2010级外国语二轮专题复习材料（一）三角函数与平面向量（文理科

树德中学外国语校区高2010级高三数学二轮复习讲义精编之一（文理科）

一．三角函数与平面向量

【一】今年高考考什么？——关注本板块的考试内容及要求层次 要求层次 A B C ▲ 任意角的概任意角的概念和弧度制 念、弧度制 弧度与角度的互化 ▲ ▲ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 ▲ 单位圆中的三角函数线及其应用 ▲ 诱导公式 ▲ 同角三角函数的基本关系式 三角函数 ▲ 周期函数的定义、三角函数的周期 函数y?sinx,y?cosx,y?tanx的图象和性质 ▲ 函数y?Asin(?x??)的图象 ▲ 考试内容 三角函数、三角恒等变换、解三角形 必修5 三角恒等 变换 解三角形 平面向量 向量的 线性运算 平面 向量 必修4 平面向量的 基本定理及 坐标表示 平面向量的 数量积 向量的应用 低一级的层次要求。

用三角函数解决一些简单的实际问题 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 简单的三角恒等变换 正弦定理、余弦定理 运用正弦定理、余弦定理等知识解决实际问题 平面向量的概念、两个向量相等的含义 向量的几何表示 向量加法、减法的运算及其几何意义 向量的数乘运算及其几何意义 两个向量共线 平面向量的基本定理 平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件 数量积及其物理意义 数量积与向量投影的关系 数量积的坐标表示 平面向量数量积的运算 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 用向量方法解决简单的问题 ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ 附注——对知识的要求由高到低分为了解、理解、掌握三个层次，且高一级的层次要求包含（1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识它。

这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。 （2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作出正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备用所学知识解决简单问题的能力。

这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等。

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（3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。

这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。（摘自《2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）考试说明》） 【二】温故而知新——配合以下复习材料，巩固知识体系，强化解题思维 1．教科书——必修4、必修5 2．课堂笔记本、训练纠错本

3．一轮练习册第四章——《三角函数、解三角形》 4．一轮练习册第五章——《平面向量》

5．一轮复习用试卷——关注与三角函数、平面向量相关的试题

【三】知识要点有哪些？——结合下面的知识体系图例和问题提示，检索知识储备情况

正角 角的概念的推广 负角 角的表示方法 零角 定义、弧度与角度互换 概念 弧度制 扇形的弧长与面积 定义 应应应重用用用要 任意角的三角函数 三角函数线 一二三提：：：醒 三各象限内的符号 三三求： 角角角解三函平方关系 函函斜角 数数数三函 同角三角函数关系式 商的关系 三角公式 诱导公式 倒数关系 和、差角公式 两角和与差的三角函数 倍角公式 半角公式 图象与性质 正弦、余弦、正切函数 正弦型函数的图象与性质 ?式图角数的象形线化的问是简变题重、换 要求规的值律研与 究证工明具 解斜三角形 正弦定理及适用情形 余弦定理及适用情形 共线向量、相等（相反向量） 基础概念 单位向量 零向量 加法与减法 三角形法则 平行四边形法则 平面向量 共线向量定理 实数与向量的乘积 平面向量基本定理 运算 数量积 定义 运算律

坐标表示） 坐标运算 坐标运算

平行与垂直的坐标表示 2

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1．你熟悉单位圆及三角函数线在研究三角函数问题中的应用吗？请对比思考以下问题： ①试结合三角函数线描述三角函数y?sinx,y?cosx,y?tanx的主要性质； ②利用三角函数线判断sin??cos?的值的符号及取值规律； ③利用三角函数线求解三角不等式?

1313． ?sin??,cos??,?1?tan??22232．利用同角三角函数关系式时，“平方关系入手，但只用一次”的原则你知道吗？

3．三角函数的主要公式及常用变形结论你是否已经进行过总结并能熟练应用？

4．三角函数的变换主要是：角、函数名、式（次数、系数、结构）的变换，其核心是“角

的变换”．

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角（半角）的变换、两角与其和差角的变换．比如??(???)???(???)??，

2??(???)?(???)，????2?

