电磁学习题和答案

第八章 静电场

?8.1 真空中有两个点电荷M、N，相互间作用力为F，当另一点电荷Q移近这两个点电荷时，M、N两点电荷之间的作用力 (A) 大小不变，方向改变． (B) 大小改变，方向不变．

(C) 大小和方向都不变． (D) 大小和方向都改． ［ C ］

8.2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：

? (A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．

? (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．

? (C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷． (D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零．

［ D ］

8.3有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为 (A) (C)

q3?0q3??0． (B) ． (D)

q4??0q6?0

［ D ］

a q a O a/2

8.4面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为 (A)

q2

?0Sq． (B)

22q22?0Sq2．

． ［ B ］

(C)

2?0S． (D)

?0S2

8.5一个带正电荷的质点，在电场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹如图所示．已知质点运动的速率是递增的，下面关于C点场强方向的四个图示中正确的是：［ D ］

8.6如图所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径的半圆弧，N点有正电荷＋q，M点有负电荷-q．今将一试验电荷＋q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功

(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 ,且为有限常量．

(C) A＝∞． (D) A＝0． ［ D ］

1

C-qMO+qNDP

8.7静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能． (B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．

(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［ C ］

8.8已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

(A) 电场强度EM＜EN． (B) 电势UM＜UN．

(C) 电势能WM＜WN． (D) 电场力的功A＞0．

［ C ］

-qMN

A

8.9 电荷为＋q和－2q的两个点电荷分别置于x＝1 m和x＝－1 m处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？

解：设试验电荷置于x处所受合力为零，即该点场强为零．

q?2q??0 2分 224??0?x?1?4??0?x?1?得 x2－6x+1=0, x?3?22 m 因x?3?2点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得

?? x?3?22 m 3分

8.10 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度．

qL P??x O

L dq (L+d－x) Ｐ d dE

x d

解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为?=q / L，在x处取一电荷元dq = ?dx = qdx / L，它在P点的场强：

dqqdx? dE? 2分 224??0?L?d?x?4??0L?L?d?x? 2

总场强为 E?q4??0L?L(L?d－x)0dx2?q4??0d?L?d? 3分

方向沿x轴，即杆的延长线方向．

8.11 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．

+Q y dq y R O －Q x ??d??R O ??x 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷 dq = ?dl = 2Qd? / ?。它在O处产生场强

dE?dq4??0R2

?Q2??0RQ22d?

按?角变化，将dE分解成二个分量：

dEx?dEsin??2??0RQ2??0R?2222sin?d? cos?d?

dEy??dEcos???对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

Ex?Q2??0R22??/2??sin?d???0??sin?d??＝0 ?/2????/2?Q Ey?cos?d??cos?d????22??22?2??0R?0??R0?/2??????Qj 所以 ： E?Exi?Eyj?22??0R?Q

8.12 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为?=?0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．

y dq y ??d??R ??O

R O ??x x

3

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷dq = ?dl = 2Qd? / ?，它在O处产生场强

dE?dq4π?0R2?Q2π?0RQ2??0RQ2222d? 2分

按?角变化，将dE分解成二个分量：

dEx?dEsin??2sin?d?

cos?d? 3分

dEy??dEcos???2??0R?2对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

Ex?Q2??0R?Q22??/2nd????si??0?si?nd??＝0 2分 ??/2????/2?Q Ey? 2分 cos?d??cos?d????22??22?2??0R?0??R0?/2??????Q所以 E?Exi?Eyj?2j 1分 2??0R

8.13 真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为a，其电荷线密度分别为－?和＋?．试求：

(1) 在两直线构成的平面上，两线间任一点的电场强度(选Ox轴如图所示，两线的中点为原点)． (2) 两带电直线上单位长度之间的相互吸引力．

12??E1a/2E2Ox?? aO????-a/2xE

解：(1) 一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离ｒ处的场强为： E=? / (2??0r) 2分

根据上式及场强叠加原理得两直线间的场强为

?????11?? ? E?E1?E2?aa2??0????????x???x????2????2?2a? ?， 方向沿x轴的负方向 3分 22??0?a?4x? (2) 两直线间单位长度的相互吸引力

