高等数学复习题（含答案）

高等数学复习题与答案解析

一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续

1.求下列函数的定义域: (1) y=16?x+lnsinx ，(2)

2y=

x?arcsin(?1).

23?x21解 (1) 由所给函数知,要使函数y有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即

?16?x2?0,?4?x?4???sinx?0,2nπ?x?(2n?1)πn?0,?1,?2??? ? 推得?这两个不等式的公共解为 ?4?x??π 与0?x?π 所以函数的定义域为[?4,?π)?(0,π).

(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即

??? ??????3?x?3, 3?x?0, 推得??0?x?4,x?1?1,223?x?0,即 0?x?3, 因此，所给函数的定义域为 [0,3).

2.设f(x)的定义域为(0,1)，求f(tanx)的定义域. 解：令u?tanx, 则f(u)的定义域为u?(0,1)

??tanx?(0,1), ?x?（k?, k?+）, k ?Z,

4?? f(tanx)的定义域为 x?（k?, k?+）, k ?Z.

413.设f(x)=，求f[f(x)]，f?f[f(x)]?.

1?x111解：f[f(x)] == =1? (x?1,0),

x1?f(x)1?11?xf?f[f(x)]?=

1=

1?f[f(x)]111?(1?)x= x (x?0,1).

4.求下列极限：

x2?3x?24x4?3x3?1（1）lim, （2）lim,

x?1x??2x4?5x2?6x?1第1页

31?4(x?2)(x?1)xx 解：原式=lim 解: 原式=limx??x?156x?12?2?4xx4? =lim(x?2) =2.（抓大头）

x?1 = ?1.（恒等变换之后“能代就代”）

tanx32?x?2（3）lim, （4）lim, 3x?2x?02?xsinx解：原式=lim(2?x?2)(2?x?2)33 解：?x?0时tanx~x,

x?2(2?x)(2?x?2) =lim133 sinx~x,

x?22?x?21x3=. （恒等变换之后“能代就代”） ?原式=lim3=lim1=1.（等价）

x?0x?0x4 （5）lim(x??21sinx?) ， ?100), （6） lim(x?11?x21?xx 解：原式=lim212?(1?x)sinx ?lim100 解： 原式=lim(?)?lim22x?1x?1x??x??x1?x1?x1?x(1?x)11?lim?．

x?1(1?x)(1?x)x?11?x2 =0 + 100

= 100 （无穷小的性质） ?lim(7)lim5x?1x?2x??? ．

5?解 : 原式=limx???1x?5．（抓大头） 21?xx2?1（8）lim .

x?1x?12解：因为lim(x?1)?0 而lim(x?1)?0，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为

x?1x?1x2?1x?1x?1??． 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 limlim2?0，所以当x?1时，2x?1x?1x?1x?1x?1 （9）limxsinx1?x3x???．

第2页

解：不能直接运用极限运算法则，因为当x???时分子，极限不存在，但sinx是有界函数，即sinx?11而 limx1?x3x????limx1?1x3x????0，因此当x???时，

x1?x3为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍

为无穷小定理，即得 limx???xsinx1?x3?. 0（10）limcosx?cos3x ． 2x?0x解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限

sinxsin2x2sinxsin2x=（也可用洛必达法则） lim?lim(4?)?1?4?4．x?0x?0xx??2xx21x （11）lim(1?2).

x??x1x1x1x1?x?1?1解一 原式=lim(1?)(1?)?lim(1?)?lim[(1?)]=ee?1，

x??x?0x??xxxx原式=lim1(?x2)(?x)0]=e?1． 解二 原式=lim[(1?2)x??x（12）lim1tanx?sinx． 3x?0xtanx?sinxsinx(1?cosx)解 ：lim= lim33x?0x?0sinxxcosxsinx(1?cosx)1?lim??x?0xcosx x22sin2=limx?0x2x2

21?x?2x~??） ．= （?x?0,sin（等价替换）

2?2?25.求下列极限

（1）limx?0cosxln(x?3)xcotx?111lim （2） （3）lim[?2ln(1?x)]

x?0xx?3?ln(ex?e3)x2x1?cosx

x???x?0xx0解 ：（1）由于x?0时，xcotx??1，故原极限为型，用洛必达法则

tanx0xcotx?1xcosx?sinx所以 lim ?lim22x?0x?0xxsinx（4）lim?(nx?lnx) （5） lim第3页

?lim

x?0xcosx?sinxx3 （分母等价无穷小代换）

?limcosx?xsinx?cosx x?03x2?（2） 此极限为所以 lim?x?3?1sinx?1. lim?33x?0x?，可直接应用洛必达法则 ?cosxln(x?3)ln(x?3) = limcosx?limx3x3??x?3x?3ln(e?e)ln(e?e)1ex?e3 ?cos3?lim?x?lim?

x?3ex?3x?3?1x?cos3?lime?cos3 . 3?x?3e0?或型. 0?

（3） 所求极限为???型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成

11x?ln(1?x)lim[?2ln(1?x)]?lim?lim2x?0xx?0x?0xx ?lim1?11?x 2x1?x?111?lim?.

x?02x(1?x)x?02(1?x)2（4）所求极限为0??型，得

x?0lim?x?lnx?lim?x?0nlnxx?1n （

?型） ?1n =lim?x?01x1??1?xnn1=?lim?x?0nxx1???nlim?xx?01?0. n?型，用洛必达法则，得 ?x?cosx1?sinx不存在，因此洛必达法则失效！ lim?limx???x???x111?cosxx?cosx1x但 lim?lim?1?limcosx?1?0?1. x???x???x???x1x（5）此极限为

6.求下列函数的极限：

第4页

1??xsin?a,x?0,（1）lim2， （2）f?x??? 当a为何值时，f(x)在x?0的极限存在. xx?2x?42?,x?0,?1?xx?2解： (1)lim?x?2x?2x2?4?lim?x?22?x1??,

(x?2)(x?2)4x?2lim?x?2x2?4?lim?x?2x?21?,

(x?2)(x?2)4因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．

（2）由于函数在分段点x?0处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点x?0处的左极限与右极限．于是，有

