高中数学第二章圆锥曲线与方程2-2-1双曲线及其标准方程课堂探究

高中数学第二章圆锥曲线与方程2-2-1双曲线及其标准方程

课堂探究新人教B版选修1_1

课堂探究

探究一双曲线的定义及应用

若F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在双曲线的右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在双曲线的左支上，反之亦成立．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意x的范围．【典型例题1】已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．思路分析：利用双曲线的定义，结合勾股定理来求解．

解：由－＝1，知a＝3，b＝4，

所以c＝5.

由双曲线定义及勾股定理，得

|PF1|－|PF2|＝±6，

|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102＝100，

所以(|PF1|－|PF2|)2＝100－2|PF1|·|PF2|，

所以|PF1|·|PF2|＝32.

所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16.

探究二求双曲线的标准方程

解决求双曲线的标准方程问题，主要关注三个问题：(1)注意焦点的位置，以确定双曲线标准方程的类型；(2)求方程的关键是确定a2，b2的值；(3)充分利用a2＋b2＝c2.

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3 【典型例题2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；

(2)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x 轴上；

(3)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；

(4)过点P ，Q 且焦点在坐标轴上．

思路分析：先根据条件确定焦点的位置再设出方程，确定参数的

值．

解：(1)依题意，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝，c ＝2，所以

b2＝c2－a2＝5.

所以双曲线的标准方程为－＝1.

(2)因为焦点在x 轴上，且c ＝，

所以设方程为－＝1.

又因为过点(－5,2)，

所以－＝1.

解得a2＝5或a2＝30(舍去)．

所以方程为－y2＝1.

(3)设所求双曲线方程为－＝1(－4＜λ＜16)．

因为双曲线过点(3，2)，

所以－＝1，

解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．

所以所求双曲线方程为－＝1.

(4)设双曲线方程为＋＝1(mn ＜0)．

因为P ，Q 两点在双曲线上，

所以??? 9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n

＝1， 解得{ m ＝－16，

＝9.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ruxl.html