第六章 三角函数

第六章 三角函数

一、基础知识

定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=中r是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=

yrLr,其

,余弦函数cosα=

xr,正切函数tanα=

yx，余切函数cotα=

xy，正割函数secα=

rx,

余割函数cscα=

ry.

1cot?1csc?1sec?定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=商数关系：tanα=

sin?cos?,cot??cos?sin?,sinα=

，cosα=；

；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；

平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin??????????=cosα, cos????=sinα, ?2??2?tan????。 ???=cotα（奇变偶不变，符号看象限）

2??定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间

?3??????上为增函数，在区间2k??,2k????上为减函数，最小正周期为2k??,2k?????22?22???2?. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+值-1。对称性：直线x=k?+这里k∈Z.

- 1 -

?2时，y取最大值1，当且仅当x=3k?-

?2时, y取最小

?2均为其对称轴，点（k?, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。

定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点?k??????,0?均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取2?最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z. 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x?kπ+

?2)在开区间(kπ-?2?2, kπ+

?2)上为增函

数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α?β)=cosαcosβ?sinαsinβ,sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ; tan(α?β)=

(tan??tan?)(1?tan?tan?).

定理7 和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sin??????????????????????cos??,sinα-sinβ=2sin??cos??,

?2??2??2??2??????????????????????cos??, cosα-cosβ=-2sin??sin??,

?2??2??2??2?12cosα+cosβ=2cos?1212sinαcosβ=cosαcosβ=

[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],

12[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=

2tan?(1?tan?)2.

定理9 半角公式:sin?????=??2?????=??2?(1?cos?)2,cos?????=??2?(1?cos?)2,

tan?(1?cos?)(1?cos?)=

sin?(1?cos?)?(1?cos?)sin?.

[来源:Zxxk.Com]定理10 万能公式: sin?????2tan???2?2???1?tan???2?, cos??2???1?tan???2?2???1?tan???2?,

- 2 -

tan?????2tan???2?2???1?tan???2?.

定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a+b?0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=

222

ba?b2,cosβ=

aa?b22，对任意的角α.

asinα+bcosα=(a?b)sin(α+β).

asinA?bsinB?csinC22定理12 正弦定理：在任意△ABC中有其中a, b, c分别是角A，?2R，

B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。 定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+?)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的

1?，得到y=sin?x(??0)

的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?, ?>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移y=Asin?x的图象。 定义4 函数y=sinx??x?????????个单位得到

????2,?[-1, 1])，函数?的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈?2??????y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx??x???????2,???2??的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kx?arccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=

???2；arctana+arccota=

?2.

定理16 若x??0,

???，则sinx

2?- 3 -

二、方法与例题 1．结合图象解题。

例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。

例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若x???????，则cosx≤1且cosx>-1，所以cosx???,0， ,????2?2???所以sin(cosx) ≤0,又00， 所以cos(sinx)>sin(cosx). 若x??0,?????2??，则因为

sinx+cosx=

?2?2?2sinx?cosx???2?2??2(sinxcos

?4+sin

?4cosx)=2sin(x+

?4)≤2<

?2，

所以0

?2-cosx<

?2?2，

所以cos(sinx)>cos(

-cosx)=sin(cosx).

[来源学科网ZXXK]综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)

?

??cos???????2. ?sin????xx?cos?例3 已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：??2?sin?【证明】 若α+β>

cos?sin??2，则x>0，由α>

?2?2-β>0得cosα

cos?sin??2-β)=sinβ,

所以0<

<1，又sinα>sin(

x-β)=cosβ, 所以0<

0<1，

[来源学科网ZXXK]?cos?所以???sin???cos??cos??????????sin?????sin?x??cos???????2. ?sin????0

若α+β<

?2，则x<0，由0<α<

?2-β<

?2得cosα>cos(

?2-β)=sinβ>0,

所以

cos?sin?>1。又0

?2-β)=cosβ，所以

cos?sin?>1，

- 4 -

?cos?所以???sin???cos??cos???????????sin????sin?xx??cos???????2，得证。 ??sin???00注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。

例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+

?2时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,

所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2?sin(2cosπ)，所以T0=2π。4．三角最值问题。

例5 已知函数y=sinx+1?cos2x，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=2cos?,1?cos2x?2sin?????0?3??44??,

?则有y=2cos??2sin??2sin(???4).

因为

?4?0?34?，所以?2????4??，

所以0?sin(???4)≤1，

所以当??34?，即x=2kπ-

?2(k∈Z)时，ymin=0，

当???4，即x=2kπ+

?2(k∈Z)时，ymax=2.

【解法二】 因为y=sinx+1?cos2x?2(sin2x?1?cos2x),

=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），

且|sinx|≤1≤1?cos2x，所以0≤sinx+1?cos2x≤2， 所以当1?cos2x=sinx，即x=2kπ+?2(k∈Z)时, ymax=2，

当1?cos2x=-sinx，即x=2kπ-?2(k∈Z)时, ymin=0。

例6 设0

?2(1?cos?)的最大值。

【解】因为0

?2>0, cos

?2>0.