11lim?f(x)?lim?(xsin?a)?lim?(xsin)?lim?a?a， x?0x?0x?0xxx?02 lim?f(x)?lim?(1?x)?1， x?0x?0为使limf(x)存在，必须有lim?f(x)=lim?f(x)，

x?0x?0x?0因此 ，当a=1 时， limf(x)存在且 limf(x)=1．

x?0x?0?x?7.讨论函数 f(x)??1xsin?x?,,

x?0x?0， 在点x?0处的连续性．

解：由于函数在分段点x?0处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点x?0处的左极限与右极限． 因而有lim?f(x)?lim?x?0,lim?f(x)?lim?xsinx?0x?0x?0x?01?0， x而f(0)?0,即

x?0?limf(x)?lim?f(x)?f(0)?0，

x?0由函数在一点连续的充要条件知f(x)在x?0处连续．

x2?18. 求函数f(x)?的间断点，并判断其类型：

(x?1)x解：由初等函数在其定义区间上连续知f(x)的间断点为x?0,x?1.

x?1?2而f(x)在x?1处无定义，故x?1为其可去间断点.

x?1x?1xx?1又?f(x)?lim?? ?x?0为f(x)的无穷间断点.

x?0x?limf(x)?lim综上得x?1为f(x)的可去间断点, x?0为f(x)的无穷间断点.

第5页

（二）一元函数微分学

1.判断：

（1）若曲线y=f(x)处处有切线，则y=f(x)必处处可导. 答：命题错误. 如：y?2x处处有切线，但在x?0处不可导. （2）若lim2x?af(x)?f(a)，试判断下列命题是否正确. ?A（A为常数）

x?a①f(x)在点x?a 处可导, ②f(x)在点x?a 处连续, ③f(x)?f(a)= A(x?a)?o(x?a). 答：命题①、②、③全正确.

(3)若f(x)，g(x)在点x0处都不可导，则f(x)?g(x)点x0处也一定不可导. 答：命题不成立.

如：f(x)=??0,x?0,?x,x?0, g(x)=?

?x,x?0,?0,x?0,f(x)，g(x)在x = 0 处均不可导，但其和函数f(x)+g(x)= x 在x= 0 处可导.

（4）若f(x)在点x0处可导，g(x)在点x0处不可导，则f(x)+g(x)在点x0处一定不可导. 答：命题成立.

原因：若f(x)+g(x)在x0处可导，由f(x)在x0处点可导知g(x)=[f(x)+g(x)]?f(x)在x0点处也可导，矛盾.

（5）f'(x0)与[f(x0)]'有区别. 答：命题成立.

因为f'(x0)表示f(x)在x?x0处的导数; [f(x0)]'表示对f(x)在x?x0处的函数值求导，且结果为0. （6）设y?f(x)在点x0的某邻域有定义，且f(x0??x)?f(x0)=a?x?b(?x)，其中a,b为常数，下列命题哪个正确？

①f?x?在点x0处可导，且f??x0??a,②f?x?在点x0处可微，且df?x?|x?x0?adx, ③f?x0??x??f?x0??a?x （ |?x|很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.

2πsin(?x)?122.已知(sinx)'?cosx，利用导数定义求极限lim.

x?0xπsin(?x)?12解：lim

x?0x第6页

π?sin(?x)?sin22 =limx?0x=(sinx)'|x?π2= cosπ=0. 2x?0x?0 ，的导数.

3.求 f(x)???ln?1?x?，，?x

解： 当x?0时，f?(x)?1 ， 1?x当x?0时，f?(x)?1，

当x?0时，f?(0)?lim所以 f??(0)?lim?x?0x?0f(x)?f(0)f(x)?f(0)， ?limx?0x?0xx?0?1， x1ln(1?x)?0f??(0)?lim??lim?ln(1?x)x?lne?1，

x?0x?0x因此 f?(0)?1，

?1?于是 f?(x)??1?x??1,,

x?0,x?0.

4.设f(x)?ln(1?x),y?f(f(x))，求解：y?f(f(x))?ln[1?ln(1?x)],

dy dx?dy11. ??[1?ln(1?x)]'?[1?ln(1?x)](1?x)dx1?ln(1?x)x?lnx2?y2,求y??. y5.已知 arctan解：两端对x求导，得

1x?()??xy1?()2y1x?y221x2?y2(x2?y2)?，

y2y?xy???222x?yy?2x?2y?y?2x?y22，

第7页

整理得 (y?x)y??y?x ，故 y??上式两端再对x求导，得

y?x， y?xy???(y??1)(y?x)?(y??1)(y?x)(y?x)2

yy??y?xy??x?yy??xy??y?x?(y?x)2=

2xy??2y，

(y?x)2将 y??y?x代入上式，得 y?x2x?y?x?2y2xy?2x2?2y2?2xy2(x2?y2)y?x???.

(x?y)3(y?x)3(y?x)223y???6.求y= ??(x?1)(x?2)(x?3)?dy的导数 ?3dxx?(x?4)??2[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?3lnx?ln(x?4)], 3解：两边取对数：

lny=

两边关于x求导：

1211131?y'?[????], y3x?1x?2x?3xx?4?

dy211131?y(????). dx3x?1x?2x?3xx?4xe7.设f(x)?x，求f'(x).

x解：令y?x, 两边取对数得：lny?elnx,

ex两边关于x求导数得：

1exx ?y'?e?lnx?

yxexy'?y(elnx?)

xxex). 即 y'?x(elnx?xexx第8页

dyd2y8.设y?f(u),u?sinx,求和2.

dxdx2解：

dy2=f?(u)?2x?cosx, dxd2y222222???=f(u)?4x(cosx)?f(u)(2cosx?4xsinx). 2dx9.y?x?e, 求y3x4x(4).

2xx(4)解：y??4x?e, y???12x?e,y????24x?e, y?24?ex.

?x?t?cost，d2y10.设? 求 . 2y?sint，dx?dy(sint)?cost??解： ， dx(t?cost)?1?sintd2ydy?dcostdcostdtcost?1 ??()?()??()2dxdxdxdx1?sintdt1?sintdx1?sintdt?sint(1?sint)?cos2t1?1???. 22(1?sint)1?sint(1?sint)?x?t,11.求曲线?在点（1，1）处切线的斜率. 3y?t,?解：由题意知：

?1?t,?t?1, ?31?t,?dy?

dxt?1(t3)??(t)?t?1?3t2t?1?3,

?曲线在点（1，1）处切线的斜率为3

12. 求函数y?xelntanx的微分.

