排列组合问题的几种基本方法(复习归纳)
更新时间:2023-04-09 11:30:01 阅读量: 实用文档 文档下载
. . .
.页脚. 排列组合问题
1. 分组(堆)问题
分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分;(④有序不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.)
处理问题的原则:
①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.
1. 分组(堆)问题
例1.有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式?
解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤:
⑴先将四项工程分为三“堆”,有
211421226C C C A
种分法;
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队,
有3!=6种给法.
∴共有6×6=36种不同的发包方式.
2.插空法:
解决一些不相邻问题时,可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀
♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法?
解:分两步进行:
55A 有=120种排法
第1步,把除甲乙外的一般人排列:
第2步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔):
26A 有=30种插入法
. . .
.页脚.
120303600∴?共有=种排法
()种不同的排法有225566P P P -∴
3.捆绑法
相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的排法,即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素,然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
♀ ♀
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
解:(1)分两步进行:
甲 乙
第一步,把甲乙排列(捆绑):
22A 有=2种捆法
第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队:
5
5A 有=120种排法
几个元素不能相邻时,先排一般元素,再让特殊元素插孔.
几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素,再与其它的进行排列.
. . .
.页脚.
2120240∴?共有=种排法
()种不同的排法有225566P P P -∴
4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再消去这几个元素的顺序.或者,先让其它元素选取位置排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法?
5
5A
种站法,
解法1:将5个人依次站成一排,有
22
A
然后再消去甲乙之间的顺序数
535522543A A A =??= ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
解法2:先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好,有
3
5A 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 3
3
551A A ?=
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
4.消序法(留空法)
解: 如图所示
变式:如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?
. . .
.页脚.
B
A
B
将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
51
4(51)(81)
11
C
C
--+-=
所以从A 到B 共有 条不同的路径.
. . .
.页脚. 5.剪截法(隔板法):
n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.
例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
解: 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
315455C =
将16个小球串成一串,截为4段有
种截断法,对应放到4个盒子里.
因此,不同的分配方案共有455种 .
5.剪截法:
n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.
变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解: 问题等价于先给2班1个,3班2个,4班3个,再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
3
984C =
将10个小球串成一串,截为4段有
种截断法,对应放到4个盒子里.
因此,不同的分配方案共有84种 .
6.错位法:
编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.
解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有
2
615C =
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9=135种.
7.剔除法
. . .
.页脚. 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系,
从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条.
3 7210
A=
解:所有这样的直线共有条,
12 66180
A A
?=
其中不过原点的直线有条,
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180=30条.
巩固练习
1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则不同的投法的种数是()
A.43
B.34
C.34A
D.34C
B
2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出
3种,分别种在不同土质的三块地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有()
A.24种
B.18种
C.12种
D.6种
B
巩固练习
. . .
.页脚. 3. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有( )
A.4448412C C C 种
B.34
448412C C C 种
C.3348412A C C 种
D.33
4
4
48412A C C C 种
A
4. 5个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是(
) A.6 B.12 C.72 D.144
C
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