高数论文

函数的极值和最值及其应用

摘要：数学应用是数学教学的一个重要的任务。论文将通过函数极值和函

数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一 重要而且基础的函数性质， 并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着 密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。函数涉及的实际应用有： 1.极值理论在海事安全、保险业、金融风险管理等领域的应用。 2.最值在商业最大利润、税收额最大、最大期望、最优计划安排等问题中的 应用。在极值和最值的理论学习后，如何运用所学识解决实际问题应得到我们的重视。从而认识到极值最值在数学中的重要性及数学在生活中的必不可少性！

关键词：极值；最值；应用。

引言：作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的 应用。不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领 域中也是最富表现性和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用。许多实际问 题最终都归结为函数极值或最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建 模的形式，表示为函数形式。而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的 求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其 它学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。它为我们对于数学的进一步研究 起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要 的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要 的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进 而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！

函数极值的相关理论 函数极值的定义

设 函 数 f (x) 在x0 附 近 有 定 义 ， 如 果 对x0 附 近 的 所 有 的 点 ， 都 有f ( x ) < f (x0) ，则 f (x0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极大值。如果附近所有的点，都有f ( x ) > f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。 费马定理：可导的极值点一定是稳定点极值点一定是稳定点或不可导点。数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。 若函数 f 在点x0处可导，且x0 为 f 的极值点，则 f ′ (x0 ) = 0 .这就是说可导 函数在点取极值的必要条件是 f ′ (x0 ) = 0 . 极值的充分条件

定理 1（极值的第一充分条件） 设 f 在点x0 连续，在某邻域 U 0 (x0 ; δ ) 内可导. (1）若当 x ∈(x0－δ , x0 ) 时 f ′ (x0 ) ≤ 0 ，当 x ∈ (x0 , x0 + δ ) 时， 则 f 在点x0 取得极小值. （2）若当 x ∈(x0－δ , x0 ) 时 f ′ (x0 ) ≥ 0 ，当 x ∈ (x0 , x0 + δ ) 时， 则 f 在点 x0 取得 极大值.

定理2（极值的第二充分条件） 设 f 在x0 的 某 邻 域 U 0 (x0 ; δ ) 内 一 阶可导 ，在 x = x0处二 阶 可 导 ，且f ′ (x0 ) = 0, f ′′ (x0 ) ≠ 0 .（1）若 f ′′ (x0 ) < 0 ，则 f 在x0 取得极大值. （2）若 f ′′ (x0 ) > 0 ，则 f 在x0 取得极小值.

定理 3（极值的第三充分条件）设 f 在x0 的某个邻域内,存在直到 n－1 阶导函数，在x0处 n 阶可导，且,则f(k)( x0 ) = 0 ( k = 1, 2, … n ) , f ( n ) (x0 ) ≠ 0 .（1） n 为偶数时，f 在x0取得极值，当且当 f ( 时取极小值; （2）当 n 为奇数时，f 在x0处不取极值.f(x0 ) < 0 时取极大值，f ( n) (x0 ) > 0 函数极值的求解方法

函数极值的求解方法有很多，根据定义我们可以用导数法进行求解，但当函数较为复杂, 导数与驻点及不可导点不好求或函数较为复杂时，我们可以采用以下方法：

1、降元法（求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而

消去其他变 量，化为二元函数求解）。

2、转化法 （在函数极值法不易直接求解的情况下， 应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解）。 3、换元法 （换元法是把问题进行转化的一种常用方法）。

4、判别式法 （若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值）。 函数的最值

最大值：在 f ( x ) 的定义域 I 上，如果存在x0∈ I ，使得对任意 x ∈ I ，有： f (x0 ) > f ( x ) ，则称x0 是 f ( x ) 的最大值点， f (x0 ) 称作函数的最大值。 最小值：在 f ( x ) 的定义域 I 上，如果存在x0 ∈ I ，使得对任意 x ∈ I ，有：

f (x0 ) < f ( x ) ，则称x0 是 f ( x ) 的最小值点， f (x0 ) 称作函数的最小值。 函数与日常生活的联系

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。 定义在一个有界闭区域上的 每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值， 问题在于要确定它在哪些点处 达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。这里的首 要任务是求得一个内点成为一个极值点。 即在最值的求解中，我们可以先求得 函数在定义区间的极值和端点处得值，将所得数值进行比较，最大的为最大值， 最小的为最小值。简单说明，最大（小）值不一定是极大（小）值，因为定义区 间的端点为最值时， 此处导数不一定为零， 即不是极值。 同理定义区间的极大 （小） 值，也不一定是函数的最大（小）值，最大（小）值可能在端点处取得！但如果 区间内只有一个极值，那么这个极值一定是最值(最大值或最小值)。

