高中数学北师大版选修1-1第二章《抛物线》（第二课时）word教案

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抛物线的简单性质

教学目的：

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入： 抛物线的几何性质：

标准方程 图形 y顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 y2?2px ?p?0?lOFx?0,0? x轴 ?p??,0? ?2?x??p 2e?1 yy??2px ?p?0?2FOx?0,0? x轴 ?p???,0??2? x?p 2e?1 l x2?2py ?p?0? ?0,0? y轴 ?p??0,? ?2?y??p 2e?1 x2??2py ?p?0??0,0? y轴 p???0,?? 2??y?p 2e?1 名师精编 优秀教案

注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线 二、讲解新课：

1.抛物线的焦半径及其应用：

定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：

抛物线y2?2px(p?0)，PF?x0?pp??x0 22pp??x0 22抛物线y2??2px(p?0)，PF?x0?抛物线x2?2py(p?0)，PF?y0?pp??y0 22pp??y0 22抛物线x2??2py(p?0)，PF?y0?2．直线与抛物线： （1）位置关系：

相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于y?2px(p?0)

当直线为y?y0，即k?0，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点 2当k?0，设l:y?kx?b

22将l:y?kx?b代入C:Ax?Cy?Dx?Ey?F?0，消去y，得到

关于x的二次方程ax?bx?c?0 （*）

2若??0，相交；??0，相切；??0，相离 综上，得： 联立??y?kx?b2，得关于x的方程ax?bx?c?0 2?y?2px当a?0（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 名师精编 优秀教案

当a?0，则

若??0，两个公共点（交点） ??0，一个公共点（切点） ??0，无公共点 （相离） （2）相交弦长： 弦长公式：d??1?k2，其中a和?分别是ax2?bx?c?0（*）中二次项系数和判a别式，k为直线l:y?kx?b的斜率 当代入消元消掉的是y时，得到ay2?by?c?0，此时弦长公式相应的变为：

d??11?2 ak（3）焦点弦：

定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

焦点弦公式：设两交点A(x1,y1)B(x2,y2)，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 抛物线y2?2px(p?0)， AB?p?(x1?x2) 抛物线y2??2px(p?0)， AB?p?(x1?x2) 当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关： 抛物线x2?2py(p?0)， AB?p?(y1?y2) 抛物线x2??2py(p?0)，AB?p?(y1?y2) （4）通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：d?2p （5）若已知过焦点的直线倾斜角?

2pp??2p?y?k(x?)?y1?y2?22y?p?0??则?k 2?y?k22???y?2px?y1y2??p名师精编 优秀教案

12p4p22p2?AB?y?y? ?y1?y2??4p?1222sin?sin?sin?k（6）常用结论：

p?2pk2p2?y?k(x?)22222y?p?0和kx?(kp?2p)x??0 ?2?y?k42??y?2px?y1y2??p2和x1x2?3．抛物线的法线：

p 4过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：

经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图．

抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用．例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的

y平行于轴x切线O法线?x?2pt24．抛物线y?2px(p?0)的参数方程：?（t为参数）

?y?2pt 2三、讲解范例：

例 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y?2px(p?0)上，求这个正三角形的边长．

分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．

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解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则

y1?2px1，y2?2px2

又|OA|＝|OB|，所以 x1?y1?x2?y2

222222yAxO即 x1?2px1?x2?2px2

22B(x1?x2)?2p(x1?x2)?0 [(x1?x2)?2p](x1?x2)?0

∵ x1?0,x2?0,2p?0，∴ x1?x2． 由此可得|y1|?|y2|，即线段AB关于x轴对称． 因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以

22y13 ?tan300?x13所以y1?2px1?1?23p， |AB|?2y1?43p y1四、课堂练习：

1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y?2px?p?0?上，求这

2个正三角形的边长（答案：边长为43p）

2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y?2px?p?0?上，求正

2三角形外接圆的方程 分析：依题意可知圆心在x轴上，且过原点，故可设圆的方程为：x?y?Dx?0， 又∵ 圆过点A6p,23， ∴ 所求圆的方程为x2?y2?8px?0

3．已知?ABC的三个顶点是圆x?y?9x?0与抛物线y?2px?p?0?的交点，且

22222???ABC的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：y2?4x）

4．已知直角?OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线y?2px?p?0?上，（1）分

2别求A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O点在线段AB上的射影M的轨迹方程

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答案：（1）y1y2??4p2； x1x2?4p2 ；（2）直线AB过定点?2p,0? （3）点M的轨迹方程为?x?p??y2?p22?x?0? 5．已知直角?OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线y2?2px?p?0?上，原点在直线AB上的射影为D?2,1?，求抛物线的方程（答案：y?25x） 26．已知抛物线y2?2px?p?0?与直线y??x?1相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：y2?x）

7．已知直线y?x?b与抛物线y2?2px?p?0?相交于A、B两点，若OA?OB，（O为坐标原点）且S?AOB?25，求抛物线的方程（答案：y?2x）

28．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y?2x?1截得的弦长为15，求抛物线的方程（答案：y2?12x或y2??4x） 五、小结 ：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、测 试 题： 1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（ ）

2(A) x＝8y (B) x＝4y (C) x＝2y (D) x?2

2

2

2

1y 22．抛物线y＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）

3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为

4．抛物线y＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是

2

x2y2??1的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准5．以双曲线

169线得弦AB，求△OAB的面积． 测试题答案：

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1．A

2．D 3．x＝±8y 4．(x?2

32512)?y2?9 5． 225

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