解一 用微分的定义dy?f?(x)dx求微分， 有

dy?(xelntanx)?dx?[elntanx?xelntanx?elntanx(1?2x)dx. sin2x1?sec2x]dx tanx 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得

第9页

dy?d(xelntanx)?elntanxdx?xdelntanx

?elntanxdx?xelntanxd(lntanx)

?elntanxdx?xelntanx??elntanxdx?xelntanx?elntanx(1?1d(tanx) tanx11?dx tanxcos2x2x)dx. sin2xx13.试证当x?1时，e?ex.

证明：令f(x)?e?ex，易见f(x)在(??,??)内连续，且f(1)?0f?(x)?e?e.

x当x?1时，f?(x)?e?e?0可知f(x)为(??,1]上的严格单调减少函数，即

xxf(x)?f(1)?0.

当x?1时，f?(x)?e?e?0，可知f(x)为[1,??)上的严格单调增加函数， 即f(x)?f(1)?0.

故对任意 x?1,有f(x)?0,即 e?ex?0. e?ex.

xxxx414.求函数y??x3的单调性与极值.

4解：函数的定义域为(??,??).

y??x?3x?x(x?3)， 令 y??0,驻点 x1?0,x2?3 列表

322x y? (??,0) ? 0 0 (0,3) ? 3 0 极小 (3,??) + y 由上表知，单调减区间为(??,3)，单调增区间为(3,??)，极小值 y(3)??求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中

27 4y???3x2?6x,y??x?0?0 不能确定x?0处是否取极值， y??x?3?9?0,得y(3)??27是极小值. 4第10页

215.求f(x)?x+3x在闭区间??5,5?上的极大值与极小值，最大值与最小值.

32解：f?(x)?3x?6x, 令f?(x)?0, 得x1?0,x2??2,

f??(x)?6x?6, f??(0)?6?0, f??(?2)??6?0,

∴f(x)的极大值为f(?2)?4，极小值为f(0)?0. ∵f(?5)??50, f(5)?200.

∴ 比较f(?5),f(?2),f(0),f(5)的大小可知：

f(x)最大值为200， 最小值为?50.

16.求曲线y?10?5x?2103x的凹凸区间与拐点. 3解：函数的定义域为???,???,

y??10x?10x, y???10?20x,

令y???0, 得x??用x??21, 2111把???,???分成(??,?)，(?,??)两部分. 22211当x?(??,?)时，y???0, 当x?(?,??)时，y???0,

2211165 ?曲线的凹区间为(?,??),凸区间为(??,?), 拐点为(?,).

2622

17.求函数y?ln(1?x)的凹向及拐点. 解：函数的定义域 (??,??)，

22(1?x2)?2x?2x2(1?x2)2x? y??， , y???2(1?x2)2(1?x2)21?x 令 y???0,得y??1， 列表

x y?? (??,?1) ? ?1 0 拐点 (?1,1) + 1 0 拐点 (1,??) ? y ? ? ? 第11页

由此可知，上凹区间(?1,1),下凹区间(??,?1)?(1,??)，曲线的拐点是(?1,ln2). 的渐近线.

18.求下列曲线的渐近线

x?3x2?2x?2lnx（1）y? ，（2）y? ，（3）y?.

????x?1x?2x?1x解 （1）所给函数的定义域为(0,??).

1lnx由于 lim?limx?0，

x???xx???1lnx可知 y?0为 所给曲线y?的水平渐近线.

xlnx由于 lim????，

x?0xlnx可知 x?0为曲线y?的铅直渐近线.

x（2） 所给函数的定义域(??,1),(1,??).

x2?2x?2x2?2x?2由于 lim?f(x)?lim????， lim?f(x)?lim????，

x?1x?1x?1x?1x?1x?1可知 x?1为所给曲线的铅直渐近线（在x?1的两侧f(x)的趋向不同）.

f(x)x2?2x?2?lim?1?a， 又 limx??x??xx(x?1)x2?2x?2?x?2lim?f(x)?ax??lim[?x]?lim??1?b， x??x??x??x(x?1)x?1所以 y?x?1 是曲线的一条斜渐近线.

（3）?limx?3??, 故x?1为曲线的铅直渐近线,

x?1?x?1??x?2? limx?3??, 故x?2为曲线的铅直渐近线,

x?2?x?1??x?2?13?2x?3xxlim?lim?0, 故y?0为曲线的水平渐近线,

x???x?1??x?2?x???1??2??1???1??x??x??? 曲线的渐近线为：y?0,x?1,x?2.

19.求解下列各题：

第12页

（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为

C(x)?3?2x， R(x)?5x, x?1其中x为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.

解：边际成本MC=C'(x)?1 x5

(x?1)251. ?2(x?1)x边际收入MR=R'(x)?边际利润L'(q)?MR?MC?（2）设p为某产品的价格，x为产品的需求量，且有p?0.1x?80, 问p为何值时，需求弹性大或需求弹性小.

解：由p?0.1x?80得

dx??10, dp所以需求价格弹性

Expp??(?10)?, Ep80?pp?800.1故当

pp< ?1, 即40

p?80p?80（三）一元函数积分学

1. 在不定积分的性质?kf(x)dx?k?f(x)dx中，为何要求k?0？

答：因为k?0时，?kf(x)dx??0dx?C（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：

(1) 若?f(x)dx?2?sinx?C，则f(x)为何？ 答：f(x)?(?f(x)dx)??2ln2?cosx. (2) 若f(x)的一个原函数为x，问f(x)为何？ 答：f(x)?(x)??3x

(3)若f(x)的一个原函数的cosx，则?f?(x)dx为何？

答：f(x)?(cosx)???sinx,?f?(x)dx?f(x)?C??sinx?C. 3. 计算下列积分：

（1）?sinxd(sinx), （2）?cosxdx, （3）(x?532xx33?sinxx)dx,

第13页

（4）?xedx, （5）

x2?xdx1?x2, （6）

?xdx1?x4,

（7）

11ln2x2?, （8）, （9）?(2x?3)dxdx?arcsinx1?x2dx, ?xdx1dx, （11）, （12）dx?4?x2. ?(1?x2)arctanx?2?x25（10）

sin6x解：（1）?sinxd(sinx)??C.