2

F=?E=? / (2??0a) 2分

8.14如图所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．

4

dr ? O ?R E a O r

解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为

E=? / (2?0) 2分

以图中O点为圆心，取半径为r→r＋dr的环形面积，其电量为

dq = ?2?rdr 2分

它在距离平面为a的一点处产生的场强

?ardr dE? 2分

223/22?0?a?r?则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 E??a2?0R

?rdr0?a2?r2?3/2 ??1?2?0????aa?R22?? 2分 ??由题意,令E=? / (4?0)，得到R＝3a 2分

8.15真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1 m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为：

Ex=bx , Ey=0 , Ez=0．常量b＝1000 N/(C2m)．试求通过该高斯面的电通量．

y y a 1 E1 x 2 E2 O z a a a O a 2a x

解： 通过x＝a处平面1的电场强度通量：?1 = -E1 S1= -b a3 通过x = 2a处平面2的电场强度通量： ?2 = E2 S2 = ?b a3

其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为??=??1+??2 = ?b a3-b a3 = b a3 =1 N2m2/C

8.16图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： Ex＝bx，Ey＝0, Ez＝0． 高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C2m)．试求该

y 闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数?0＝8.85310-12 2-1-2C2N2m )

解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不 a 为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不O x 为零．由高斯定理得：-E1S1+ E2S2=Q / ?0 ( S1 = S2 =S ) 则 Q =??0S(E2- E1) =??0Sb(x2- x1) a a a z 23-12

= ?0ba(2a－a) =?0ba = 8.85310 C

?8.17实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100

?N/C；在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C．

? (1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均

5

? ????0?r1?r2? 3分

＝8.85310-9 C / m2 2分

U0?0r1?r2 (2) 设外球面上放电后电荷面密度为??，则应有

1????r1???r2?= 0 U0?0即 ????外球面上应变成带负电，共应放掉电荷

?r1?22?1? q??4?r2???????4?r2?? ??r2?? ?4??r2?r1?r2??4??0U0r2＝6.67310-9 C 3分

8.26一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d．接上电源后，A板电势UA=V，B板电势UB=0．现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极板的中间位置，如图所示,试求导体片C的电势．

A Ad/2 dd/2 q C B Vr1r2? 2分

d/2 E1 E1 E2 C E2 B d/2

解：未插导体片时，极板A、B间场强为：

E1=V / d 2分

插入带电荷q的导体片后，电荷q在C、B间产生的场强为：

E2=q / (2?0S) 2分

则C、B间合场强为： E＝E1＋E2＝(V / d)＋q / (2?0S) 2分

因而C板电势为： U＝Ed / 2＝[V＋qd / (2?0S)] / 2 2分

8.27如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

R ?? O dx O R r0 x r0+l

q x r0 l

解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dq???dx，该线

11

元在带电球面的电场中所受电场力为：

dF = q?dx / (4??0 x2) 3分

整个细线所受电场力为：

r?ldxq?q?l F???x24??r?r?l? 2分 4??0r00000方向沿x正方向．

电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

dW = (q?dx) / (4??0 x) 3分

整个线电荷在电场中具有电势能：

W?q?4??0?r0?lr0dxx??r0?lln?4??0??r0q??? 2分 ??

8.28一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5310-4 m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5310-3 m的同轴圆筒形阳极B，如图所示．阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e＝1.6310-19 C)

B A R1 R2 解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为?．按高斯定理有 2?rE = ?/ ?0

得到 E= ? / (2??0r) (R1＜r＜R2) 2分

方向沿半径指向轴线．两极之间电势差

B?RdrR2?????ln UA?UB??E?dr?? 2分 ?AR2??0R12??0r21得到

?2??0?UB?UAln?R2/R1?， 所以 E?UB?UAln?R2/R1?r1?1 2分

在阴极表面处电子受电场力的大小为

F?eE?R1??eUB?UAc?R2/R1?R1? 2分

＝4.37310-14 N 2分

方向沿半径指向阳极．

5.29 在强度的大小为E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)．槽的质量为M，一质量为m带有电荷＋q的小球从槽的顶点A处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求： (1) 小球由顶点A滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度； (2) 小球通过B点时，槽相对地面的速度；

