3.1.1《直线的倾斜角与斜率》课件(新人教A版必修2)

3.1.1《直线的倾斜 角与斜率》2015-1-9 1 1

教学目的 使学生掌握倾斜角和斜率的概念，理解倾 斜角和斜率之间的关系，掌握经过两点的 直线的斜率公式，并会应用公式解题。 教学重点：倾斜角和斜率的的意义，斜率 的公式及其应用。 教学难点：斜率意义的理解。

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问题引入在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何 表示呢？ 为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索 确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方 法把这些几何要素表示出来. y P(x,y) lO2015-1-9

x3 3

问题引入对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置由哪些条件确定？y l O

x

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问题引入我们知道，两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗？y

lO P

x

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问题引入过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢？ yl O

P

x

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问题引入容易看出，它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢？y l O

P

x

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直线的倾斜角当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination) .当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 0 . y l

直线的倾斜角 的取值范围为：

O

x

0 180 .

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直线的倾斜角直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角， 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角， 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. y l l 已知直线上的一个点不能 l 确定一条直线的位置；同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. O x 但是，直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.2015-1-9 9 9

确定直线的要素确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是： 直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者 缺一不可.y

lO P x

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问题引入日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

升高量 坡度(比) 前进量

升 高 量2015-1-9

前进量

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问题引入例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更

3 3 陡一些，因为坡度(比) . 2 2

升 高

升高量 坡度(比) 前进量

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前进

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直线的斜率如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

一条直线的倾斜角 的正切值叫做这 条直线的斜率(slope).通常用小写字母k表示，即

k t

an

( 90 )

倾斜角是90 的直线有斜率吗？ 倾斜角是90 的直线的斜率不存在.2015-1-9 13 13

直线的斜率如：倾斜角 45 时，直线的斜率 k tan 45 1. tan( 180 ) tan . 当 为锐角时， 如：倾斜角为 135 时，由

k tan 135 tan 45 1 即这条直线的斜率为 1.

倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾 斜角不同，直线的斜率也不同.因此，可以用斜 率表示直线的倾斜程度.2015-1-9 14 14

思考: 是否每条直线都有斜率?1. 如果倾斜角是锐角? 2. 如果倾斜角是直角? 3. 如果倾斜角是钝角?

k tan ak不存在

k tan tan(180 a) k 015 15

4. 如果倾斜角是零度角?2015-1-9

练习: 已知直线的倾斜角,求直线的斜率 1. a 30 2. a 45 3. 5. 7.2015-1-9

a 60

4.

a 90

a 120 a 150

6. 8.

a 135 a 0

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两点的斜率公式

已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.

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两点的斜率公式设直线P1 P2的倾斜角为α ( α ≠90° ),当直线P1 P2的 方向(即从P1指向P2的方向) 向上时，过点P1作 x 轴的平行 线，过点P2作 y 轴的平行线， 两线相交于点 Q,于是点Q的 坐标为( x2,y1 ).

当 为锐角时， QP 1P 2 , x1 x2 , y1 y2 . 在直角 P1 P2Q 中2015-1-9

| QP2 | y2 y1 tan tan QP1 P2 | P1Q | x2 x1

18 18

两点的斜率公式

180 QP1 P2 , x1 x2 , 当 为钝角时， y1 y2 . tan tan(180 ) tan

在直角 P1 P2Q 中

| QP2 | y2 y1 y2 y1 tan | P1Q | x1 x2 x2 x119 19

y2 y1 . 2015-1-9 tan x2 x1

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