北师大版八年级(下)数学知识点归纳总结

第一章 三角形的证明

第1节 等腰三角形

一、全等三角形的性质与判定

1、全等三角形的性质

定理1 全等三角形的对应边相等。

定理2 全等三角形的对应角相等。

推论1 全等三角形的面积相等。

推论2 全等三角形的周长相等。

2、全等三角形的判定

公理1 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）

公理2 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）

公理3 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）

定理1 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）

定理2 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL ）

二、等腰三角形的性质与判定

1、等腰三角形的性质

定理 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

推论1 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（三线合一） 推论2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。

【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，周长为C ，则2b ＜a ＜2C ④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C ，底角为∠A 、∠B ，则∠C ＝180°—2∠A ＝180°—2∠B ，∠A ＝∠B ＝2

180A ∠-? 2、等腰三角形的判定

定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

三、等边三角形的性质与判定

1、等边三角形的性质

定理1 等边三角形的三条边都相等。

定理2 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。

2、等边三角形的判定

定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

四、反证法

小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

小明是这样想的：

你能理解他的推理过程吗？

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法叫做反证法。

第2节直角三角形

一、直角三角形的性质与判定

1、直角三角形的性质

定理1：直角三角形的两个锐角互余。（角的特征）

定理2：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理）（边的特征）2、直角三角形的判定

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

定理1：有两个角互余的三角形是直角三角形。

定理2：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

二、已知一条直角边和斜边作直角三角形

1、尺规作图

已知：如图1-2-16所示，线段a，c（a＜c），直角α

求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c

作法：

2、直角三角形全等的判定

定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL）

三、互逆命题与互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。相对于逆命题来说，另一个命题就为原命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们称它们为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。相对于逆定理来说，另一个命题就为原定理。

第3节线段的垂直平分线

一、线段的垂直平分线

1、性质定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、三角形三条边的中垂线性质定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

二、已知底边及底边上的高作等腰三角形

已知：如图1-3-11（1）所示，线段a、h

求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h

作法：①作线段BC＝a；

②作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

③在MN上截取线段DA，使DA＝h；

④连接AB、AC，

则△ABC就是所求作的三角形（如图1-3-11（2）所示）

三、过一点作已知直线的垂线

1、过直线上一点作已知直线的垂线

已知：直线l 和l 上一点P ，

求作：直线l 的垂线，使它经过点P

作法：①以点P 为圆心，以任意长为半径作弧，交直

线l 于点A 和点B ；

②作线段AB 的垂直平分线MN ，则直线MN

垂直于直线l ，且经过点P 。（如图1-3-12所示）

2、过直线外一点作已知直线的垂线

已知：直线l 和直线l 外一点P

求作：直线l 的垂线，使它经过点P

作法：①任取一点K ，使点K 与点P 分居直线l 的两侧；

②以点P 为圆心，PK 长为半径作弧，交直线l 于点

A 和点

B ；

③作线段AB 的垂直平分线MN ，则直线MN 垂直

于直线l ，且经过点P 。（如图1-3-13所示）

第4节 角平分线

一、角平分线

1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2、判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3、三角形三个内角的平分线性质定理

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

【说明】列表比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理

已知：∠AOB

求作：射线OC ，使∠AOC ＝∠BOC

作法：①以点O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA

于点D，交OB于点E；

②分别以点D、E为圆心，以大于1

2

DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内

部交于点P；

③过点P作射线OC，则∠AOC＝∠BOC，即OC是∠AOB的平分线

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组

第1节不等关系

一、不等式的概念

一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。需要说明的是，用“≠”连接的式子也是不等式。

【说明】“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“≤”表示；“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号“≥”表示。