???2，

???2?(???2)?(?2??)等等．

5．讨论三角函数式的性质时，常常设法将其化为最高次为一次的只含有一个角的三角函数式来讨论，其中最常见的两种化简方向是：

①化为正（余）弦型函数； ②化为关于某个三角函数的二次型函数．

cosx类型的函数的值域，可作换元t?sinx?cosx，但同时6．求y?sinx?cosx?sinx要注意换元后的变量t的范围有限制．

7． y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图象与性质你掌握了吗？请思考以下问题： ①如何用五点法作出函数在一个周期内的图象？

②如何用图象变换的方法作出函数在一个周期内的图象？ ③如何求出函数的单调区间、周期、对称轴和对称中心？

④A、?、?的含义是什么？你能熟练依据函数的部分图象特征求出函数的解析式吗？

8．在求解三角形的问题时，要注意利用好正、余弦定理化边为角或化角为边．

9．三角函数的考查主要立足于三个方面的问题，应该做好相关典型题目的梳理和总结： ①三角函数式的化简、求值与证明；

②研究y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图象和性质； ③解三角形问题．

10．你知道向量的三种运算形式（符号运算、图形运算和坐标运算）的主要公式及特征吗？

11．对于共线向量、平面向量、空间向量基本定理及相关推论你是否已经掌握？比如：

、PB、PC的三个终点A、B、C共线? ①向量PA存在实数?、?，使得PA??PB??PC，且__________；

、PB、PC、PD的四个终点A、B、C、D共面? ②向量PA存在实数?、?、?，使得PA??PB??PC??PD，且______________．

12．①与非零向量AB共线的单位向量是?AB； |AB|②向量a在b方向上的投影是|a|cos?a,b?．

13．向量的“乘法不满足结合律”，即a(b?c)?(a?b)c；切记两个向量不能相除和约分．

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14．曲线f(x,y)?0按向量a?(h,k)平移得到的曲线方程是f(x?h,y?k)?0．

15． ?ABC的重心为M，则MA?MB?MC?0．反之亦然．

16．平面向量常出现在三角函数、解析几何的综合问题中，你是否对这种综合题目的特点进行过总结归纳？你知道这种综合题目的常见特点是什么吗？

【四】高考通常这样考！——解答以下精选考题，研究命题模式，强化思维能力

1．（1）角?的终边经过点P(1,?2)，则tan2??______．

（2）若cos

3?4?,sin??，则角?的终边一定落在直线（ ）上 2525 C.24 D.24A.7x?24y?0 B.7x?24y? 0x?7y? 0x?7y? 0?（3）若对任意a?(0,??)，存在??R，使asin??a成立，则cos(???6)的值为（ ）

1133A. B.? C. D.? 2222

（4）已知sin(

?6??)?1?，则sin(?2?)?_________． 461?cos2x?8sin2x（5）当0?x?时，函数f(x)?的最小值为（ ）

2sin2xA.2 B.23 C.4 D.43 ?

（6）已知函数f(x)?Asin(?x??)的图象如图所示， 又f()??y2，那么f(0)的值为（ ）

232211A.? B. C.? D.

3322?O?23?27?11?1212x

（7）已知函数f(x)?3sin(?x??),g(x)?3cos(?x??)． 若对任意x?R都有f(

??x)?f(?x)，则g()的值为 ． 333??（8）?ABC为锐角三角形，若角?终边上一点P的坐标为(sinA?cosB,cosA?sinC)， 则y?

sin?cos?tan???的值是（ ）

|sin?||cos?||tan?|A.1 B.?1 C.3 D.?3

（9）给出命题： ①若|a|?|b|，则a?b；

②若A、B、C、D四点不共线，则AB?DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a?b，b?c，则a?c； ④a?b的充要条件是|a|?|b|且a//b；

