圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散

第1页共4页圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散

引例1:设点B ,A 的坐标为()()0505,,-，

，直线BM ,AM 相交于点M ，且它们的斜率之积为9

4-，求点M 的轨迹方程。（人教A 版选修，12-第40页例3）拓展研究：动点M 与两定点()()00,a B ,,a A -连线斜率之积为()022

>>-b a a

b ，则动点M 的轨迹方程为_____________.

引例2:设ABC ?的两顶点B ,A 的坐标为()()0505,,-，

，且直线BC ,AC 的斜率之积为()0m m ≠，试探究顶点C 的轨迹方程。（人教A 版选修，12-第80页复习参考题第10题）变式探究：对m k k BC AC =?()0≠m 进行了探究，那么()，0≠=m m k k BC

AC ()，0≠=+m m k k BC AC ()

0≠=-m m k k BC AC 应用举例：

设点B ,A 的坐标为()()0101,,-，

，直线BM ,AM 相交于点M ，求满足下列条件点M 的轨迹方程。

第2页共4页⑴2=BM AM k k ⑵2=+BM AM k k ⑶2

=-BM AM k k 反馈练习：

1、已知椭圆C :12

22

=+y x ，点521,,,M M M 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则直线1021,,,AP AP AP 这10条直线的斜率乘积为（）

.A 161

-.B 321

-.C 641

.D 1024

1

-2、设双曲线116

92

2=-x y :C 与函数3x y =的图象相交于12,A A 两点，若点P 在双曲线C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]23--,，那么直线1PA 斜率的取值范围是.

3、在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 42

2=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于N ,M 两点,M 在x 轴的上方,直线AM 与圆O 的另一交点为P ,直线AN 与圆O 的另一交点为Q ,

⑴若AM AP 3=,求直线AM 的斜率;

第3页共4页⑵设AMN ?与APQ ?的面积分别为21S S ，,求2

1S S 的最大值.变式：在平面直角坐标系Oy x 中，已知圆:O 42

2=+y x ，椭圆1422=+y x C ：，A 为椭圆C 的右顶点,过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于C ,B 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中??

? ??-

056，D ．设直线AC ,AB 的斜率分别为21k ,k ．（1）求21k k ?的值；

（2）记直线BC ,PQ 的斜率分别为BC PQ k ,k ，是否存在常数λ，使得BC PQ k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；

（3）求证：直线AC 必过点Q

．

第4页共4页引例3：已知椭圆19

122

2=+y x ，点()12，P 为椭圆内一点，是否存在以点P 为中点的所在直线方程___________.

结论：

1、在椭圆()012222>>=+b a b

y a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦AB 所在直线斜率2020b x k a y =-；且22a

b k k OP AB -=?2、在双曲线()0012222>>=-b a b

y a x ，中,以00(,)P x y 为中点AB 的弦所在直线斜率2020b x k a y =；且22a

b k k OP AB =?3、在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0p

y k =.

1、已知椭圆C :()0122

22>>=+b a b y a x 的离心率为22，点()

22，在C 上，⑴求椭圆C 的方程；

⑵直线l 不经过原点O ，且不平行与坐标轴，l 与C 有两个交点B ,A ,线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值。

2、椭圆122=+by ax 与直线01=-+y x 相交于B ,A 两点，C 是AB 的中点，若22=\AB |,OC 的斜率为2

2，求椭圆方程。

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