二、不等式的分类

1、绝对不等式：在任何条件下都成立的不等式。如5＞3，x2≥0，|y|＞－1等。

2、矛盾不等式：在任何条件下都不成立的不等式。如2＞3，a2＜0等。

3、条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式。如x—2＞0，当x＞2时不等式成

立；当x≤2时不等式不成立。

三、常见的不等式基本语言的含义

1、若x＞0，则x是正数

2、若x＜0，则x是负数

3、若x≥0，则x是非负数

4、若x≤0，则x是非正数

5、若x－y＞0，则x大于y

6、若x－y＜0，则x小于y

7、若x－y≥0，则x不小于y 8、若x－y≤0，则x不大于y

9、若x y＞0（或x

y

＞0），则x、y同号；10、若x y＜0（或

x

y

＜0），则x、y异号第2节不等式的基本性质

一、不等式的基本性质

1、文字叙述

不等式的基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

2、字母表示

不等式的基本性质1：如果a＞b，那么a±c＞b±c；如果a＜b，那么a±c＜b±c

不等式的基本性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，a

c

＞

b

c

如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc，a

c

＜

b

c

不等式的基本性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，a

c

＜

b

c

如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc，a

c

＞

b

c

二、不等式的其他性质

1、如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a（对称性）

2、如果a＞b，b＞c，那么a＞c；如果a＜b，b＜c，那么a＜c；（传递性）

3、如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；如果a＜b，c＜d，那么a＋c＜b＋d；

4、如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd；

5、如果a＜b＜0，c＞d＞0，那么ac＜bd；如果a＜b＜0，c＜d＜0，那么ac＞bd；

6、如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|；如果a＜b＜0，那么|a|＞|b|；

7、如果a＞b＞0，那么n a＞n b（n为正整数）；

8、如果a＜b＜0，那么n a＜n b（n为正奇数）；

如果a＜b＜0，那么n a＞n b（n为正偶数）；

三、不等式的三个基本性质与等式的两个基本性质比较

1、相同点：不管是等式还是不等式，在它们的两边都加（或减）同一个数或同一个整式，结果仍然成立。

2、不同点：对于等式来说，在等式的两边都乘（或除以）同一个正数（或负数），等式仍然成立；但对于不等式来说，在不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。

第3节不等式的解集

一、不等式的解

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。如，6是不等式x＞5的解，7，8，9，10也是不等式x＞5的解。

【说明】不等式的解可能是有限个，也可能是无限个，还可能不存在，即无解。例如，不等式2x≤0的解只有一个为x＝0，不等式x－2≥1的解有无数个，而不等式4x＜0无解。

二、不等式的解集

1、定义

一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。例如，不等式x＋1＞5的解集是x＞4，不等式2x＞0的解集是x≠0，不等式2x＜0的解集是空集。

2、表示方法

（1）用不等式表示

一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是某个范围，这个范围可以用一个简单的不等式x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）的形式表示出来。

（2）用数轴表示

①在数轴上表示不等式的解集的步骤

A、画数轴

B、定界点：若解集包含“界点”，则用实心圆点；若解集不包含“界点”，则用空心圆圈。

C、定方向：相对于“界点”而言，大于向右画，小于向左画。

②在数轴上表示不等式的解集的方法

三、解不等式

1、定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式。

2、主要依据：不等式的基本性质

第4节一元一次不等式

一、一元一次不等式的概念

不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

【说明】解一元一次不等式的注意事项

（1）去分母时，不等号两边各项都要乘各分母最小公倍数，不要漏乘不带分母的项。

（2）在步骤①和⑤中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变。

（3）在数轴上表示不等式的解集时，要注意不等号以及端点的情况。

第5节一元一次不等式与一次函数

一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的联系

从“数”的角度看，求一元一次方程kx＋b＝0的解，相当于一次函数y＝kx＋b，当y ＝0时，求自变量x的值；求一元一次不等式kx＋b＞0的解集，相当于一次函数y＝kx＋b，当y＞0时，求自变量x的取值范围；求一元一次不等式kx＋b＜0的解集，相当于一次函数y＝kx＋b，当y＜0时，求自变量x的取值范围。

从“形”的角度看，求一元一次方程kx＋b＝0的解，相当于确定直线y＝kx＋b与x 轴交点的横坐标；求一元一次不等式kx＋b＞0的解集，相当于确定直线y＝kx＋b在x轴上方时的自变量x的取值范围；求一元一次不等式kx＋b＜0的解集，相当于确定直线y＝kx ＋b在x轴下方时的自变量x的取值范围。

二、利用图象法解一元一次不等式

1、用图象法解不等式：－2x＋3＜3x－7

2、归纳总结

在同一直角坐标系画出一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象，交点的横坐标就是

一元一次方程的k1x＋b1＝k2x＋b2解；y1＞y2的部分所对应的自变量x的取值范围就是一元一次不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集；y1＜y2的部分所对应的自变量x的取值范围就是一元一次不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集。