(3) 小球通过B点后，能不能再上升到右端最高点C？

12

?E A m,q M B C ?E

解：设小球滑到B点时相对地的速度为v，槽相对地的速度为V．小球从A→B过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒，

mv＋MV＝0 ① 2分

对该系统，由动能定理 mgR－EqR＝①、②两式联立解出 v?12mv2＋

12MV2 ② 3分

2MR?mg?qEm?M?m?mvM? 2分

方向水平向右．

V????2mR?mg?qEM?M?m?? 1分

方向水平向左． 1分 小球通过B点后，可以到达C点． 1分

?8.30如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R>>电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功．

RA?pB

解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

??3 U?p?r/?4??0r? 2分 式中r为从电偶极子中心到场点的矢径．于是知A、B两点电势分别为

2 UA??p/?4??0R?

?2 UB?p/?4??0R? ?p?p?

q从A移到B电场力作功(与路径无关)为

2 A?q?UA?UB???qp/?2??0R? 3分

8.31已知某静电场的电势函数U??x?y分量值．

解：由场强与电势梯度的关系式得

Ex?? Ey?? Ez??

22??lnx (SI)．求点(4，3，0)处的电场强度各

?U?x?U=-1000 V/m 3分 ?0 1分

?0 1分

?y?U?z13

8.32如图所示，一半径为R的圆环，其上无规则地分布着电荷，已知总电荷为q．试求圆环轴线上距离圆心O为x的P点处的电场强度的x分量．

RO xqP x

解：在圆环上的电荷不论如何分布，所有电荷与P点距离均相同，故P点电势

q为 U? 3分 12224??0?R?x?则P点的场强的x分量为 Ex??dUdx?qx4??0?R?x22

?3/2 2分

8.33 “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为?，试求轴线上一点的电场强度．

解:设坐标系如图所示．将半圆柱面划分成许多窄条．dl宽的窄条的电荷线密度为

??dl?d? d???R?取?位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为

d?? dE??d? 22??0R2??0R如图所示. 它在x、y轴上的二个分量为： dEx=dE sin? , dEy=－dE cos? ???对各分量分别积分 Ex? sin?d??22?02??0R??0R Ey???2??02?R?0cos?d??0 2分

???场强 E?Exi?Eyj????0R2?i 1分

y dl R d? ??dEx ???dEy ??x dE

8.34一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： ??= ?0cos ???，式中??为半径R与x轴所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强．

14

z dE dEx O y R d? x O ?? x R dEy y ??

解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为

? = ?0cos? Rd?， 它在O点产生的场强为：

?0??cos?d? 3分 dE?2??02??0R它沿x、y轴上的二个分量为：

dEx=－dEcos? =? dEy=－dEsin? =

?02??02cos?d? 1分

?0sin?cos?d? 1分 2??02???20cos?d?＝0 2分 积分： Ex???02??02?0 Ey???2??02??00si?nd(s?i)n?0 2分

????∴ E?Exi??0i 1分

2?0

8.35一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为

??qrπR4 (r≤R) (q为一正的常量)

??= 0 (r>R)

试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势． 解：(1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为

2434

dq = ?dV = qr 4?rdr/(?R) = 4qrdr/R

则球体所带的总电荷为 Q?1?V?dV??4q/Rr14??r0rdr?q 3分

qr1443 (2) 在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有

4?rE1?21?024?qr?R40?4?rdr?2?0R

得 E1?qr14??0R? (r1≤R)，E1方向沿半径向外． 2分

2 在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有 4?r2E2?q/?0

15

-6-6-6

9.10三个电容器如图联接，其中C1 = 10310 F，C2 = 5310 F，C3 = 4310 F，当A、B间电压U =100 V时，试求：

(1) A、B之间的电容；

(2) 当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？

AUBC1C2C3

解：(1) C?(C1?C2)C3C1?C2?C3? 3.16310 F

-6

(2) C1上电压升到U = 100 V，电荷增加到Q1?C1U?1310-3 C

第十章 静电场中的电介质

?10.1 关于D的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ ? (A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零． ? (B) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷． ? (C) 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关．

(D) 以上说法都不正确． ［ C ］

10.2一导体球外充满相对介电常量为?r的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度?为

(A) ??0 E． (B) ??0 ??r E．

(C) ??r E． (D) (??0 ??r -???0)E． ［ B ］

10.3 一平行板电容器中充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化

电荷面密度为±?′，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：

???? (A) ． (B) ．

?0?0?r (C)

??2?0． (D)