- 5 -

所以sin

?2（1+cos?）=2sin

?2·cos

2

?2=2?2sin2?2?cos2?2?cos2?2 ≤

??2sin2?????2?2?cos32?2?cos2??3?2?=???1627?439.

当且仅当2sin

2

?2=cos

2

?2, 即tan

?2=

22, ?=2arctan

22时，sin

?2(1+cos?)取得最大值

439。

例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。【解】 因为sinA+sinB=2sin

C??2sin2A?B2[来源:Zxxk.Com][来源学&科&网Z&X&X&K]cos

A?B2?2sinA?B2, ①

?3cossinC+sin

?3C?23?3?2sinC?2?3, ②

又因为sinA?B2C??sin2??2sinA?B?C?4?3cosA?B?C?4?3?2sin?3，③

由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin

?3?3≤4sin

?3,

所以sinA+sinB+sinC≤3sin

=

332,

当A=B=C=

?3时，（sinA+sinB+sinC）max=

332.

注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。 例8 求y?sinxcosx1?sinx?cosx的值域。

?4【解】 设t=sinx+cosx=2??4?2?2sinx?cosx???2?2??2sin(x?).

因为?1?sin(x?所以?2?t?)?1,

2.

又因为t2=1+2sinxcosx,

- 6 -

x?12所以sinxcosx=

t?122，所以y?21?t?t?12，

所以

?2?12?y?t?122?12.

[来源学科网]因为t?-1，所以??1，所以y?-1.

所以函数值域为y?????2?12?,?1???????1,??2?1??. 2?

例9 已知a0=1, an=

1?an?12?1an?1(n∈N+)，求证：an>

?2n?2.

【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈?0,?2????，则

2?an=

1?tanan?1?1tanan?1?secan?1?1tanan?1?1?cosan?1sinan?1?tannan?12?tanan.

1?1????因为，an∈?0,?，所以an=an?1，所以an=??a0.

22?2??2?an?1又因为a0=tana1=1，所以a0=又因为当0

?2?4，所以an??1????·。

4?2?n时，tanx>x，所以an?tan?2n?2??2n?2.

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当x∈?0,?????时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是

2?很容易的。

6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(?x+?)(A, ?, ?>0).

由y=sinx的图象向左平移?个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的

1?，得到y=Asin(?x+?)的图象；也可以由y=sinx的图象

1先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的

?，最

- 7 -

后向左平移

??个单位，得到y=Asin(?x+?)的图象。

例10 例10 已知f(x)=sin(?x+?)(?>0, 0≤?≤π)是R上的偶函数，其图象关于点

?3?????M?,0?对称，且在区间?0,?上是单调函数，求?和?的值。 ?4??2?【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(?+?)=sin(-?x+?)，所以cos?sinx=0，对任意x∈R成立。 又0≤?≤π，解得?=

?2，

因为f(x)图象关于M??3?33?,0?对称，所以f(??x)?f(??x)=0。

44?4?取x=0，得f(?)=0，所以sin?43?43?3??423??????0.2?

[来源学科网ZXXK]所以??k???2(k∈Z)，即?=(2k+1) (k∈Z). ?2又?>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+取k=1时，?=2，此时f(x)=sin(2x+取k=2时，?≥综上，?=

23103)在[0，

?2?2]上是减函数；

?2)在[0，?2]上是减函数； ?2，此时f(x)=sin(?x+

)在[0，]上不是单调函数，

或2。

7．三角公式的应用。 例11 已知sin(α-β)=

513，sin(α+β)=-

513，且α-β∈???3??α+β∈?求sin2α,cos2β,??，,2??，

?2??2???的值。

【解】 因为α-β∈???12?2. ,??，所以cos(α-β)=-1?sin(???)??13?2?又因为α+β∈??3?12?2. ,2??，所以cos(α+β)=1?sin(???)?13?2?120169所以sin2α=sin*(α+β)+(α-β)+=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=cos2β=cos*(α+β)-(α-β)+=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

,

- 8 -

例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且

1?1??2，试求

cosAcosCcosBcosA?C2的值。

【解】 因为A=1200

-C，所以cos

A?C2=cos(600

-C)，

又由于1?1?11cosAcosCcos(1200?C)?cosC?cos(1200?C)?cosCcosCcos(1200?C)

2cos600cos(600?C)600=

?C)1?2cos(?22，

0?cos(12002[cos120?2C)]cos(1200?2C)?1?2所以42cos2A?CA?C2?2cos2?32=0。

解得cosA?C2或2?2cosA?C2??328。

又cosA?C2>0，所以cosA?C22?2。

例13 求证：tan20?+4cos70?.

?【解】 tan20?+4cos70?=

sin20?cos20?+4sin20

??????sin20?4sin20cos20cos20??sin20?2sin40cos20?

20??sin40??sin40???40??sincos20??2sin30cos10?sincos20?

?sin80??sin40?2sin60?cos20?cos20??cos20??3.

- 9 -

三、基础训练题

1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。 2．适合

3．给出下列命题：（1）若α?β，则sinα?sinβ；（2）若sinα?sinβ,则α?β；（3）若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。

4．已知sinx+cosx=

5．简谐振动x1=Asin??t???151?cosx1?cosx?1?cosx1?cosx?-2cscx的角的集合为___________。

(x∈(0, π))，则cotx=___________。

??3??和x2=Bsin??t??????叠加后得到的合振动是x=___________。

6?