三、一元一次不等式的应用

【例】我校打算在“五一”期间组织党员和教研组长到南戴河去旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠。如果你是校长，你会选择哪一家旅行社呢？

解：设此次参加旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，根据题意得

y1＝200×0.75x，即y1＝150x

y2＝200×0.8（x－1），即y2＝160x－160

当y1＝y2时，150x＝160x－160，解得x＝16；

当y1＞y2时，150x＞160x－160，解得x＜16；

当y1＜y2时，150x＜160x－160，解得x＞16。

因为参加旅游的人数为10～25人，所以

当x＝16时，甲乙两家旅行社的收费相同；

当10≤x≤15时，选择乙旅行社；

当17≤x≤25时，选择甲旅行社。

第6节一元一次不等式组

一、一元一次不等式组

一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组。【说明】（1）不等式组中的所有的不等式必须都是一元一次不等式。

（2）不等式组中的所有的一元一次不等式都只含有同一个未知数。

（3）不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上。

二、一元一次不等式组的解集

1、概念

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等组的解集。

2、表示方法

确定一个不等式组的解集的方法是先将几个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，然后再找出它们的公共部分。

三、解不等式组

1、概念

求解不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

2、例题

解：（1）解不等式①，得x＜2 （2）解不等式①，得x≥3

解不等式②，得x＞2 解不等式②，得x≤3

在同一条数轴上表示不等在同一条数轴上表示不等

式①②的解集为：式①②的解集为：

所以，原不等式组的解集无解。所以，原不等式组的解集为x＝3

四、一元一次不等式组的应用

【例】某高一新生中有若干住宿生，分若干间宿舍。若每间住4人，则有21人无处住；若每间住7人，则还有1间没住满。求住宿生的人数。

解：设有宿舍x间，则住宿生人数为（4x＋21）人，根据题意得

解这个不等式组，得7＜x＜

1 9 3

因为房间数只能取正整数，所以x只能取8或9

当x＝8时，4x＋21＝53；

当x＝9时，4x＋21＝57

答：住宿生的人数为53人或57人。

第三章图形的平移与旋转

第1节图形的平移

一、平移的相关概念

1、平移的定义

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2、平移的条件

（1）方向（任意方向）（2）距离

3、平移的实质

图形上的每一个点都沿着同一个方向移动了相同的距离。

4、平移的性质

平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小。这说明平移前后的两个图形是全等的，因此得到了如下性质：

（1）平移前后的两个图形对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

（2）平移前后的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。

（3）平移前后的两个图形对应角相等。

二、平移作图

1、平移作图的类型

（1）已知原图和一对对应点，作平移后的图形。

【例1】如图1所示，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D。

①指出平移方向和平移的距离。

②画出平移后的三角形。

解：①如图2所示，连接AD，平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD 的长度。

②如图2所示，过点B、C分别作线段BE、CF，使他们与线段AD平行且相等，连

接DE、DF、EF，则△DEF就是△ABC平移后的图形。

（2）已知原图和一对对应边，作平移后的图形。

【例2】如图1所示，经过平移，△ABC的边AB移到了EF，画出平移后的三角形。

解：如图2所示，连接AE、BF，过C点作线段CG∥BF，且CG＝BF，连接FG、EG，则△EFG就是△ABC平移后的图形。

（3）已知原图和平移方向、平移距离，作平移后的图形。

【例3】如图1所示，将△ABC按箭头所示方向平移4cm，画出平移后的图形。（保留作图痕迹，不必写作法）

解：如图2所示，△DEF就是△ABC平移后的图形。

2、平移作图的条件

（1）图形原来的位置 （2）平移的方向 （3）平移的距离

三、坐标系中的平移

1、一个图形沿x 轴方向平移或沿y 轴方向平移

【说明】左右平移纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移横坐标不变，纵坐标上加下减。 （

2）坐标的变化引起图形的变化

①纵坐标不变，横坐标分别增加（或减少）a 时，图形向右（或向左）平移a 个单位； ②横坐标不变，纵坐标分别增加（或减少）a 时，图形向上（或向下）平移a 个单位。 2、一个图形依次沿x 轴方向、y 轴方向平移 （1）图形的平移引起坐标的变化 【说明】一个图形依次沿x 轴方向、y 轴方向平移后所得的图形，可以看作是由原图形经过一次平移得到的。平移的距离等于向x 轴、y 轴平移距离的平方和的算术平方根。平移的方向是起始位置到终止位置时每对对应点的方向。