???r． ［ A ］

10.4一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度

??为E0，电位移为D0，而当两极板间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质时，电场

??强度为E，电位移为D，则

???????? (A) E?E0/?r，D?D0． (B) E?E0，D??rD0．

????????(C) E?E0/?r，D?D0/?r． (D) E?E0，D?D0． ［ B ］

21

10.5如图所示, 一球形导体，带有电荷q，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将

(A) 增大． (B) 减小．

(C) 不变． (D) 如何变化无法确定． ［ B ］

q

10.6将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源．再将一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如图所示. 则由于介质板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：

(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关． (B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关． (C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关． (D) 储能增加，且与介质板相对极板的位置有关． ［ A ］

介质板

???10.7静电场中，关系式 D??0E?P

(A) 只适用于各向同性线性电介质． (B) 只适用于均匀电介质． (C) 适用于线性电介质．

(D) 适用于任何电介质． ［ D ］

10.8一半径为R的带电介质球体，相对介电常量为?r，电荷体密度分布? = k / r。 (k为已知常量)，试求球体内、外的电位移和场强分布．

解：取半径为r?→r?+dr?的薄壳层，其中包含电荷

2 dq??dV??k/r??4πr?dr??4πkr?dr?

?应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面．

球内： 4πrD1?4πk?r?dr??2πkr

02r2? D1 = k / 2 ，D1?D1rR? 为径向单位矢量) (r?? E1 = D1 / (?0?r) = k / (2??0?r)， E1?E1r220??? D2?kR/2r , D2?D2r ?22? E2?D2/?0?kR/?2?0r?，E2?E2r2球外： 4πrD2?4πk?r?dr??2πkR

?2?

10.9半径为R的介质球，相对介电常量为?r、其体电荷密度?＝?0(1－r / R)，式中?0为常量，

22

r是球心到球内某点的距离．试求：

(1) 介质球内的电位移和场强分布． (2) 在半径r多大处场强最大？

解：(1) 取半径为r?→r?＋dr?的薄壳层，其中包含电荷

dq??dV??0?1?r?/R?4?r?2dr??4??0?r?2?r?3/R?dr? ?应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面．

4?rD?4??0?则：

2?rr D??0??3?4R?2r04?r3?2r?3?r?r???dr??4??0?????4RR??3??? ??

???， D?Dr? ??2E?D/??0?r??????，E?Er? 为径向单位矢量 ?? ，r??0?r?34R???0?rrr????0

dr?0?r?32R?得 r = 2R / 3 且因d2E / d r2 <0， ∴ r = 2R / 3 处E最大．

10.10一平行板电容器，极板间距离为10 cm，其间有一半充以相对介电常量?r＝10的各向

(2) 对E(r)求极值

dE??0?1?同性均匀电介质，其余部分为空气，如图所示．当两极间电势差为100 V时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量. (真空介电常量?0＝8.85310-12 C22N-12m-2)

??r

????解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为D1、D2和E1、E2，则 U = E1d = E2d (1) D1 = ?0E1 (2)

D2 = ?0?rE2 (3) 联立解得 E1?E2?Ud?1000 V/m

?92 D1??0E1?8.85?10C/m ?82 D2??0?rE2?8.85?10C/m

方向均相同,由正极板垂直指向负极板．

+?E2?E1U -

10.11 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度?＝1.77310-6 C/m2．将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为?r＝8 的各向同性均匀电介质板．计算

???电介质中的电位移D．场强E和电极化强度P的大小．(真空介电常量?0＝8.85310-12 C2 / N2m2)

23

?解：由D的高斯定理求得电位移的大小为

-62

D = ??＝1.77310 C/m

???由D=?0?rE的关系式得到场强E的大小为

E?D?0?r＝2.53104 V/m

介质中的电极化强度的大小为

-62

P = ?0?eE = ?0 ( ?r?1 )E＝1.55310 C/m

10.12 一导体球带电荷Q＝1.0 C，放在相对介电常量为?r＝5 的无限大各向同性均匀电介质中．求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q'．

解：导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．在球表面外附近，以球半径R作

?一同心高斯球面．按D的高斯定理有 4?R2D = Q。得到电位移的大小为 D = Q / (4?R2) 该处的电场强度大小为 E = D / (?0?r)= Q / (4??0?r R2)

???1?Q电极化强度的大小为 P = ?0 (?r?1)E?r 24?rR极化电荷面密度为 ??= Pcos180°?分界面上的束缚电荷为 Q?= 4?R2???

