黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试数学测试卷理科
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黄浦区2015学年第一学期高三年级期末调研测试数学试卷2016
年1月
一、填空题(本大题满分56分,共14题)
1.不等式x?1?1的解集用区间表示为 . 2.函数y?cos2x-sin2x的最小正周期是 . 3.直线
xy?3的一个方向向量可以是 . 214.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球,则该球的半径为
5.若无穷数列中的任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 . 2??上有且只有一个零点,则a= . 6.若函数y?a?sinx在区间??,7.若函数f?x??为 .
8.若对任意不等于1的正数a,函数f?x??ax?2的反函数的图像过点P,则点P的坐标是 .
9.(理)在?a?b?的二项式展开式中,若二项式系数的和为128,则二项式系数的最大值
nx2?1?a?x2为偶函数且非奇函数,则实数a的取值范围
为 (结果用数字作答).
10.在△ABC中,若cos?A?2C?B??sin?B?C?A??2,且AB?2,则BC? . 11.为强化安全意识,某学校拟在未来的连续5天中,随机抽取2天进行紧急疏散演练,那么
选择的2天恰好为连续两天的概率是 (结果用最简分数表示). 12.已知k?N,若曲线x?y?k与曲线xy?k无交点,则k= . 213.已知点 M?m,0??m?0?和抛物线C:y?4x ,过C的焦点F的直线与C交于两点
?222A、B两点,若AF?2FB,且MF?MA 则m= . 14.若非零向量a,b,c满足a?2b?3c?0,且a?b?b?c?c?a则b与c夹角为 .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题
15.已知复数z,“z?z?0”是“z为纯虚数”的( ) A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
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1
C、充要条件 D、既非充分也非必要条件 16.已知x?R,下列不等式中正确的是( ) A、C、
1111?? B、 xy2223x?x?1x?x?11111?? D、 222x?1x?22xx?117.已知P为直线y?kx?b上一动点,若点P与原点均在直线x?y?2?0的同侧,则
k、b满足的条件分别为( )
k?1,b?2 C、k?1,b?2 ,D、k?1,b?2 A、k?1,b?2 B、18.已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,若直线l1,l2,l3,l4的长分别为a1,a2,a3,a4,则( )
A.对任意的d,均存在以l1,l2,l3为三边的三角形 B对任意的d,均不存在以l1,l2,l3为三边的三角形
C对任意的d,均存在以l2,l3,l4为三边的三角形
D.对任意的d,均不存在以l2,l3,l4为三边的三角形
三、解答题(本大题满分74分)
19. (本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面为直角三角形,两条直角边AC和BC的长分别为4和
3,侧棱AA?的长为10.
(1)若侧棱AA?垂直于底面,求该三棱柱的表面积.
(2)若侧棱AA?与底面所成的角为60?,求该三棱柱的体积.
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20. (本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.
如图,已知点A是单位圆上一点,且位于第一象限,以x轴的正半轴为始边,OA为终边的角设为?,将OA绕坐标原点逆时针旋转
(1)用?表示A,B两点的坐标.
(2)M为x轴上异于O的点,若MA?MB,求点M的横坐标的取值范围.
y
B
A?至OB. 2Ox
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF,E,F分别在AB,BC边上,
OA?5米,OC?4米,?EOF??4(1)试用解析式将y表示成x的函数;
,设CF?x,AE?y.
CFB(2)求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值.
EOA______________________________________________________________
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3
22. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
x2y2(理)已知椭圆?:2?2?1?a?b?0?,过原点的两条直线l1和l2分别与?交于A,B和
abC,D,得到平行四边形ACBD.
(1)当ACBD为正方形,求该正方形的面积S.
(2)若直线l2和l1关于y轴对称,当d12?d22?上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2,为定值时,求此时直线l1和l2的斜率及该定值.
(3)当ACBD为菱形,且圆x2?y2?1内切于菱形ACBD时,求a,b满足的关系式.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
(理)已知a1,a2,?,an是由nn?N?个整数1,2,?,n按任意次序排列而成的数列,数列?bn?满足bk?n?1?ak?k?1,2,?,n?,c1,c2,?,cn是1,2,?,n从大到小的顺序排列而成的数列,记Sn?c1?2c2???ncn.