⑤若a//b，b//c，则a//c．其中正确命题的序号是____________．

（10）已知直角坐标平面内的两个向量a?(1,3)、b?(m,2m?3)，使得平面内的任意一个

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向量c都可以唯一的分解成c??a??b，则m的取值范围是 ．

（11）直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．在直角?ABC中，若AB?2i?j，AC?3i?kj，则实数k的可能取值的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

（12）平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(3,1)、B(?1,3)，若点C满足

OC??OA??OB，其中?、??R且????1，则点C的轨迹方程是（ ）

D.x?2y?5? A.3x?2y?11?0 B.(x?1)2?(y?2)2?5 C.2x?y?00

（13）如图，在?ABC中，D为边BC上一点，BD?1DC， 22A?ADB?120，AD?2．若?ADC的面积为3?3， 则?BAC?________．

120

CBD

22．若函数f(x)?sinax?sinax?cosax(a?0)的图象与直线y?m相切，并且切点的横

坐标依次成公差为

?的等差数列． 2（I）求m的值；

（II）若点A(x0,y0)是y?f(x)图象的对称中心，且x0?[0,

3．若函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??2]，求点A的坐标．

?2)的最小值为?2，且它的图象经过点

(0,3)和(5?,0)． 6（I）写出一个满足条件的函数解析式f(x)； （II）若函数f(x)在[0,?8（III）若函数f(x)在[0,2]上恰有一个最大值和最小值，求?的值．

]上单调递增，求此函数所有可能的解析式；

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4．已知O为原点， OA?(2asin2x,a)，OB?(1,?23sinxcosx?1)， 设f(x)?OA?OB?b(a?b,a?0)．

（I）求y?f(x)的单调递增区间； （II）若f(x)的定义域为[?2,?]，值域为[2,5]，求a、b的值．

5．在?ABC中，内角A、B、C对边长分别是a、b、c，已知c?2，C??3．

（I）若?ABC的面积等于3，求a、b；

（II）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求?ABC的面积．

【五】二轮复习如此练！——完成下列精选训练题，及时总结与反思，实现巩固与提升1．下列各选项中，与sin2013最接近的数是 （ ）

A.12 B.22 C.?12 D.?22

2．如果sin3??cos3??cos??sin?，且??(0,2?)，那么角?的取值范围是（ ）A.(0,??3??5?5?4) B.(2,4) C.(4,4) D.(4,2?)

3．设??0，m?0，若函数f(x)?msin?xx2?cos?2在区间[??3,?4]上单调递增，

则?的范围是（ ）

A（.0,23) B.(0332, ] C.[2,??) D.[1,??)

y4．在下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）

??6O?x12?26

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A.y?2sin(4x?) B.y??2sin(2x?)

63C.y?2cos(2x?) D.y??2cos(2x?) 63ABACABAC15．非零向量AB与AC满足(则?ABC为（ ） ?)?BC?0且??，

|AB||AC||AB||AC|2A.三边均不相等的三角形 B.等腰非等边三角形 C.直角三角形 D.等边三角形

????6．设a?(a1,a2)、b?(b1,b2)．定义一种向量积a?b?(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2)．

1?,0)，点P(x,y)在y?sinx上运动，点Q在y?f(x)上运动，

23且OQ?m?OP?n （其中O为原点），则y?f(x)的最大值A及最小正周期T分别为（ ）

11A.2,? B.2,4? C.,4? D.,?

22n?(已知m?(2,)、

7．设向量a?(cos14,cos76),b?(cos59,cos31),u?a?tb(t?[?1,1])， 则|u|的取值范围是 ．

8．在锐角?ABC中，?A?2?B，则

c的取值范围是_____________． b9．已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是?ABC的重心，

且56sinA?GA?40sinB?GB?35sinc?GC?0，则?B的大小为_____________．

10．在?ABC中，已知AB?4，AC?7，BC边的中线AD?