6（2）?cosxdx??(1?sinx)cosxdx =?(1?sinx)d(sinx) =?d(sinx)??sinxd(sinx)

2232sin3x =sinx??C.

3（3）?(x?sinxx)dx??xdx?2?sinxdx

x2 =?2cosx?C.

21x21x22（4）?xedx??ed(x)?e?C.

22x2（5）

???12dx???(1?x)2d(1?x2)??1?x2?C.

21?x2x1（6）

1d(x2)1???arcsinx2?C.

1?x421?(x2)22xdxln2xln2x12dx?d(2x)??ln2xd(ln2x)?ln2x?C. ?x?2x211223（8）?(2x?3)dx??(2x?3)d(2x?3)?(2x?3)?C.

26（7）（9）

111?dx??arcsinx1?x2?arcsinxd(arcsinx)?ln|arcsinx|?C.

（10）

11dx??(1?x2)arctanx?arctanxd(arctanx)?ln|arctanx|?C.

第14页

（11）

dx1??2?x22?dx11x22?d()?arctanx?C. ?x2x22221?()21?()22（12）

?dx4-x2=

?dxx21-()22=

?xxd()=arcsin?C. 22x1-()221dx(4?x)2324. 计算下列不定积分：

（1）

?1?11?x（2）?16?xdx,（3）?dx，

2，（4）

?x21?x2dx.

解：（1） 令1?x?t, 则 x?t2?1 , dx?2tdt,于是

原式=

2tt?1?1dt==dt2dt2[dt??1?t?1?t??1?t]=2t?2ln1?t?C

=21?x?2ln1?1?x?C. （2）令x?4sint(?2ππ?t?)，则16?x2?4cost，dx?4costdt， 22于是 ?16?xdx??4cost?4costdt?8?(1?cos2t)dt =8t?4sin2t?C.

由右图所示的直角三角形，得

4 2x16?xx16?xsin2t?2sintcost?2???,

448故 ?16?xdx?8?arcsin22 x

t 16 ? x 2 xx16?x??C. 4232ππ （2）令x?2tant(??t?)，则(4?x2)2?8sec3t,dx?2sec2tdt,

22于是

?dx(4?x)232??1costsint2?2sectdt?dt??C. ?224sec3t由右图所示的直角三角形，得

sint?dx(4?x2)32x4?x?2 故

?

x24?x24 ? x 2 ?C.

x

t 2（4） 设 x?sint ,1?x?cost,dx?costdt , 于是

2

第15页

sin2tcost原式=?dt=?sin2tdt=?1?cos2tdt x

cost21

11dt?cos2td(2t) ??241111 =t?sin2t?C?t?sintcost?C

24221x =arcsinx?1?x2?C．

22 =

5.计算下列积分：

(1)ln2xdx, (2)

(4)

t 1?x2

??arctan2xdx, (3) ?xe4xdx,

?e5xsin4xdx, (5)

?xsin100xdx, (6) ?xarctan2xdx.

解：（1）?ln2xdx?xln2x??xd(ln2x)

2dx 2x =xln2x?x?C.

=xln2x??x?（2）arctan2xdx=xarctan2x??xd(arctan2x) =xarctan2x??x??2dx

1?(2x)2d(x2) =xarctan2x?? 21?4x11d(1?4x2) 2?41?4x12 =xarctan2x?ln(1?4x)?C.

4114x14x4x4x（3）?xedx??xde?xe??edx

44414x14x=xe?e?C. 416 =xarctan2x?e5x15xe5x)?esin4x??d(sin4x) （4）?esin4xdx??sin4xd(5555x =e155x4sin4x??e5xcos4xdx

515x4e5x =esin4x??cos4xd

555?15x4?e5xe5xcos4x??d(cos4x)? =esin4x??55?55?第16页

=e5xsin4x?移项合并，得?e5xsin4xdx?1545x16ecos4x??e5xsin4xdx, 252515xe(5sin4x?4cos4x)?C. 41cos100xxcos100xcos100x（5）?xsin100xdx??xd(?)????(?)dx

100100100sin100xxcos100x =??C.

10000100x2（6）?xarctan2xdx=?arctan2xd()

2x2x2 =arctan2x??d(arctan2x)

22x2x22arctan2x???dx =2221?(2x)x211 =arctan2x??(1?)dx 2241?4xx2x1 =arctan2x??arctan2x?C.

2486.计算 （1）

?(x23xxd． ?1)edx ， （2） ?secx 解：（1） 选 u?x?1，dv?edx， v?e， du?2xdx, 于是

2xx 原式 ?(x?1)e?2xedx,

2xx?对于

xxe?dx再使用分部积分法,

选u?x， dv?edx , 则 du?dx，v?e,从而

xxxxxx?edx=eeedxxx??=?e?C．

xxxx2xx?2(xe?e?C)?(x?2x?1)ee?C（C?2C1）, 1原式=

为了简便起见，所设 u?x,v?e 等过程不必写出来，其解题步骤如下:

x?xexdx=?xdex=xex??exdx?xex?ex?C.

3sec?xdx=?secxd(tanx)=secxtanx??tanxd(secx)

（2）

=secxtanx?tanxsecxdx =secxtanx?(secx?1)secxdx

第17页

?2?2 =secxtanx?secxdx+secxdx =secxtanx?secxdx+lnsecx?tanx, 式中出现了“循环”，即再出现了secxdx移至左端，整理得

3?secxdx=

??3?3?31[secxtanx+lnsecx?tanx]+C． 27. 利用定积分的估值公式，估计定积分

43?1?1(4x4?2x3?5)dx的值.

解：先求f(x)?4x?2x?5在??1,1?上的最值，由

f?(x)?16x?6x?0, 得x?0或x?比较 f(?1)?11,f(0)?5,f()??323. 83827,f(1)?7的大小，知 1024fmin??27,fmax?11， 1024由定积分的估值公式，得fmin?[1?(?1)]??1?1(4x4?2x3?5)dx?fmax??1?(?1)?,

127即 ???(4x4?2x3?5)dx?22.

