概率论期末试卷与答案（08年1月）

诚信应考，考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末试卷

《概率论与数理统计》试卷A卷

（2学分用）（注：此份试卷初认为是08年1月考，2006级）

注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；

2.可使用计算器，解答就答在试卷上； 3.考试形式：闭卷；

4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 评卷人

注：标准正态分布的分布函数值

?（1.0）=0.8413；?（2.33）=0.9901；?（2.5）=0.9938；?（2.42）=0.9922

一、选择题（每题3分，共15分） 1. 设X～N(u,σ

2),则概率P(X≤1+ u) （A. 随u的增大而增大 B. 随u的增加而减小

C. 随σ的增加而增加 D. 随σ的增加而减小

2. 设A、B是任意两事件，则P(A-B)= ( ) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB)

3. 设ξ是一个连续型变量，其概率密度为φ(x)，分布函数为F(x),则对于任意x值有（A. P(ξ=x)=0 B. F′(x)= φ(x) C. P(ξ=x)= φ(x) D. P(ξ=x)=F(x)

4. 对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)·E(Y),则 （A. D(XY)=D(X)·D(Y) B. D(X+Y)=D(X)+D(Y) C. X和Y独立 D. X和Y不独立

5. 设ξ的分布率为

ξ 0 1 2

P 0.25 0.35 0.4 而F(x)=P{ξ< x},则F(2)? ( ) A. 0.6 B. 0.35 C. 0.25 D. 0

1

）））

二、填空题（每空3分，共21分）

1. 某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.75，若果命中了就停止射击，否则就一直射

到子弹用尽。则耗用子弹数ξ的数学期望为________。

2. 已知DY=36，cov(X,Y)=12,相关系数rXY=0.4,则DX=________.

3. 三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为37/64，则每次试验

成功的概率为__________.

4. 设X～B(3,p),Y～B(4,p),且X、Y相互独立，则X+Y服从二项分布__________________.

5. 若X～U(0,5),方程x?2Xx?5X?4?0有实根的概率为__________. 6. 设3X?5～N(11, σ

22),且P{2

7. 相关系数是两个随机变量之间__________程度的一种度量。 三、（本题10分）设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1，0.2，0.3。从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求这件产品为正品的概率。若取出的产品为正品，则它是甲厂生产的概率是多少？ 四、（本题8分）离散型随机变量x的分布函数

?0,x??1?0.3,?1?x?1? ，求X的分布列及X的数学期望。 F(x)???0.8,1?x?3??1,x?3

五、（本题15分）设随机变量X的概率密度函数为

f(x)?1?|x|e,???x??? 2求：（1）X的概率分布函数； （2）X落在（-5，10）内的概率； （3）求X的方差。

2

六、（本题10分）设由2000台同类机床各自独立加工一件产品，每台机床生产的次品率均服从（0.005，0.035）上的均匀分布。问这批产品的平均次品率小于0.025的概率是多少？

x2y2七、（本题15分）设二维随机变量（X,Y）在区域：2?2?1上服从均匀分布。

ab（1）求（X,Y）的联合概率密度及边缘概率密度； （2）已知DX=25，DY=4,求参数a、b；

（3）判断随机变量X与Y是否相互独立？ 八、（本题6分）设随机变量X服从（0，1）上均匀分布，Y服从参数为λ=5的指数分布，且X,Y独立。求Z=min{X,Y}的分布函数与密度函数。

2006级概率论与数理统计试卷A卷参考答案

一、 1.D

注释：P(X?1?u)?P(X?u??1?u?u?1)=?()

?2.C

注释：参考课本第8页 3.A

注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A正确 ？B项是否正确 4.B

注释：参考课本86页 5.A 二、

1. 1.33(或者填

1359) 10242．25

注释：参考课本86页 3. 0.25

4. （X+Y）～B(7,p)

3

注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;

D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X、Y独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p)

设（X+Y）～B(n,P),则有?解得n=7,P=p 5. 2/5

?E(X+Y)=7p=nP

?D(X+Y)=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)15方程有实根，则必须满足??b2?4ac?(2X)2?4?1?(5X?4)?0,X的密度函数为f(x)?即X?1或者X?4.故方程有实根的概率P??6. 0.35

5112dx??dx?054551

由E(3X?5)?11得EX?2由D(3X?5)??得DX?2?2932?2X?24?2因P{2?X?4}?0.15,故P{??}?0.15,DX?????32所以?（）-?（0）?0.1533?所以?（）-?（323?2??）=0.3?22?2）=[1-?（）-?（）]/2P{X<0}=P{X?2??30?2?}??（?3??33______=[1-0.3]/2=0.35

?7. 相关 三、

33

设A=“取出的产品是正品”； B甲= 取出的产品是甲厂生产的” B乙= 取出的产品是乙厂生产的” B丙= 取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(AB甲)+P(AB乙)+P(AB丙) =0.5?0.9+0.3?0.8+0.2?0.7=0.83 P(B甲|A)?

P(AB甲)P(B甲)?P(A|B甲)0.5?0.9???0.54P(A)P(A)0.834

四、

??1__1___3?X??? ?0.3_0.5_0.2?EX?(?1)?0.3?1?0.5?3?0.2?0.8五、

?1xe____x?0??2(1)由题意f(x)???1e?x___x?0??2?1xe____x?0??2故F(x)???1?1e?x_x?0??211(2)P(?5?X?10)?（1?e?10)?(e?5)220+?1111??(3）EX=?x?exdx??x?e?xdx?[(x?1)ex]0?[(?x?1)e?x]0????02222_____?0+?1x1EX??x?edx??x2?e?xdx??02211??___?[x2ex?2xex?2ex]0?[?x2e?x?2xe?x?2e?x]0?2??22DX?EX2?(EX)2?2202

？六、

设Xi为第i台机床生产的次品率Xi?U(0.005,0.035)0.005?0.0351?0.02,DXi?(0.035?0.005)2?0.000075212a?b1（注：对于均匀分布Xi?U(a,b),有EXi?,DXi?(b?a)2)212EXi?设总次品率Y??Xii?12000

若要满足这批产品的平均次品率小于0.025，则Y?0.025?2000?50Y?2000?0.0250?2000?0.02P{Y?50}?P{?}??(25.8)2000?0.0000752000?0.000075？试卷中没有给出?(25.8)的值，且直观上感觉?(25.8)的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行

5

七、

(1)S椭圆??ab?1____?a?x?a,?b?y?b?故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=??ab??0_______其它?2________?a?x?a?X的边缘密度函数fX(x)???a??0__________其它?2?________?b?y?bY的边缘密度函数fY(y)???b??0__________其它ab22(2)EX??x?dx?0,EY??y?dy?0,?a?b?a?bab24a224b22222EX??x?dx?,EY??y?dy??a?b?a3??b3?4a24b22222DX?EX?(EX)??25,DY?EY?(EY)??43?3?53?解得a?，b?3?2(3)?a?x?a,?b?y?b时，221 fX(x)?fY(y)???，故X与Y不独立?a?b?ab八、

Z的分布函数F(z)=P{Z?z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)?P(Y>z)当z?0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0z)=?1dx?1?zz1___________P(Y>z)=?5e?5xdx?e?5z?e?5z1故F(z)?1?(1?z)?(e?5z?e?5)当z?1时，P(X>z)=0故F(z)?1?0?1?0__________________z?0?所以F(z)??1?(1?z)?(e?5z?e?5)__01??0_____________________z?0?f(z)??6e?5z?5ze?5z?e?5_______0?z?1?0_____________________z?1?

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