??(1)证明:当n为正偶数时,不存在满足ak?bk?k?1,2,?,n?的数列?an?. (2)写出ck?k?1,2,?,n?,并用含n的式子表示Sn. (3)利用?1?b1???2?b2?????n?bn??0.
1证明:b1?2b2???nbn?n?n?1??2n?1?及a1?2a2???nan?Sn.(参考:
6112?22???n2?n?n?1??2n?1?.)
6
222______________________________________________________________ 4 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家
黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷(理科) 2016年1
月
考生注意:
1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写,写在试卷、草稿纸上的解答一律无效;
2.答卷前,考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚,并贴好条形码; 3.本试卷共23道试题,满分150分;考试时间120分钟.
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直
接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分. 1.不等式|x?1|?1的解集用区间表示为 .(0,2) 2.函数y?cos2x?sin2x的最小正周期是 . ?
3.直线
xy?3的一个方向向量可以是 .(2,1) 214.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球,则该球的半径为 .32 5.若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 .6.若函数y?a?sinx在区间[?,2?]上有且只有一个零点,则a? .1
7.若函数f(x)?x2?1?a?x2为偶函数且非奇函数,则实数a的取值范围为 .(1,??)
8.若对任意不等于1的正数a,函数f(x)?ax?2的反函数的图像都过点P,则点P的坐标是 .(1,?2)
9.在(a?b)n的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为128,则二项式系数的最大值
1 2______________________________________________________________
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5
为
(结果用数字作答).70
10.在△ABC中,若cos(A?2C?B)?sin(B?C?A)?2,且AB?2,则BC? .22 11.为强化安全意识,某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练,那么
2 512.已知k?Z,若曲线x2?y2?k2与曲线xy?k无交点,则k? .?1
13.已知点M(m,0)(m?0)和抛物线C:y2?4x,过C的焦点F的直线与C交于A、
?????????????????11B两点,若AF?2FB,且|MF|?|MA|,则m? .
2?????????????????abca?2b?3c?0ab??bc??c?ab14.若非零向量,,满足,且,则与c的夹角为 .
4选择的2天恰好为连续2天的概率是 (结果用最简分数表示).
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在
答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.已知复数z,“z?z?0”是“z为纯虚数”的 [答] ( B ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16.已知x?R,下列不等式中正确的是 [答] ( C ).
11 ?xx2311C.2 ?2x?1x?2A.
b满足的条件分别为 [答] ( A ).
11 ?22x?x?1x?x?111?2D. 2|x|x?1B.
17.已知P为直线y?kx?b上一动点,若点P与原点均在直线x?y?2?0的同侧,则k、
A.k?1,b?2 C.k?1,b?2
B.k?1,b?2 D.k?1,b?2
18.已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零.若线段l1,l2,l3,
l4的长分别为a1,a2,a3,a4,则 [答] ( C ).
A.对任意的d,均存在以l1,l2,l3为三边的三角形 B.对任意的d,均不存在以l1,l2,l3为三边的三角形 C.对任意的d,均存在以l2,l3,l4为三边的三角形 D.对任意的d,均不存在以l2,l3,l4为三边的三角形
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号
规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
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已知三棱柱ABC?A?B?C?的底面为直角三角形,两条直角边AC和BC的长分别为4和3,侧棱AA?的长为10.
(1)若侧棱AA?垂直于底面,求该三棱柱的表面积.
(2)若侧棱AA?与底面所成的角为60?,求该三棱柱的体积.