?15128. 求函数f(x)?1?x2在闭[-1，1]上的平均值.

111π?12π21?xdx???. 解：平均值??1?(?1)??12249. 若f(x)??x2xsint2dt，则f?(x)=？

222242解：f?(x)=(x)?sin(x)?sinx?2xsinx?sinx.

10.已知 F(x)??sinxx21?tdt ， 求 F?(x)．

22解：F?(x)=?1?x(2x)+1?sinx?cosx=?2x1?x?1?sinx?cosx．

?11. 求极限limx?1x1sinπtdt.

1?cosπx0解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得

0? limx?1x1sinπtdt=limx?1(?sinπtdt)?1x1?cosπx(1?cosπx)?=limsinπx11?lim()??

x?1?πsinπxx?1?ππ12.计算下列定积分

第18页

（1）解：（1）

?020|1?x|dx, （2）

10?1?2x|x|dx, （3）

212?2π0|sinx|dx.

?2|1?x|dx=?(1?x)dx+?(x?1)dx

1(1?x)2 =?2（2）

0(x?1)211?=?=1.

2221102?1?2x2|x|dx=?(?x3)dx+?x3dx

?200x4 =?4（3）

?2x4117?=4+?. 40442ππ1?2π0|sinx|dx=?sinxdx+?(?sinx)dx

0π2πππ =(?cosx)0?cosx13.计算下列定积分

（1）

=2+2=4.

?π2π?2cosx?cosxdx，（2）?π2031?11?x2dx.

12解：(1)

?π2π?2cosx?cos3xdx?2?(cosx)sinxdx

π20=?2?44(cosx)d(cosx)??cosx?.

3302π2π?21232π2(2)

?1?11?xdx??π202π2π?21?(sint)d(sint)??(cost)2dt

π20 =2

?(cost)2dt?2?π1?cos2t1dt?(t?sin2t)?.

2220π40π214.计算 （1）

?1?041?xxdx ， （2）?sec4xtanxdx ．

解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．

令 t?x ，x?t2 ，dx?2tdt ，

当x?0时，t?0，当x?4时，t?2，于是

21?t4dx==2tdt[4?2t?]dt ?01?x?01?t?01?t41?x2?4t?t2?4ln1?t?2?0?4?4ln3.

第19页

（2）

?π40secxtanxdx=?sec3xd(secx)

4π401?sec4x415. 计算下列定积分：

（1）（3）

4010π40?1?13?．442e

??(5x?1)e5xdx, （2）?ln(2x?1)dx,

1eπxcosπxdx, （4）?(x3?3x?e3x)xdx.

04115x1ee5xe5x5x(5x?1)??d(5x?1) 解：（1）?(5x?1)edx=?(5x?1)d=

00055504=

6e?1e?5555x1?e5.

0(2)

?2e12eln(2x?1)dx=xln?2x?1?1??xd(ln?2x?1?)

12e2e2x?12x?1dx 2e1 ?2eln(4e?1)?ln3??(1?)dx

12x?112e ?2eln(4e?1)?ln3?(x?ln?2x?1?)1

213 ?(2e?)ln?4e?1??ln3?2e?1.

2211πxsinπxπx(3) ?ecosπxdx=?ed

00π1sinπx1πx1 ?esinπx0??de?x

0ππ11cosπxπx =0??eπxsinπxdx=??ed(?)

00π1cosπx1πx1?ecosπx0??de?x

0ππ11π=?(e?1)??eπxcosπxdx

0π11π移项合并得?eπxcosπxdx??(e?1).

02π ?2eln(4e?1)?ln3?x43x13x??e) （4）?(x?3?e)xdx??xd(004ln3313x3x141xx313x3x13x?x(??e)??(??e)dx

04ln334ln3304x1第20页

解二 原方程可化为

dx1?x?1 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 dyydx1?x?0，得其通解为 x?Cy. dyy设x?C(y)y为原方程的解，代入原方程，化简得 C?(y)y?1，C(y)?lnxyy， C1yx所以原方程的通解为 ?ln，即yyC1?Ce （C为任意常数）.

（2）解一 原方程对应的齐次方程

dydydy?2xdx， ?2xy?0分离变量，得?2xy，ydxdx两边积分，得

dy2，lny?x?C， ?2xdx?y?222lny?lnex?lnC?ln(Cex)，y?Cex，

用常数变易法.设y?C(x)e代入原方程，得 C?(x)ex2x2?excosx，C?(x)?cosx，

2C(x)??cosxdx?sinx?C，

故原方程的通解为 y?e(sinx?C) （C为任意常数）. 解二 这里P(x)??2x，Q(x)?ex2x2cosx代入通解的公式得

2??2xdx?2xdxy?e?(?excosx?e?dx?C)

xx?xx =e(ecosx?edx?C)=e(cosxdx?C)=ex(sinx?C)（C为任意常数）.

2?222?26.求微分方程 x3y???x2y??1的通解.

解：方程中不显含未知函数y，令y??P，y???dP3dP，代入原方程，得 x?x2P?1， dxdxdP11?P?3，这是关于未知函数P(x)的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 dxxxP(x)?e??xdx11?dx(?3exdx?C1） x1 =e由此

?lnx(?1lnx111C111）=）=）=， edx?C(?xdx?C??(??C111xxxx2x?x3x3dy1C=?2?1，

xxdx第26页

y??(?1C11=?)dx?C1lnx?C2， xxx21?C1lnx?C2 （C1,C2为任意常数）. xx?1?因此，原方程的通解为 y=

7.求微分方程 2(y?)2?y??(y?1)满足初始条件y解：方程不显含x，令 y??P，y???P2，y?x?1??1的特解.

dPdP2，则方程可化为 2P?P(y?1)，

dydy当 P?0时

dP2?dy，于是 P?C1(y?1)2. Py?1x?1??1，知y?y?2??1 代入上式，得 C1??1，从而得到

根据 yx?1?2，y?dy??dx，积分得 2(y?1)1?x， y?11?x?C2，再由yy?1x?1?2，求得 C2?0，于是当P?0时，原方程满足所给初始条件的特解为

当P?0时，得y?C(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解故原方程满足所给初始条件的特解为8.求方程yy''?(y')?0的通解.