?1??r?Q4??rR2

1??r?rQ＝－0.8 C

?10.13半径为R，厚度为h (<

?所示．求极化电荷在盘中心产生的电场强度E．

yRdqd?x h ?O P R OP?dE??

解：建坐标如图．

圆盘均匀极化，只有极化面电荷，盘边缘处极化电荷面密度为 ? = Pcos?

dq = Rd?2h2?＝RhPcos?d?

dE = (dq) / (4??0R2)

dEx = dEcos(?+?)，dEy = dEsin(?+?) 由极化电荷分布的对称性可知 Ey?∴ E?Ex??dEy= 0

RhP2?dEx???dq24??0R?E??cos???h4?0R4??0R?P

?2?0cos?d???2hP4?0R

10.14一各向同性均匀电介质球，半径为R，其相对介电常量为?r，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为??0．求球内的束缚电荷体密度???和球表面上的束缚电荷面密度?'．

24

rROr+dr??V

解：∵介质是球对称的，且?0均匀分布，∴ ?'，?' 也必为球对称分布．因而电场必为球对

?称分布．用D的高斯定理可求得

?????0??0rD D?， E??r

?0?r3?0?r3????? P??0?eE?e0r

3?r??22P?dS??P?4?r?dr?Pr?4?r?Sr?dr ???? ??24?r?dr?V?e?0??32?4??r?dr??e0r?4?r3?r3?r ?? 24?r?dr略去dr的高次项，则

??e?0???1??????r?0 (??与?0异号)

?r?r??PR????PR?n?

?e?03?rR???r?1??03?rR, ??与?0同号．

10.15如图所示，一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满介电常量按 ? = ?0 (1+

xd)规律变化的电介质．在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容．

S ?

解：设两极板上分别带自由电荷面密度±?，则介质中的电场强度分布为

??d? E? 1分 ??0?d?x?两极板之间的电势差为 U?O dx?d0Edx??d?0?ddxd?x0??d?0ln2 2分

该电容器的电容值为 C?

?SU??0Sdln2 2分

10.16如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，中间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．内、外筒分别带有等量异号电荷+Q和

25

-Q．设 (b- a) << a，L >> b，可以忽略边缘效应，求： (1) 圆柱形电容器的电容；

(2) 电容器贮存的能量．

ba

解：由题给条件 (b?a)??a和L??b，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两

筒之间的场强为： E?Q/(2??0?rLr) 3分

bL两筒间的电势差 U??2??aQdr?Lr0r?Q2??0?rLlnba 3分

电容器的电容 C?Q/U?(2??0?rL)/[ln(b/a)] 2分 电容器贮存的能量 W?12CU2?[Q/(4??0?rL)]ln(b/a) 2分

2

10.17如图所示，一空气平行板电容器，极板面积为S， 两极板之间距离为d，其中平行地放有一层厚度为t (t

S td

解：设极板上的自由电荷面密度为?．应用D的高斯定理可得两极板之间的电位移为 D = ?

由D~E关系知，空气中的电场强度为 E0 = ? / ?0

介质中的电场强度为 E = ? / (?0?r) 2分

两极板之间的电势差为

????d?t????rd??1??r?t? 2分 U = E0(d - t) + Et?t??0?0?r?0?r电容器的电容为 C?

?SU??0?rS?rd??1??r?t 1分

作法二： 看成二个电容串联，

?S??S C1?0， C2?0r 3分

d?tt?0?rSC1C2? C? 2分

C1?C2?rd??1??r?t

2

10.18 一平行板电容器的极板面积为S = 1 m，两极板夹着一块d = 5 mm厚的同样面积的玻璃板．已知玻璃的相对介电常量为?r = 5．电容器充电到电压U = 12 V以后切断电源．求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功．(真空介电常量??0 = 8.85310-12 C22N-12m-2 ) 解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功．抽出玻璃板前后的电容值 分别为 C?(?0?rS)/d，C??(?0S)/d 2分