（2）坐标的变化引起图形的变化

①横坐标增加a ，纵坐标增加b 时，图形先向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位。 ②横坐标增加a ，纵坐标减少b 时，图形先向右平移a 个单位，再向下平移b 个单位。 ③横坐标减少a ，纵坐标增加b 时，图形先向左平移a 个单位，再向上平移b 个单位。 ④横坐标减少a ，纵坐标减少b 时，图形先向左平移a 个单位，再向下平移b 个单位。

第2节图形的旋转

一、旋转的相关概念

1、旋转的定义

在平面内，将一个图形绕着某一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转（rotation）。

2、旋转的三要素

（1）旋转中心：旋转时的定点称为旋转中心。

（2）旋转方向：顺时针、逆时针

（3）旋转角：转动的角称为旋转角。

【说明】①如图1所示，△ABO绕点O顺时针旋转得到△CDO，则：

点A的对应点是点C，点B的对应点是点D；

线段OA的对应线段是线段OC ；

线段OB的对应线段是线段OD；

线段AB的对应线段是线段CD ；

∠A的对应角是∠C ；∠B的对应角是∠D ；∠AOB的对应角是∠COD；

旋转中心是点O；旋转的角是∠AOC或∠BOD。

②如图2所示，△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，则：

点A的对应点是点D，

点B的对应点是点E；

点C的对应点是点F；

线段AB的对应线段是线段DE ；

线段BC的对应线段是线段EF；

线段AC的对应线段是线段DF ；

∠A的对应角是∠D ；

∠B的对应角是∠E ；

∠C的对应角是∠F；

旋转中心是点O；旋转的角是∠AOD或∠BOE或∠COF。

③旋转中心在旋转过程中保持不动，旋转中心可以在图形上，可以在图形外，还可

以在图形内。

④旋转角的角度范围为0°＜x＜360°。

3、旋转的实质

图形上的每一个点都绕着旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。

4、旋转的性质

旋转改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小，这说明旋转前后的两个图形是全等的，因此得到如下性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，它们都相等。

（3）对应线段相等，对应角相等。

二、旋转作图

1、旋转作图的类型

（1）已知原图、旋转中心和一对对应点，作旋转后的图形。

【例1】如图1所示，△ABC绕O点按逆时针方向旋转后，顶点A旋转到了点D，试确定旋转后的三角形。

【例2】如图1所示，△ABC绕O点按逆时针方向旋转后，AC边旋转到了DE的位置，试确定旋转后的三角形。

（3）已知原图、旋转中心、旋转方向和旋转角，作旋转后的图形。

【例3】已知如图1所示，△ABC和旋转中心O，请作出△ABC绕点O顺时针旋转60°后的三角形△A′B′C′

2、旋转作图的条件

（1）原图形的位置（2）旋转中心（3）旋转方向（4）旋转角度

三、钟表的旋转

1、秒针匀速旋转一周需要1分钟，恰好转过360°，即每分钟转过360°；

2、分钟匀速旋转一周需要60分钟，恰好转过360°，即每分钟转过6°；

3、时针匀速旋转一大格需要60分钟，恰好转过30°，即每分钟转过0.5°。

第3节中心对称

一、中心对称

1、中心对称的概念

如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做它们的对称中心。

【说明】中心对称是对两个图形来说的，它表示两个图形之间的对称关系。

2、中心对称的性质

因为成中心对称的两个图形能够重合，所以这两个图形是全等的，因此有如下性质：（1）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。（2）成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在一条直线上）且相等。

（3）成中心对称的两个图形中，对应角相等。

3、确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法

（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点即为对称中心。

（2）连接任意两对对称点，两条线段的交点即为对称中心。

二、中心对称图形

1、中心对称图形的概念

把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。

【说明】中心对称图形是对一个图形来的说的。

2、中心对称图形的性质

（1）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

（2）任何一条经过对称中心的直线都把一个中心对称图形分成全等的两部分。

3、作中心对称图形的步骤

（1）确定对称中心

（2）找出所给图形中的关键点

（3）作出这些关键点关于对称中心的对称点

（4）按原图顺序连接所作的对称点，完成中心对称图形。

三、旋转对称图形

1、旋转对称图形的概念

把一个图形绕着某个点旋转一定角度后，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形。这个点叫做它的对称中心。旋转的角度叫做旋转角。