解：方程不显含自变量x, 令y'?p(y)原方程可变为y?p?21?x中. y?111?x，即 y?1?. y?1xdp?p2?0, dy即p?0或ydp?p, dy由y'?p?0得y?C.

由ydpdpdy, ?p分离变量，得?dypydpdy??p?y,

两边积分得

求积分得 lnp?lny?lnC1, 即p?C1y, 解y'?C1y 得y?C2e因y?C包含于y?C2eC1x,

C1xC1x中, 故原方程通解为 y?C2e.

9.写出下列微分方程的通解：

（1）y''?2y'?y?0, （2）y'?8y?0.

第27页

解：（1）特征方程r2?2r?1?0, 特征根r1?r2?1, 通解为y?(C1?C2x)e.

（2）特征方程r?8?0, 特征根r??8, 通解为y?C1e?8xx.

10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

（1）y''?2y'?6y?e?3x, y(0)?1,y'(0)?1,

（2） y''?2y?sinx，y(0)?1,y'(0)?1. 解：（1）先解y''?2y'?6y?0,

2其特征方程为r?2r?6?0, 特征根为r1??1?7, r2??1?7,

故通解 y?C1e因e?3x(?1?7)x?C2e(?1?7)x.

?3x中???3不是特征方程的根，且Pm(x)?1, 故设原方程特解yp?Ae，代入原方程化简，得

11A??，从而原方程通解为y?C1e(?1?7)x?C2e(?1?7)x?e?3x.

331由y(0)?0，得C1?C2??0, 由y'(0)?0，得(?1?7)C1?(1?7)C2?1?1,

3解得C1?7?77?7 , C2?, 42427?7(?1?e427)x故所求特解yp??7?7(?1?e427)x1?e?3x. 3（2）先解y???2y?0，

2其特征方程为r?2?0，特征根为r1?2i,r2??2i，

故通解yC?C1cos2x?C2sin2x.

设原方程特解y*?acoxs?bsinx，代入原方程，化简得a?0,b?1，故原方程通解

y?C1cos2x?C2sin2x?sinx,

由y(0)?0得C1?0，由y?(0)?1，得C2?0，故所求特解为y?sinx.

x11. 求微分方程 y???y?4xe满足初始条件yx?0?0，y?x?0?1的特解.

解：对应齐次方程的特征方程为 r2?1?0，特征根 r1,2??1．故对应齐次微分方程的通解为

第28页

yc?C1ex?C2e?x.

因为??1是特征方程的单根，所以设特解为 yP?x(b0x?b1)e， 代入原方程得 2b0?2b1?4b0x?4x，

比较同类项系数得 b0?1，b1??1，从而原方程的特解为 yP?x(x?1)e， 故原方程的通解为 y?C1e?C2ex?xxx?x(x?1)ex，

由初始条件 x?0时，y?y??0，得 ??C1?C2?0,

C?C?2,2?1从而C1?1，C2??1.因此满足初始条件的特解为 y?e?ex?x?x(x?1)ex.

2x12.求微分方程 y???4y??8y?esin2x的通解.

2解：对应的齐次微分方程的特征方程 r?4r?8?0，特征根 r1,2?2?2i.于是所对应的齐次微分方程通解为

yc?e2x(C1cos2x?C2sin2x)．

为了求原方程y???4y??8y?e2xsin2x的一个特解,先求y???4y??8y?e(2?2i)x（?）

?(2?2i)x的特解.由于??2?2i是特征方程的单根，且Pm(x)?1是零次多项式。所以设特解为 y?Axe方程，化简得

，代入原

(4?4i)A?8iAx?4[A?(2?2i)Ax]?8Ax?1,

比较同类项系数，得 4Ai?1，A?所以，方程（?）的特解为

1i??. 4i4i1y???xe2x(cos2x?isin2x)=?xe2x(icos2x?sin2x),

4412x其虚部即为所求原方程的特解 yP??xecos2x.

4因此原方程通解为

y?e2x(C1cosx?C2sinx)?12xxecos2x. 413.已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.

解：设所求曲线方程为 y?f(x)，P(x,y)为其上任一点，则过P点的曲线的切线方程为 Y?y?y?(X?x)，

由假设，当X?0时 Y?x，从而上式成为

dy1?y??1.因此求曲线y?y(x)的问题，转化为求解微分方dxx1??y??y??1程的定解问题 ?，的特解. x??yx?1?1第29页

?P(x)dxP(x)dx由公式 y?e?(Q(x)e?dx?C，得

?y?e代入y?xdx1(?(?1)e??xdx1dx?C)=?xlnx?Cx，

x?1?1得

C?1，故所求曲线方程为 y?x(1?lnx).

三、 向量与空间解析几何

1. 求点M(x,y,z)与x轴，xOy平面及原点的对称点坐标.

解：M(x,y,z)关于x轴的对称点为M1(x,?y,?z)，关于xOy平面的对称点为M2(x,y,?z)，关于原点的对称点为M3(?x,?y,?z).

2. 下列向量哪个是单位向量？

（1）r?i?j?k，（2）a?1?111??1,0,?1?，（3）b??,,?. 2?333?3?1, ?r不是单位向量.

222解：（1）?r?1?1?1?（2）?a?(12?1)?02?()2?1, ?a是单位向量. 22（3）?b?1113()2?()2?()2?, ?b不是单位向量. 33333. 求起点为A(1,2,1)，终点为B(?19,?18,1)的向量AB的坐标表达式及|AB|. 解：AB=(?19?1)i?(?18?2)j?(1?1)k??20i?20j={?20,?20,0},

|AB|?(?20)2?(?20)2?02?202.

4. 设向量AB=4i?4j+7k的终点B的坐标为(2,?1,7).求 (1)始点A的坐标；(2)向量AB的模；(3)向量AB的方向余弦；(4)与向量AB方向一致的单位向量.

解：（1）设始点A的坐标为 (x,y,z)，则有 2?x?4， ?1?y??4 ,7?z?7，得 x=?2 , y=3 , z=0 ;

(2) AB?42?(?4)2?72=9;

47(3) cos?=4?4 , cos??? , cos?? ;

ABABAB999(4) ABo==

1(4i9?4

j+7k).

