

BF，CD它们两两相交于P，Q，R，则△PQR也是等边三角形 2. 已知：如图AB＝AC，AD＝AE

求证：AF平分∠BAC

3. 如图P，Q，R是等边三角形ABC三边的中点，M是BC上的任意点，

以PM为一边作等边三角形PMN，则RN＝QM

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4. 如图△ABD，△BCE都是等边三角形，ADEF是平行四边形，则△CAF

也是等边三角形

AA② ③ ④ E

DNDE FlPRTzAF

BCBQC MBC

5. 四边形ABCD中，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF

和AC，BD相交所成的两个锐角相等

6. 锐角三角形ABC中，以AB，AC为边作两个正方形ABDE，ACFG，

高AH的延长线交EG于M，求证：①ME＝MG，②AM＝

1BC 27. △ABC的∠C＝Rt∠，∠A＝30?，以AB，AC为边向形外作等边三角形ABD，ACE，求证 DE被AB平分

8. 等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BE是中线，AD⊥BE交BC于

D，交BE于F，求证：∠AEB＝∠DEC

9. 等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，AD∥BC，且BD＝BC，设BD

和AC相交于E，求证CD＝CE

10. △ABC中，AD是高，若AB＋DC＝AC＋BD，则AB＝AC

11. D，E分别在等边三角形ABC的边BA，BC的延长线上，AD＝BE求证

DC＝DE 12. 正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上且∠EAF＝45，AH是 △ AEF的高，求证 AH＝AB

13. 梯形ABCD中，AB∥CD，MN∥AB交AD于M，交BC于N交AC

于E，交BD于F则ME＝NF

14. 正方形ABCD中，E，F是AB延长线上的两个点，BE＝BC，BF＝BD，

DF交BC于G，交CE于H求证：CH＝CB，HG＝HF

?

练习题参考答案

1. 先△ABE≌△BCF≌△CAD，2.三次全等，3.证△PQM≌△PRN

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4.△ABC≌△DBE，∠BAC＋ ∠DAF＝∠BDE＋∠DEF＝60?＋180? 1. 取CD的中点M，连结ME，MF 6. △EAM≌△ABH 5. 作△ABD的高DF，证△BDF≌△BAC 6. 作斜边上高，找全等三角形 7. 求出∠DBC＝30?，有两种图形

8. 延长BC到N，使CN＝AB，延长CB到M，使BM＝AC， 证△AMD≌△AND，△CAN≌△MBA 9. 延长BE到F，使EF＝BC 10. 延长CB到G使BG＝DF 13. 证明

MENF ?CDCD14.∠CDF＝∠F＝∠BDF＝∠DHC＝22.5?

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