最值和极值的联系与区别

（1）极值一定是函数在某个区间内的最值； （2）极值未必是最值；

（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。 根据极值最值的联系和区别，我们了解到，函数的极值和最值有着密不可分

的关系，下面就让我们继续展示函数极值和最值在实际生产生活中的具体应用，以及数学学习在科学发展和经济生活中是如何占据着重要的位置。 极值的应用 极值理论拯救生命

发生在 1953 年2月的海水倒灌灾难夺去了 1800 人的生命，毁坏了 4.7 万间 居民住宅。 此后，荷兰政府迫切需要修筑能保护该国数百年的新海防大堤。 而后，1600万荷兰居民得到了极值理论公式的保护。由于荷兰一半以上的国土位于海 平面之下，因此该国筑起一条条海堤加以防范。这些海堤根据极值理论的数学原 理设计，用来对付大自然可能发起的最恶劣挑战。科学家们分析了该国有关此类 极端事件的历史数据，得出了新建堤防 5 米高的标准。这时极值理论被用来确定，在不远的将来，再次发生灾难的机会微乎其微。极值理论还是新的海事安全建议中的核心内容。然而这些建议，旨在防止类 似 MVDerbyshire 货船沉没的悲剧重演。1981 年，MVDerbyshire 在日本以南海面 遭遇台风而沉没，船上 44 名船员全部遇难。2000 年，一份官方调查发现，这艘 船的前舱舱口盖在大浪的冲击下塌陷，导致海水涌入。这一调查结论清洗了船长 和船员的冤屈，他们曾因这一悲剧的发生而遭到指责。这一结论部分基于兰开斯特大学(LancasterUniversity) 乔纳森—陶恩(JonathanTawn)教授和珍妮特—赫弗南(JanetHeffernan)博士的研究结果。两位学者利用极值理论考察了船舶舱盖被足够狂暴的海浪冲击所打开的各种可能性。在与劳氏(Lloyd''sRegister)共同进行的研究中，上述两位学者还使用极值理论，说明除了在灾难发生后推荐增加防护层外，对类似 Derbyshire 那样大小的船舶而言，其舱盖强度应该再提高 35%。几个月后的 2001 年 12 月，大型散装货船克里斯多佛号(Christopher)在亚速尔群岛附近海面沉没，27 名船员遇难。最后时刻的无线电通讯报告显示，该船的前舱舱口盖已经被海浪冲垮。这是 Derbyshire 命运可怕的重复——可能这也正说明，若不遵照行事，即使是最成熟的理论也起不了保护作用。 最值的应用

解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数。把实际问题翻译为数学语言,找出问题的关键,根据题中所给条件之间的相互关系,把问题化为常规问 题。通过把主要关系近似化,形式化,抛开实际意义,抽象出一个数学模型,选择合

适的数学方法求解。 最大利润与最小成本问题

利润最大化与成本最小化是每一个生产企业孜孜以求的最高目标。 要实现这 一最高目标，首先要合理确定产品的产量，除了要考虑市场的需求外，还要考虑 到产品的市场价格因素，这就需要研究成本、收益、利润与产量之间的依赖变化 关系。一般地说，总成本包括两部分：固定成本与可变成本，其中固定成本与产量 无关，而可变成本与产量有关，它随产量的增加而增加。如果设总成本为 C，固定成本为 C0，可变成本为 C1，产量为 Q，那么，总成本函数可表示为：C（Q） =C0+C1(Q)。 设产品销售量等于产量 Q，产品价格为 P，则收益函数为： R(Q)=P(Q)

例如：某厂生产一批产品，其固定成本为 2000元，每生产 1 吨产品的成本例如为60元，市场对该产品的需求规律为 Q = 1000－10 P (其中 p 为价格，Q 为需求量)，求产量为多少时利润最大；最大利润时的价格又是多少？

因为总成本 C 是产量 Q 的函数，即C ( Q ) = 2000 + 60Q ，而销售总收益为：

QQ2R ( Q ) = PQ = [100－]Q= 100Q－于是总利润为 L ( Q ) = R ( Q ) － C ( Q )