第30页

5. 已知向量a与向量b=3i?6j?8k及x轴垂直，且a?2，求出向量a. 解：因为a?b，a?i（垂直于x轴），故a与向量b?i平行.由两向量平行的充要条件，a可写成a??(b?i)，即

ijka=?368=?(8j?6k). 100由题设a?2，得(8?)2?(?6?)2=2 ， ?2(82?62)?4，???, 从而得 a=158686j?k，或 a=?j?k. 55556.求平行于y轴，且过点A(1,?5,1)与B(3,2,?3)的平面方程. 解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n.因为平面平行于y轴，所以n?j.又因为平面过点A与B，所以必有n?AB.于是，取n=j?AB,

i 而AB={2，7，?4} ，所以 n=0j1k0=?4i?2k，

27?4因此，由平面的点法式方程，得?4(x?1)?0(y?5)?2(z?1)?0，即 2x?z?3?0.

解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 Ax?By?Cz?D?0,

由于平面平行于y轴，所以 B?0，原方程变为Ax?Cz?D?0，又所求平面过点A(1, ?5, 1)与B(3 , 2,

?3)，将A,B的坐标代入上述方程，得?平面方程为 2x?z?3?0.

?A?C?D?0, 解之得 A?2C, D??3C,代入所设方程，故所求

?3A?3C?D?0,7. 求点M1(5,10,15)到点M2(25,35,45)之间的距离. 解：距离d?M1M2?(25?5)2?(35?10)2?(45?15)2?577.

8. 求?使向量a?{?,1,5}与向量b?{2,10,50}平行.

151得??. ?2105059. 求与y轴反向，模为10的向量a的坐标表达式.

解：由a//b得

??解：a =10?(?j)??10j={0,?10,0}.

10. 求与向量a={1，5，6}平行，模为10的向量b的坐标表达式. 解：a?0a1?{1,5,6}, a62第31页

故 b??10a0??1062?1,5,6?.

11. 求点M(1,2,1)的向径OM与坐标轴之间的夹角. 解：设OM与x, y, z轴之间的夹角分别为?,?,?，则

cos??i?OMiOMj?OMjOM?112?(2)2?1?1, 2cos??????2k?OM1, cos???. 22kOMπππ, ??, ??.

43312. 求同时垂直于向量a???3,6,8?和y轴的单位向量.

i解：记b?a?j??3jk68???8,0,?3?, 100故同时垂直于向量a与y轴的单位向量为?b1??8,0,?3?. ??b7313. 求与a?i?j?k平行且满足a?x?1的向量x.

解：因a//x, 故可设x??a???,?,??，再由a?x?1得??????1，即??1?111?，从而x??,,?. 3?333?1,0,0?，b??0,1,0?，c?(0,0,1)，求a?b，a?c，b?c，及a?a，a?b，a?c，b?c. 14. a??解：依题意，a?i，b?j，c?k，故

a?b?i?j?0，a?c?i?k?0，b?c?j?k?0.

a?a?i?i?0，a?b?i?j?k，a?c?i?k??j，b?c?j?k?i.

1,1,2?,b??2,2,1?，求a?b及a?b. 15. a??解：a?b?1?2?1?2?2?1?6,

ia?b?12j12k2???3,3,0?. 11,0,1?与向量b???1,1,1?垂直. 16. 证明向量a??第32页

证明：?a?b?1?(?1)?0?1?1?1?0,

^ ?(a,b)?π2， 即a与b垂直. 17. 写出过点M0?1,2,3?且以n??2,2,1?为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为2?x?1??2?y?2???z?3??0. 18. 求过点?0,0,1?且与平面3x?4y?2z?1平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为n?{3,4,2}, 从而其方程为3?x?0??4?y?0??2?z?1??0, 即 3x?4y?2z?2.

19. 写出过点M0?1,1,1?且以a??4,3,2?为方向向量的直线方程. 解：方程为

x?1y?1z?4?3?12. 20. 求过两点A?1,2,1?,B?2,1,2?的直线方程.

解：取直线的方向向量s????AB???1,?1,1?，则直线的方程为x?1y?2z?11??1?1. 21. 求过点?1,1,1?且与直线x?1y?2z?32?3?4平行的直线L的方程. 解：依题意，可取L的方向向量为s??2,3,4?，则直线L的方程为x?1y?1z?12?3?4. 22. 求直线??x?y?z?1,2x?y?3z?0的点向式方程.

?解：令z=0，可解得直线上一点M120(3,3,0),

ijk取直线的方向向量s??1,1,1???2,?1,3??111?4i?j?3k,

2?13x?1y?2所以直线的点向方程为：34?3?1?z?3. 23. 求直线x?1y?2?13?z2与平面x?y?z?0的夹角.

解：直线的方向向量s??2,3,2?，平面的法向量n??1,?1,1?. 设直线与平面的夹角为?，sin??s?n?1?3???1??2?1s?n?222?32?22?12???1?2?12?151, 第33页

则

故 ??arcsin1. 5124. 求通过点(3 , 0 , 0)和点(0 , 0 , 1)且与xOy平面成解：设所求平面方程为 Ax?By?Cz?D?0，

π角的平面的方程. 3D ， ① 3平面过点(0, 0, 1), 有 C?D?0 , 即 C??D ， ②

平面过点(3, 0, 0)，有 3A?D?0, 即 A??又,平面与xOy面成

ππ1C角，有 cos==，③

2223321?A?B?C即 A2?B2?3C2?0，

解 ①②③得 B=?26D, 3故所求平面为 ?D3x?26Dy?Dz?D?0， 3即

x?26?3z?3?0.