6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+?1)=5sin(x-?2)=5cos(x+?3)=5cos(x-?4)，则?1，?2，?3，?是第________象限角。

4

分别

- 10 -

7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。 8．已知32??x?2?，则

12?1122?12cosx=___________。

9．cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70?1?cos40?=___________。

10．cot15?cos25?cot35?cot85?=___________。

11．已知α,β∈(0, π), tan?12?2, sin(α+β)=

513，求cosβ的值。

12．已知函数f(x)=m?2sinx???cosx在区间?0,?2?上单调递减，试求实数m的取值范围。?

- 11 -

四、高考水平训练题

1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________.

2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.[来源:Zxxk.Com]

3. 函数y?2?sinx2?cosx的值域为__________.

4. 方程2sin??2x????6??lgx=0的实根个数为__________. ?

5. 若sina+cosa=tana, a???0,??，则

??2??3__________a（填大小关系）.

6. (1+tan1?)(1+tan2?)…(1+tan44?)(1+tan45?)=__________.[来源:Zxxk.Com]

- 12 -

7. 若0

8. sin7??cos15??sin8?cos7??sin15?sin8?=__________.

9. cos?511·cos

211?·cos

311?·cos

411?·cos

11?=__________.

10. cos271?+cos71?cos49?+cos2

49?=__________.

11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.

12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.

- 13 -

13. 已知f(x)=??1??2?????kAsin?x??53??(kA?0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若

A>0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、联赛一试水平训练题（一）

1．若x, y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________.

2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=3sin的取值范围是____________.

3．f(?)=5+8cos?+4cos2?+cos3?的最小值为____________.

?xk的一个最大值点与一个最小值点，则实数k

- 14 -

4．方程sinx+3cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.

5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.[来源学科网ZXXK]

6．设sina>0>cosa, 且sina3>cos

aa3，则

3的取值范围是____________.

7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.

8．若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.

9．若0

10．cot70?+4cos70?=____________.

- 15 -

?sinx?siny?a?11. 在方程组?cosx?cosy?b中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。

?cotx?coty?c?

12．已知α，β，γ??0,?????，且cosα+cosβ+cosγ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。 2?222

?xsin3??ysin??a?13．关于x, y的方程组?xsin3??ysin??a有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求

?xsin3??ysin??a?sinα+sinβ+sinγ的值。

[来源学科网]

14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y??0,?????.

2?

- 16 -

联赛一试水平训练题（二）

1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=a2?1的图象所围成的封闭图形的面积是__________.

2．若x?????5?12,???2?????，则y=tan?x?-tan?x??3?3?6????????+cos?x??的最大值是__________.

6???

3．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，则

4．设f(x)=x-πx, α=arcsin

2

cotCcotA?cotB=__________.

13, β=arctan

54, γ=arccos????1??5?, δ=arccot????, 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)3??4?从小到大排列为__________.

5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为__________.

- 17 -

6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则tanα·tanβ·tanγ=__________.

7．已知矩形的两边长分别为tan

?2[来源学科网]

和1+cos?(0

2

f(x)=sin?·x+43·x+cos?≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.

8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.

9．已知当x∈[0, 1]，不等式x2cos?-x(1-x)+(1-x)2sin?>0恒成立，则?的取值范围是__________.

10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.

11．已知a1, a2, …,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)++

12n?112cos(a2+x) +…

cos(an+x)。求证：若实数x1, x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ.

- 18 -

12．在△ABC中，已知

sinA?sinB?sinCcosA?cosB?cosC?3，求证：此三角形中有一个内角为

?3。

13．求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>

六、联赛二试水平训练题

8n5.

1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.

?11?1???n22. 已知a为锐角，n≥2, n∈N，求证：?+1. ?1???1?≥2-2nnsinacosa????n+

3. 设x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足x1=y1=3, xn+1=xn+1?xn, yn+1=2

2yn1?1?y2n，求证：

- 19 -

4．已知α，β，γ为锐角，且cosα+cosβ+cosγ=1，求证；

222

34π<α+β+γ<π.

???5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意??0,，恒有

?2???(x+3+2sin?cos?)+(x+asin?+asin?)2≥.

82

1

6. 设n, m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x??0,?????都有2|sinx-cosx|≤3|sinx-cosx|. 2?nnnn

7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。

- 20 -

8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2n

a, …中的每一项均为负数。

n9．已知?i???0,???，tan?1tan?2…tan?n=22, n∈N+

, 若对任意一组满足上述条件的?2??1，?2，…，?n都有cos?1+cos?2+…+cos?n≤λ，求λ的最小值。

- 21 -

8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2n

a, …中的每一项均为负数。

n9．已知?i???0,???，tan?1tan?2…tan?n=22, n∈N+

, 若对任意一组满足上述条件的?2??1，?2，…，?n都有cos?1+cos?2+…+cos?n≤λ，求λ的最小值。

- 21 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rurd.html