7，那么BC?_____． 211．满足条件AB?2，AC?2BC的?ABC的面积的最大值为_____________．

113cosx)与b?(1,y)共线，且有函数y?f(x)．

222（I）求函数y?f(x)的周期和最大值；

?（II）已知锐角?ABC的三个内角分别为A、B、C，若有f(A?)?3，边BC?7，

321，求AC的长． sinB?712．已知向量a?(,sinx?

inA(?2b?)csin13．?ABC三边a,b,c所对角分别是A,B,C，且2as（I）求?A的大小；

（II）若sinB?sinC?1，试判断?ABC的形状特征．

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B(2?c)sin?bC．

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14．已知向量OA?(?cos?,?sin?)(??0),OB?(?sin?,cos?)，其中O为坐标原点． （I）若?????6（II）若|AB|?2|OB|对任意实数?,?都成立，求实数?的取值范围．

15．设f(x)?6cos2x?23sinx?cosx． （I）将f(x)化为Acos(?x??)?k(A?0)的形式，并求出f(x)的最小正周期及单增区间； （II）若锐角?满足f(?)?3?23，求tan?的值； （III）（理科做）将函数f(x)的图象向右平移求函数F(x)?，求向量OA与OB的夹角；

?个单位，得到函数y?g(x)的图象， 3?g(x)?3在x?处的切线方程．

423x

16． ?ABC和?A1B1C1满足． sinA?cosA1,sinB?cosB1,sinC?cosC1 （I）证明?ABC是钝角三角形，并求最大角的度数； （II）求sinA?sinB?sinC的最小值．

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*17．已知k?R且k?0，向量m?(cos?,sin?)与n?(cos?,sin?)之间满足

|km?n|?2|m?kn|．

（I）用k表示m?n； （II）求m?n的范围； （III）若f(k)?m?n?

a在区间(0,2]上是减函数，求正实数a的取值范围． 6k13)． 22（I）若存在实数k和t，使x?a?(t2?3)b，y??ka?tb，且x?y， 试求函数关系式k?f(t)；

（II）根据（I）的结论，确定k?f(t)的单调区间；

3（III）设a?0，若过点(a,b)可作曲线k?f(t)的三条切线，求证：?a?b?f(a)．

4*18．已知向量a?(3,?1)，b?(,

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【六】自觉反思与自主提炼——请参考下列建议，做好本板块复习的收尾工作

1．自我小结本板块的复习体验：

（1）三角函数和平面向量的考查模式大体上是怎样的？ （2）主要有哪些典型的知识要点、解题技能需要重点掌握？

2．阅读学习《步步高》红本相关内容（建议必看！）：

（1）第80页——模板1 三角函数的周期性、单调性及最值问题 （2）第80页——模板2 与平面向量综合的三角函数问题

（3）第90页——易错点13 图像变换方向与变换量把握不准致误 易错点14 忽视三角函数的有界性致误

易错点15 忽视三角函数值对角的范围的限制致误

易错点16 忽视三角形中的边角关系对角的范围的制约致误 易错点17 忽视向量共线致误

3．牛刀小试《步步高》蓝本相关题目（建议必做！）： （1）第19页——名师押题我来做 （2）第22页——名师押题我来做 （3）第24页——名师押题我来做

4．追加训练《步步高》白本相关内容：

（1）第137页——专题二 三角函数、解三角形、平面向量（建议选作！） （2）第179页——题型一 三角恒等变换及性质（建议必做！）

（3）第180页——题型二 三角函数与平面向量综合题型（建议必做！）

【七】近几年成都二诊试题选练与评析 1．（08年2）化简

A.? 3 2sin(60??)?cos120sin?的结果为（ ）

cos?3n B. C.ta?3D.3 22．（12年2） 若0????，tan(???)?3A.?

5

B.4 5

3，则cos??（ ） 443 C.? D.

553．（10年6）已知tan(??A.

29 41

3?2)?,tan(??)?，则tan(???)的值为高（ ）☆考 676511 B. C. D.1

2941?4．（10年3）已知函数f(x)?sin(2?x??3

)(??0)的最小正周期为?，则函数f(x)的图

5? 12像的一条对称轴方程是（ ）高☆考♂资♀源

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