【说明】（1）一个旋转对称图形旋转后与自身重合，旋转的角度不一定是唯一的。如圆绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合。

（2）旋转对称图形不一定是中心对称图形，但中心对称图形一定是旋转对称图形。

2、旋转对称图形的性质

（1）旋转对称图形上的每一对对应点到对称中心的距离都相等。

（2）任意相邻的对应点与对称中心所连线段的夹角都相等。

第4节简单的图案设计

一、欣赏图案

1、从美观的角度来欣赏

体会图形的艺术美及其蕴涵的设计意义。

2、从数学的角度观察与思考

把图案分解成一些简单的图案，如三角形、圆、线段、多边形等，再看它们经过怎样的图形变换可得到原图案。

【例1】欣赏图1中的图案，并分析这个图案形成的过程。

二、图案的设计

1、依据：轴对称、平移、旋转、中心对称

2、步骤

（1）整体构思

①图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致。

②确定整幅图案的形状和“基本图案”。

③构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成，再构思如何运用平移、旋

转、对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图。

（2）具体作图

根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案，有条件的可用几何画板或用专业的画图软件在电脑上绘制出满意的图案。

（3）对图案进行适当的修饰，如着色等。

【例2】如图2所示，用给定的几种图形设计图案。要求设计的图案至少要能体现平移、旋转或轴对称的关系，并简单说明图案所表示的含义。

解：如下图所示，①②③既体现平移关系，又能体现轴对称关系；④反映轴对称关系；⑤⑥体现的是旋转关系。

第四章因式分解

第1节因式分解

一、因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。

【说明】（1）因式分解的对象必须是多项式，即只有多项式才有可能因式分解。

（2）因式分解的结果要用几个整式的积的形式表示。如a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)

＋1是恒等变形，而不是因式分解。又如x2＋x＝x2(1＋1

x

)也不是因式分解，因为

1＋1

x

不是整式，而是分式。

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。如a4－b4＝(a2＋b2)(a2－b2)

就没分解完毕，因为a2－b2还能再分解，正确应为a4－b4＝(a2＋b2) (a＋b)(a－b) 二、因式分解与整式乘法的关系（互逆）

【说明】（1）积化和差是乘法，整式乘法是运算；和差化积是分解，因式分解非运算。

（2）利用整式乘法可以检验因式分解的结果是否正确。

第2节提公因式法

一、公因式

1、公因式的概念

多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

【说明】（1）公因式可以是数字，可以是字母，也可以是单项式和多项式。

（2）公因式与各项的符号没有关系。

2、公因式的确定

（1）确定公因式的数字因数。

当多项式各项系数是整数时，各项系数的最大公约数就是公因式的系数。

（2）确定公因式的字母及其指数。

公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数应取各项中最低的。

二、提公因式法

1、提公因式法的概念

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

2、提公因式法的步骤

（1）确定多项式各项的公因式。

（2）用多项式的各项分别去除以公因式，所得的商作为另一个因式的各项。

（3）把多项式写成公因式与另一个因式的积的形式。

【说明】①多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项。

②多项式的某项与公因式相同时，提公因式后该项保留因式是1而不是0。

3、提公因式法与单项式乘以多项式的关系

第3节公式法

一、公式法的概念

根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

二、因式分解中的公式内容

1、平方差公式

（1）字母表示：a2－b2＝(a＋b)(a－b)

（2）文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，

2、完全平方公式

（1）字母表示：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2a2±2ab＋b2＝(a±b)2

（2）文字表述：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

三、公式的运用

1、平方差公式：系数能开方，指数要成双，减号在中央

2、完全平方公式：首平方，尾平方，积的2倍加（减）在中央。

﹡第4节其他方法因式分解

一、分组法因式分解

【例1】a3＋3a2＋3a＋2

方法①：a3＋3a2＋3a＋2 方法②：a3＋3a2＋3a＋2

＝a3＋2a2＋a2＋2a＋a＋2 ＝a3＋2a2＋a2＋2a＋a＋2

＝a2(a＋2)＋a(a＋2)＋(a＋2) ＝(a3＋a2＋a)＋(2a2＋2a＋2)