26

撤电源后再抽玻璃板．板上电荷不变，但电压改变，即

Q?CU?C?U? ∴ U??(CU)/C???rU 2分

抽玻璃板前后电容器的能量分别为 W?1CU2?1(?0?rS/d)U ，

22 W??1C?U?2?1(?0?rS/d)U2 2分

22222外力作功 A?W??W?1(?0?rSU2/d)(?r?1) = 2.55310 J 2分

-6

10.19一空气平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，接到电源上以维持两极板间电势差U不变．今将两极板距离拉开到2d，试计算外力所作的功． 解：极板拉开前电容器的静电能量为 W1?极板拉开后的能量为 W2?121C1U2??0SU2d2

22分

1分 C2U?24d在电势差Ｕ不变下，极板上的电荷有变化，

?SU?SU?SU ?Q?Q2?Q1?C2U?C1U?0 ?0??02dd2d电荷变化过程电源作功A， A1?U?Q??2?0SU2分

?0SU22d在拉开极板过程中，外力作功A2与电源作功A1之和，应等于电容器静电能的增量，

A1+ A2 = ?W = W2 ?W1 1分

2分

所以 A2 = ?W - A1???0SU2/?4d???0SU2/?2d???0SU2/?4d? 2分

10.20一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．设极板之间电势差为U．试求在维持电势差U不变下将介质取出，外力需作功多少？

解：在两极板之间电势差U不变下，有介质时电容器中的电场能量为

W1?取出介质后的电场能量为 W2?121C1UC2U2??121?0?r?0UUd22S S

2分 2分

222d在两极板之间电势差U不变下，由于电容值改变，极板上电荷发生变化

S ?q = q2 ?q1 = C2U ?C1U??0?1??r?U 2分

dS2电源作功 A2?U?q??0?1??r?U 2分

d设外力作功为A1，则根据功能原理，

A1 +A2 = ?W = W2 ?W1 故外力作功

1S2 A1??W?A2???r?1??0U 2分

2d

27

第十一章 稳恒电流

11.1 室温下，铜导线内自由电子数密度为n = 8.531028 个/m3, 导线中电流密度的大小J =

62

2310 A/m，则电子定向漂移速率为：

(A) 1.5310-4 m/s． (B) 1.5310-2 m/s．

25

(C) 5.4310 m/s． (D) 1.1310 m/s． ［ A ］

-4

参考解：J = neu , u = J/ ne = 1.47310 m/s

11.2 在一个长直圆柱形导体外面套一个与它共轴的导体长圆筒，两导体的电导率可以认为是无限大．在圆柱与圆筒之间充满电导率为? 的均匀导电物质，当在圆柱与圆筒间加上一定电压时，在长度为l的一段导体上总的径向电流为I，如图所示．则在柱与筒之间与轴线的距离为r的点的电场强度为：

2?rII (A) 2． (B) ．

l?2?rl?(C)

Il2?r?2． (D)

I?2?rl． ［ B ］

参考解： J = ?E J = I / (2?rl) ∴ E = I / (2?rl?)

11.3 已知直径为0.02 m、长为 0.1 m的圆柱形导线中通有稳恒电流，在60秒钟内导线放

出的热量为 100 J．已知导线的电导率为 63107 ?-12m-1，则导线中的电场强度为： (A) 2.78310-13 V2m-1． (B) 10-13 V2m-1．

(C) 2.97310-2 V2m-1． (D) 3.18 V2m-1． ［ C ］

参考解： E?w??Q?rl?t??2?2.97?10?2 V2m-1

11.4 在如图所示的电路中，两电源的电动势分别为?1，?2，内阻分别为r1，r2．三个负载电阻阻值分别为R1，R2，R，电流分别为I1，I2，I3，方向如

图．则A到Ｂ的电势增量UB - UA为：

R I3 I2 I1 (A) ?2??1?I1R1?I2R2?I3R．

?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)?I3R． A R 1 ?1 ?2 R2 (C) ?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)．

(B) B (D) ?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)． ［ C ］

11.5在图示的电路中，电源的电动势分别为?1、?2和?3，内阻分别是r1、r2和r3，外电阻分

别为R1、R2和R3，电流分别为I1、I2和I3，方向如图．下列各式中正确的是 (A) ?3??1?I1(R1?r1)?I3(R3?r3)?0 (B) I1?I2?I3?0

28

(C) ?2??1?I1(R1?r2)?I2(R2?r2)?0

(D)

