3.全概率公式和贝叶斯公式

3.全概率公式和贝叶斯公式

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》 第一章第§5的条件概率中的全概率公式和贝叶斯公式

【教材分析】：前面讲到的条件概率是概率论的基本概念，下一节的独立性和条件概率关系紧密，而乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是与条件概率有密切关系的公式，因此掌握此概念及计算公式为后续学习打下基础。 【学情分析】： 1、知识经验分析

前一节已经学习了条件概率和乘法公式，学生已经掌握了事件的概率的基本计算方法。

2、学习能力分析

学生虽然具备一定的基础知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能

掌握全概率公式和贝叶斯公式以及计算。 2、过程与方法

由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，应用实际问题逐步推导出全概率公式和贝叶斯公式。

3、情感态度与价值观

通过学习，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，树立学生善于创新的思维品质和严谨的科学态度。 【教学重点、难点】： 重点：掌握全概率公式和贝叶斯公式并会适当的应用。 难点：全概率公式和贝叶斯公式各自的适用条件及不同的情形。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入

引例：三个罐子分别编号为 1， 2， 3，1号装有 2 红 1 黑球 ， 2号装有 3 红 1 黑球，

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3号装有 2 红 2 黑球。某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。 解：记 Bi ={ 球取自i 号罐 } i=1， 2， 3； A ={ 取得红球 }，显然 A的发生总是伴随着 B1，B2，B3之一同时发生，即A?AB1+AB2?AB3，且AB1,AB2,AB3 两两互斥。

?P(A)?P(AB1)+P(AB2)?P(AB3)??P(Bi)P(A|Bi)P(A|B1)=2/3， P?AB2?i?133 4P?AB3??12 代入数据计算得：P?A??0.639

【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。

二、全概率公式

1、全概率公式： 定义

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若

n个事件

B1，B2......Bn

满足

?Bi?1ni?S，

BiBj??(i?j,i,j?1,2,?n)，则称 B1，B2......Bn 为 S的一个划分， 或称其是一

个完备事件组。

定理 设 B1，B2......Bn是 S 的一个划分，且 P?Bi??0,i?1,2,....n 则对任一事件

A?S，有P(A)??P(Bi)P(A|Bi)

i?1nB2B1?Bn?1BnB3

例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解： 设事件A 为“任取一件为次品”，

事件Bi为摂任取一件为i厂的产品,i?1,2,3.B1?B2?B3?S,BiBj??,i,j?1,2,3.由全概率公式得

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P(A)?P(AB1)P(B1)?P(AB2)P(B2)?P(AB3)P(B3). P(B1)?0.3,P(B2)?0.5,P(B3)?0.2,P(AB1)?0.02,P(AB2)?0.01,P(AB3)?0.01,故P(A)?P(AB1)P(B1)?P(AB2)P(B2)?P(AB3)P(B3)?0.02?0.3?0.01?0.5?0.01?0.2?0.013.

【设计意图】：通过这个例子，让学生感受全概率公式解决实际问题的重要性 。 三、贝叶斯公式

贝叶斯（Bayes）公式

P(BiA)?P(ABi)P(Bi)?P(AB)P(B)kkk?1n(i?1,2,?,n)其中B1，B2......Bn为样本空间S的一

个划分，且P?A??0,P?Bk??0,k?1,2,....n，

其中 P?Bk?,k?1,2,....n称为原因的先验概率， 它们是在没有进一步信息(不知道事件 A 是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。

当有了新的信息

(知道 A 发生了)，人们对诸事件发生可能性大小P(BiA)有了新的估计，故 P(BiA)称为原因的后验概率。

下面的图或许可以有助于我们理解这两个公式。

例3 三部自动的机器生产同样的零件， 其中机器甲生产的占40 % ，

机器乙生产的

占25 % ，机器丙生产的占35 % ， 已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有 10 %、5 % 和 1 % 不合格，现从总产品中随即地抽取一个零件， 发现是不合格品， 求： (1) 它是由机器甲生产出来的概率；

(2) 它是由哪一部机器生产出来的可能性大。

解： 设 B1，B2，B3分别表示事件： 任取的零件为甲、乙、丙机器生产， A ={抽取的零件是不合格品}， 由条件知

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P(B1)?0.40,P(B2)?0.25,P(B1)?0.35,P(A|B1)?0.10,P(A|B2)?0.05,P(A|B3)?0.01,

|)(1) 所求概率为 P(B1A， P(B1|A)?P(B1)P(A|B1)?P(B)P(A|B)? 0. 714 ；

jjj?13(2) 类似(1)的计算可得PB2A?0.223，PB3A?0.063 比较可知是机器甲生产出来的可能性大。

【设计意图】：通过这个例子，区分全概率和贝叶斯公式。 四、思考与提问： 全概率公式和贝叶斯的区别？

????五、内容小结 ：

1、全概率公式P(A)??P(Bi)P(A|Bi)

i?1nP(Bi)P(A|Bi)2、贝叶斯公式P(Bi|A)?n

?P(Bj)P(A|Bj)j?1六、课外作业：

P26： 20 ，22 ， 23， 24

七、板书设计

全概率公式和贝叶斯公式

一、问题引入

引例：三个罐子分别编号为 1， 2， 3，1号装有 2 红 1 黑球 ， 2号装有 3 红 1 黑球，

3号装有 2 红 2 黑球。某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。

?Bi?1ni?S，

BiBj??(i?j,i,j?1,2,?n)，则称

B1，B2......Bn 为 S的一个划分， 或称其

是一个完备事件组。

定理 设 B1，B2......Bn是 S 的一个划

二、全概率公式

1、全概率公式：

分，且 P?Bi??0,i?1,2,....n 则对任一事件A?S，有P(A)?定义3 若 n 个事件 B1，B2......Bn 满足

?P(B)P(A|B)

i?1iin 12

一个零件， 发现是不合格品， 求： (1) 它是由机器甲生产出来的概率；，

(2) 它是由哪一部机器生产出来的可能性大。

例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 三、贝叶斯公式

贝叶斯（Bayes）公式

P(BiA)?P(ABi)P(Bi)?P(AB)P(B)kkk?1n(i?1,2,?,n)其中B1，B2......Bn为样本空间S的一个划

分

，

且

P?A??0,P?Bk??0,k?1,2,....n，

其中 P?Bk?,k?1,2,....n称为原因的先验概率， 它们是在没有进一步信息(不知道事件 A 是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。当有了新的信息(知道 A 发生了)，人们对诸事件发生可能性大小

故 P(BiA)称P(BiA)有了新的估计，

为原因的后验概率。

下面的图或许可以有助于我们理解这两个公式。

例3 三部自动的机器生产同样的零件， 其中机器甲生产的占40 % ，机器乙生产的占25 % ，机器丙生产的占35 % ， 已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有 10 %、5 % 和 1 % 不合格， 现从总产品中随即地抽取

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