＝(a＋2)(a2＋a＋1) ＝a(a2＋a＋1)＋2(a2＋a＋1)

＝(a＋2)(a2＋a＋1)

二、十字相乘法因式分解

【例2】①x2＋10x＋21 ②x2－5x＋6

＝(1×1) x2＋(3＋7)x＋3×7 ＝(1×1) x2＋[(－2)＋(－3)]x＋(－2)×(－3) ＝(x＋3)(x＋7) ＝(x－2)(x－3)

③m2＋5m－14 ④m2－4m－12

＝(1×1) m2＋(－2＋7)m＋(－2)×7 ＝(1×1) m2＋(－6＋2)m＋(－6)×2

＝(m－2)(m＋7) ＝(m－6)(m＋2)

三、换元法因式分解

【例3】(x2＋5x＋6)(x2＋7x＋6)－3x2

方法①：令x2＋5x＋6＝m，则方法②：令x2＋6＝m，则

原式＝m(m＋2x)－3x2 原式＝(m＋5x)(m＋7x)－3x2＝m2＋2mx－3x2 ＝m2＋12mx＋32x2

＝(m－x)( m＋3x) ＝(m＋4x)( m＋8x)

＝(x2＋5x＋6－x)( x2＋5x＋6＋3x) ＝(x2＋4x＋6)( x2＋8x＋6)

＝(x2＋4x＋6)( x2＋8x＋6)

四、配方法因式分解

【例4】①a5＋a＋1 ②m4＋4

＝a5－a2＋a2＋a＋1 ＝m4＋4＋4m2－4m2

＝a2(a3－1)＋(a2＋a＋1) ＝(m4＋4m2＋4)－4m2

＝a2(a－1)(a2＋a＋1)＋(a2＋a＋1) ＝(m2＋2)2－(2m)2

＝(a3－a2)(a2＋a＋1)＋(a2＋a＋1) ＝(m2＋2m＋2)(m2－2m＋2)

＝(a2＋a＋1)(a3－a2＋1)

【说明】①立方差公式：a3－b3＝(a－b) (a2＋ab＋b2)

②立方和公式：a3＋b3＝(a＋b) (a2－ab＋b2)

③完全立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3

五、拆项法因式分解

【例5】①x3＋9x2＋26x＋24 ②x3＋2x＋3

＝x3＋2x2＋7x2＋14x＋12x＋24 ＝x3－x＋3x＋3

＝(x3＋2x2)＋(7x2＋14x)＋(12x＋24) ＝(x3－x)＋(3x＋3)

＝x2(x＋2)＋7x(x＋2)＋12(x＋2) ＝x(x2－1)＋3(x＋1)

＝(x＋2)(x2＋7x＋12) ＝x (x－1)(x＋1)＋3(x＋1)

＝(x＋2)(x＋3)(x＋4) ＝(x2－x) (x＋1)＋3(x＋1)

＝(x＋1) (x2－x＋3)

第五章分式与分式方程

第1节认识分式

一、分式的概念

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成A

B

的形式。如果B中含有字母，那

么称A

B

为分式。其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

【说明】（1）分数线起到除号和括号的作用。

（2）对于任意一个分式，分母都不能为零。

（3）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母中必须要含有字母。

（4）π是常数不是字母，因此π

3是整式而不是分式。 （5）判断一个代数式是否为分式，不能把原式变形后再判断，必须依据原来的形式进行判断，如xy y

的分母中含有字母，我们认定它为分式，而不能看化简后的结果。 二、分式有、无意义及分式的值为0的条件

1、分式有意义的条件：分母不等于0

2、分式无意义的条件：分母等于0

3、分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0

三、分式的基本性质

1、内容：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

2、公式：(0)b b m m a a m ?=≠? (0)b b m m a a m

÷=≠÷ 【说明】m 可以是数字，可以是字母，也可以是单项式，还可以是多项式，只要不为0即可。

四、分式的约分

1、分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。

2、最简分式：当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式。

3、约分的要求：使结果成为最简分式或整式。

第2节 分式的乘除法

一、分式的乘法法则

1、文字表述

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

2、字母表示

b d bd a

c ac

?= 二、分式的乘方法则

1、文字表述

分式乘方要把分子、分母分别乘方。

2、字母表示

三、分式的除法法则

1、文字表述

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

2、字母表示

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