?2??3?I2(R2?r2)?I3(R3?r3)?0 ［ A ］

?1, r1 I1 R1 I2 ?2, r2 ?3, r3 R2 I3 R3 计算题

11.6在一由电动势恒定的直流电源供电的载流导线表面某处带有正电荷，已知其电荷面密度

?为??0，在该处导线表面内侧的电流密度为J，其方向沿导线表面切线方向，如图所示．导

?线的电导率为?，求在该处导线外侧的电场强度E．

??0?J

解：规定在导线内侧和导线外侧各物理量分别用角标1，2区分．由高斯定理可求得导线表面电场强度的垂直分量

Ey??0/?0 1分 由边界条件和欧姆定律可求得导线外侧电场强度的平行分量

Ex?J/? 2分 则导线外侧电场强度的大小

E2?E2y?E2x??0?202?J22? 1分

?Ey???1?0??0, ??tg 1分 E2的方向： tg??Ex?0J?0J

11.7在如图所示的电路中，两电源的电动势分别为?1 = 9 V和?2 = 7 V内阻分别为r1 = 3 ?和r2 = 1 ?，电阻R = 8 ?，求电阻R两端的电位差．

I1?1,r1?2,r2R?1,r1I2?2,r2RI3

解：设各支路的电流为I1、I2和I3，如图． 图1分

29

??1?I1r1?I3R?0 ① I1?I2?I3?0 ②

?2?I2r2?I3R?0 ③ 3分

由①、②、③三式联立解得：

?1r2??2r1 I3???0.343 A 3分

Rr1?r1r2?Rr2 U?|I3|R?2.74 V 1分

11.8在如图所示的电路中，已知，R1?R3?R4?R5?2?，R2?6?，?1?6V，。各电池的内阻均可忽略。求： ?2?2V，

1）、[4分]、当开关K打开时，求电路中B、C两点间的电位差UBC；

2）、[8分]、当开关K闭合后，若已知此时A、B两点的电位相等，求电阻R。

解：1）、开关打开时，闭和回路中的电流为：I??2R1?R2?R3?R4?16A，（顺时针流动）

在B、C两点间取一段电路，如下左图，根据一段含源电路的欧姆定律得：

UBC?VB?VC?I(R4?R2?R1)?(??1)?233V

2）、K闭和后，设三个支路中电流分别为I1，I2和I3，其参考方向如上右图表示。 因为A、B两点电势相等，则根据一段含源电路的欧姆定律得：

UAB??I1R2?I2R4?0, UAB?I1R1?I2R2?(?2)?0

30

代入数值后：6I1?2I2?0，2I1?2I2?2。解得I1??又因为：I2?I1?I3，所以：I3?2A 。

12A，I2?32A。

再根据一段含源电路的欧姆定律得：UDC?I1(R2?R1)?(??1)??4?6?2V 所以：R?UDCI3?1?

11.9利用下图所示电路可以测量待测电动势?x. 图中G为电流计，D为滑线变阻器，?0为工作电源的电动势且?0 > ?x．说明如何操作, 并需要知道什么数据才能得到测量结果.

C Rg r G I F M H E A I′ D I0 R0 ?0 B K ?x

答：调节滑线电阻的滑动头M，使电流计G指示为零、即达到I = 0． 2分 设这时FM间的电阻为Rx，则由含源电路欧姆定律得

?x = I0Rx

若I0和Rx已知，则由上式可确定待测电动势?x． 3分

31

代入数值后：6I1?2I2?0，2I1?2I2?2。解得I1??又因为：I2?I1?I3，所以：I3?2A 。

12A，I2?32A。

再根据一段含源电路的欧姆定律得：UDC?I1(R2?R1)?(??1)??4?6?2V 所以：R?UDCI3?1?

11.9利用下图所示电路可以测量待测电动势?x. 图中G为电流计，D为滑线变阻器，?0为工作电源的电动势且?0 > ?x．说明如何操作, 并需要知道什么数据才能得到测量结果.

C Rg r G I F M H E A I′ D I0 R0 ?0 B K ?x

答：调节滑线电阻的滑动头M，使电流计G指示为零、即达到I = 0． 2分 设这时FM间的电阻为Rx，则由含源电路欧姆定律得

?x = I0Rx

若I0和Rx已知，则由上式可确定待测电动势?x． 3分

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