[解](1)因为侧棱AA??底面ABC,所以三棱柱的高h等于侧棱AA?的长, 而底面三角形ABC的面积S?A?C?B?1AC?BC?6,(2分) 2CHAB周长c?4?3?5?12,(4分)
于是三棱柱的表面积S全?ch?2S?ABC?132.(6分)
(2)如图,过A?作平面ABC的垂线,垂足为H,A?H为三棱柱的高.(8分)
因为侧棱AA?与底面所成的角为60?,所以?A?AH?60?,可计算得
??AA?H?Asin?6?053.(9分) 又底面三角形ABC的面积S?6,故三棱柱的体积V?S?A?H?6?53?303.(12分)
20.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分. 如图,已知点A是单位圆上一点,且位于第一象限,以x轴的正半轴为始边、OA为终边的角设为?,将OA绕坐标原点逆时针旋
yBAO?转至OB. 2 (1)用?表示A、B两点的坐标;
(2)M为x轴上异于O的点,若MA?MB,求点M横坐标的取值范围.
[解](1)由题设,A点坐标为(cos?,sin?),(2分)
1x?(k?Z).(3分) 2?????????因为?AOB?,所以B点坐标为?cos????,sin?????,即(?sin?,cos?).(5分)
2?2??2???????????(2)设M(m,0)(m?0),于是MA?(cos??m,sin?),MB?(?sin??m,cos?),
????????因为MA?MB,所以MA?MB?0,即(cos??m)(?sin??m)?sin?cos??0,(8分)
其中2k????2k?????整理得m2?m(cos??sin?)?0,由m?0,得m?cos??sin??2cos????,(10分)
4????????,且??2k??,于是2k??????2k??,且244442??2???????cos?????,且cos?????0. ???2k??(k?Z)得?4?24?242??因此,点M横坐标的取值范围为(?1,0)?(0,1).(12分)
此时2k????2k??
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 如图,某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF,E、
CFBE7
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OA F分别在AB、BC边上.OA?5米,OC?4米,?EOF? (1)试用解析式将y表示成x的函数;
?,设CF?x,AE?y. 4 (2)求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值.
yx,直角三角形COF中,tan?COF?. 54??正方形OABC中,由?EOF?,得?AOE??COF?,于是tan(?AOE??COF)?1,
445(4?x)代入并整理得y?.(4分)
4?x5(4?x)4因为0≤x≤5,0≤y≤4,所以0≤≤4,从而≤x≤4.(6分)
4?x95(4?x)4因此,y? (≤x≤4).
4?x911(2)S?SOABC?(S?OAE?S?OCF?S?EBF)?5?4?[5y?4x?(4?y)(5?x)]?(20?xy),(8
22[解](1)直角三角形AOE中,tan?AOE?分)
5(x2?16)5?325(4?x)???(x?4)??8?,(10分) 将y?代入上式,得S?2(x?4)2?x?4?4?x432当≤x≤4时,x?4? ≥82,当且仅当x?4(2?1)时,上式等号成立.(12分)9x?4因此,三角形池塘OEF面积的最小值为20(2?1)平方米,此时x?4(2?1)米.(14分)
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3
小题满分8分.
x2y2 已知椭圆?:2?2?1(a?b?0),过原点的两条直线l1和l2分别与?交于点A、
abB和C、D,得到平行四边形ACBD.
(1)当ACBD为正方形时,求该正方形的面积S.
(2)若直线l1和l2关于y轴对称,?上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2,当
2为定值时,求此时直线l1和l2的斜率及该定值. d12?d2 (3)当ACBD为菱形,且圆x2?y2?1内切于菱形ACBD时,求a,b满足的关系式. [解](1)因为ACBD为正方形,所以直线l1和l2的方程为y?x和y??x.(1分)
?y?x,?点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组?x2y2的实数解,
??1?2b2?aa2b222将y?x代入椭圆方程,解得x1?x2?2.
a?b2______________________________________________________________ 8 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家
4ab.(4分)
a2?b2(2)由题设,不妨设直线l1的方程为y?kx(k?0),于是直线l2的方程为y??kx.
根据对称性,可得正方形ACBD的面积S?4x12?22x0y0|kx0?y0||kx0?y0|设P(x0,y0),于是有2?2?1,又d1?,d2?,(6分)
22abk?1k?122222?(kx0?y0)2(kx0?y0)22k2x0?2y0x022?d?d???,将代入上式, y?b1??02?k2?1k2?1k2?1a??21222?x02kx?2b?1?2?a2?得d12?d2k2?12202?2b2?22?k?2?x0?2b2a??,(8分) k2?1b2b2对于任意x0?[?a,a],上式为定值,必有k?2?0,即k??,(9分)
aa2a2b2bb22因此,直线l1和l2的斜率分别为和?,此时d1?d2?2.(10分) 2a?baa22(3)设AC与圆x?y?1相切的切点坐标为(x0,y0),于是切线AC的方程为x0x?y0y?1.