1010Q2= ﹣+ 40Q－2000

1011令 L ′ ( Q ) = －Q + 40 = 0 , 得驻点 Q = 200, L ′′ ( Q ) = -< 0 ，所以 L ( 200 )

55= 2000 为极大值，也是最大值。即当生产量Q = 200 吨时总利润最大，此时最大利润是 2000 元。当产量 Q = 200 吨时，价格P = 100 －的价格是80元。 税收额最大问题

问题归结为求解使税收收益最大的税率 （税率收益是税率与实际的市场销售 量的乘积）。假设某地区经长时间征税试验，政府能够确定某产品市场的消费量 与有关税率之间的关系是t =

Q200=100－=80时10107-3x2 （1）

其中 t 表示产品的税率， x 表示市场消费的数量。由于税率等于 t ，所以政府

的收益 R 就应等于税率和市场消费数量的积，即 R = xt = x

27-3x2 （2）

其中 R 和 t 被假设为非负值， R 的定义域为 0 ≤ x ≤ 3 ，由于 x = 0 和 x = 3 时，

R 都等于零，所以 R 在 0 与 3 之间达到极大值。对（2）式求导数有 R ′ =

27-6x227-3x2=0

解得驻点 x = 4.5 = 2.12 ， 将它代人（2）式，即收益 R = 7.79 ， 再将 x =

4.5=2.12带入（1）式，求得税率t=3.67%。 所以当税率为3.67%时，政府可获得的最大收益为7.79

综上所述，提高生产和工作效率，使企业获得最佳产出的经济效益，达到收 入最大、成本最低或收益最高等，这无疑是企业决策者和管理人员们十分关心的 问题。解决这类问题的思路是：第一根据实际问题中的数量关系列出函数关系式 及求出函数的定义域；第二利用求函数极值和最值的方法求解。求解函数最值的 方法去解决。可见，函数最值的应用是如此之广，用处是如此之大！

结论：通过对函数极值和最值及其应用的学习， 我们知道了极值和最值在函数值的 计算上的重要性，及其函数极值和最值二者之间的区别和联系。通过学习我们也 了解到，函数极值定理应用也是其他学科的理论基础，将对其他学科的有关学习 和深入研究起着重要的意义。 我们可以通过极值的求解， 深入到最值的求解方法， 并且广泛推广，使得我们在对函数极值和最值的把握中能够更加得当，使极值和最值理论在生活中得到更充分的利用。 而且通过本文更是证明了数学是人类生产 生活必不可少的工具，它使我们的生活变得更快捷，更准确。

的收益 R 就应等于税率和市场消费数量的积，即 R = xt = x

27-3x2 （2）

其中 R 和 t 被假设为非负值， R 的定义域为 0 ≤ x ≤ 3 ，由于 x = 0 和 x = 3 时，

R 都等于零，所以 R 在 0 与 3 之间达到极大值。对（2）式求导数有 R ′ =

27-6x227-3x2=0

解得驻点 x = 4.5 = 2.12 ， 将它代人（2）式，即收益 R = 7.79 ， 再将 x =

4.5=2.12带入（1）式，求得税率t=3.67%。 所以当税率为3.67%时，政府可获得的最大收益为7.79

综上所述，提高生产和工作效率，使企业获得最佳产出的经济效益，达到收 入最大、成本最低或收益最高等，这无疑是企业决策者和管理人员们十分关心的 问题。解决这类问题的思路是：第一根据实际问题中的数量关系列出函数关系式 及求出函数的定义域；第二利用求函数极值和最值的方法求解。求解函数最值的 方法去解决。可见，函数最值的应用是如此之广，用处是如此之大！

结论：通过对函数极值和最值及其应用的学习， 我们知道了极值和最值在函数值的 计算上的重要性，及其函数极值和最值二者之间的区别和联系。通过学习我们也 了解到，函数极值定理应用也是其他学科的理论基础，将对其他学科的有关学习 和深入研究起着重要的意义。 我们可以通过极值的求解， 深入到最值的求解方法， 并且广泛推广，使得我们在对函数极值和最值的把握中能够更加得当，使极值和最值理论在生活中得到更充分的利用。 而且通过本文更是证明了数学是人类生产 生活必不可少的工具，它使我们的生活变得更快捷，更准确。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ru87.html