?????x0x?y0y?1?点A、C的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组?x2y2的实数解.
??1?2b2?a① 当x0?0或y0?0时,ACBD均为正方形,椭圆均过点(1,1),于是有分)
11??1.(11a2b2x2y21② 当x0?0且y0?0时,将y?(1?x0x)代入2?2?1,
aby02a2(1?b2y0)整理得(by?ax)x?2x0ax?a(1?by)?0,于是x1x2?22,(13分) 2by0?a2x02202202222202b2(1?a2x0)同理可得y1y2?22.(15分) 2by0?a2x0????????因为ACBD为菱形,所以AO?CO,得AO?CO?0,即x1x2?y1y2?0,(16分)
22a2(1?b2y0)b2(1?a2x0)2222??0,整理得a2?b2?a2b2(x0于是22?y0),由x0?y0?1, 222222by0?ax0by0?ax0得a2?b2?a2b2,即
1111b.(18分)综上,,满足的关系式为a??1??1.
a2b2a2b223.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3
小题满分8分.
已知a1,a2,?,an是由n(n?N*)个整数1,2,?,n按任意次序排列而成的数列,数列{bn}满足bk?n?1?ak(k?1,2,?,n),c1,c2,?,cn是1,2,?,n按从大到小的顺序排列而成的数列,记Sn?c1?2c2???ncn.
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(1)证明:当n为正偶数时,不存在满足ak?bk(k?1,2,?,n)的数列{an}. (2)写出ck(k?1,2,?,n),并用含n的式子表示Sn.
(3)利用(1?b1)2?(2?b2)2???(n?bn)2≥0,
证明:b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)及a1?2a2???nan≥Sn. (参考:12?22???n2?n(n?1)(2n?1).)
[证明](1)若ak?bk(k?1,2,?,n),则有ak?n?1?ak,于是ak?当n为正偶数时,n?1为大于1的正奇数,故
1616n?1.(2分) 2n?1不为正整数, 2因为a1,a2,?,an均为正整数,所以不存在满足ak?bk(k?1,2,?,n)的数列{an}4分 [解](2)ck?n?(k?1)(k?1,2,?,n).(6分) 因为ck?(n?1)?k,于是
Sn?c1?2c2???ncn?[(n?1)?1]?2[(n?1)?2]???n[(n?1)?n]
111?(1?2???n)(n?1)?(12?22???n2)?n(n?1)2?n(n?1)(2n?1)?n(n?1)(n?2)266.(10分)
[证明](3)先证b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1).
16222222(1?b1)?(2?b2)???(n?bn)?(1?22???n2)?2(b1?2b2???nbn)?(b12?b2???bn) ①,
这里,bk?n?1?ak(k?1,2,?,n),因为a1,a2,?,an为从1到n按任意次序排列而
22成,所以b1,b2,?,bn为从1到n个整数的集合,从而b12?b2???bn=12?22???n2,(12分) 于是由①,得
0≤(1?b1)2?(2?b2)2???(n?bn)2?2(12?22???n2)?2(b1?2b2???nbn),
因此,b1?2b2???nbn≤12?22???n2,即b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1).(14分)
再证a1?2a2???nan≥Sn.
由bk?n?1?ak,得b1?2b2???nbn?(n?1?a1)?2(n?1?a2)???n(n?1?an)
16n(n?1)2?[1(n?1)?2(n?1)???n(n?1)]?(a1?2a2???nan)??(a1?2a2???nan)16
2分
1因为b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1),
62n(n?1)1?(a1?2a2???nan)≤n(n?1)(2n?1), 即
26n(n?1)21n(n?1)(n?2)?n(n?1)(2n?1)?所以a1?2a2???nan≥, 266即a1?2a2???nan≥Sn.(18分)
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