?x?2y?z?3?0,的平面方程.

x?y?z?2?0?i1j1k1={1,2,3},

?123. 求过点(1,?2,1)且垂直于直线?解：已知直线的方向向量为s?{1,?2,1}?{1,1,?1}=1?2由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量n为该方向向量s，即n?s={1,2,3}， 由点法式得平面方程 x?1?2(y?2)?3(z?1)?0，即 x?2y?3z?0. 24. 求通过点P0(2,?1,3)且与直线

x?1yz?2垂直相交的直线方程. ???102解：利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线的方向向量s.为此先求出过点P0(2,?1,3)且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直线与此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直线的方向向量s，即可

得到所求的直线方程.其步骤如下：

(i)过点P0垂直于已知直线的平面方程为 ?(x?2)?2(z?3)?0，即 x?2z?4?0. (ii)求上述平面与直线的交点P1，为此令

x?1yz?2=t， x?1?t, y?0 , z?2?2t， ???1021将上述参数方程代入平面x?2z?4?0中，有 1?t?2(2?2t)?4?0，得 t= ,

5?????44126312?PP所以 x? , y?0 , z=，即 P , 所以 (,0,)?{,?1,}, s011555555第34页

(iii)写出所求直线方程。由于直线过点P0(2,?1,3)，故所求直线方程为

x?2y?1z?3. ??6?53x?2y?1z?3?? ， 即63?15525.求过点M0(?1,2,1)且与两平面?1：x?y?2z?1和?2：x?2y?z?1平行的直线方程. 解：设所求直线的方向向量为s?{m,n,p}，n1?{1,1,?2}，n2?{1,2,?1}， 因为所求直线l与?1,?2平行，所以s?n1,s?n2,

ijk取s?n1?n2={1,1,?2}?{1,2,?1}=11?2=3i?j?k={3,?1,1},

12?1故所求直线的方程为

x?1y?2??z?1. 3?126. 指出下列方程所表示的几何图形的名称 ，并画草图.

（1）??x?5?0,222222 （2）3x?4y?25, （3）x?y?4z, （4）z?x?0.

?z?2?0,答：（1）平行于y轴的直线,

（2）母线平行于z轴的椭圆柱面,

（3）以z轴为旋转轴的旋转抛物面, （4）两相交平面. 各题图形如下： z O -2 5 x (1)

z y O x

z y (2) z y O O x y 第35页 (3)

x (4)

?f?u?f?v?f1?f?zx=x2fy(u,v)=x2[???]=x2[???cosxy?]

?ux?v?u?y?v?y?y2xy1?f1?x?u2ysinx =x2（

?fx）. cosxyy?v20.已知f(x,y)?e?ln(x3?xy2)，求 fx(1,0).

3，fx(1,0)=3. x解：如果先求出偏导函数fx(x,y)，再将x?1，y?0代入求fx(1,0)比较麻烦，但是若先把函数中的y固定在y?0，则有f(x,0)=3lnx.于是fx(x,0)=21.求u?ln2x?3y?4z?2?的全微分.

2解: du?dln2x?3y?4z??=

12d2x?3y?4z 22x?3y?4z?? =

238zdx?dy?dz.

2x?3y?4z22x?3y?4z22x?3y?4z22.9922.利用全微分求?1.01?的近似值.

y?1y解：令f?x,y??x，则fx?x,y??yx,fy?x,y??xylnx

取x?1,?x?0.01,y?3,?y??0.01, 则

?1.01?2.99?f?x??x,y??y??f?1?0.01,3?0.01?

?f?1,3??fx?1,3???0.01??fy?1,3????0.01? =1?3?133?1??0.01??13ln1???0.01?=1.003.

23.若z?f?x?y?z?，求

?z?z,. ?x?y解：设F(x,y,z)?f?x?y?z??z,

则 Fx?f??x?y?z?, Fy?f??x?y?z?, Fz?f??x?y?z???1??1,

Fy?zf??x?y?z?Fx?zf??x?y?z????????, .

?yFz1?f??x?y?z??xFz1?f??x?y?z?24.设 e?xy?2z?e?z?0，求

?z?z ，.

?y?x?xy解一 用公式法，设F(x,y,z)=e则 Fx??ye?xy?2z?e?z?0，

?z，Fy??xe?xy，Fz??2?e，

第41页

Fy?ye?xyye?xy?xe?xyxe?xyFx?z?z=?=?=?；=?=?=?.

Fz?yFz?x2?e?z2?e?z?2?e?z?2?e?z解二 方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求y的函数.

?z?z ，时，将z看作x，

?y?x方程两端对x求偏导数，得

e?xyye?xy?z?z?z?z； (?y)?2?e??0 即 =??x?x?x2?e?z方程两端对y求偏导数，得

e?xy?zxe?xy?z?z?z. (?x)?2?e??0 即 =??z?y?y?y2?e?z?z ，.

?y?x解三 利用全微分求

方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则

d(e?xy)?2dz?de?z?0 ， ?e?xyd(xy)?2dz?e?zdz?0， ?e?xy(ydx?xdy)?(2?e?z)dz?0，

ye?xyxe?xy dz=?dy， dx??z?z2?e2?eyexe?z?z?因此 =?，=. ?y?x2?e?z2?e?z25.求曲面 z?xy的平行于平面x?3y?z?9?0的切平面方程. 解：设,F?x,y,z??xy?z 则Fx?y,Fy?x,Fz??1, 设切点坐标为?x0,y0,x0y0?, 则切平面法向量n1??y0,x0,?1?,

?xy?xy1,3,1?, 依题意n1平行于n2??从而

y0x0?1, 解得x0??3,y0??1, 则z0?x0y0?3, ??131所以切平面方程为??x?3??3?y?1???z?3??0, 即x?3y?z?3?0.

第42页

?x?t,?226.求空间曲线?y?t,?1?t?2?在点?1,1,1?处的切线方程与法平面方程.

?z?t3?解：切点对应的参变量t0?1, 又

dxdydz?1,?2t,?3t2, dtdtdtx?1y?1z?1, ??123所以切向量T??1,2,3?, 于是切线方程为

法平面方程为 ?x?1??2?y?1??3?z?1??0, 即 x?2y?3z?6?0.

27.设z?1?x?y，（1）求z?1?x?y的极值, （2）求z?1?x?y在条件y?2下的极值.

22222??z??2x?0???x解：（1）由? 得驻点（0，0）, ?z???2y?0???y?2z?2z?2z??2,B??0,C?2??2, 又 A?2?x?y?x?y?B2?AC??4?0, 且A??2?0,

故?0,0?为函数的极大值点，函数的极大值为z(0,0)?1.

（2）z?1?x?y在条件y?2下的极值, 即为z?1?x?2??x?3的极值，显然z??x?3在

222222x?0处取得极大值?3，故z?1?x2?y2在条件y?2 下，在?0,2?处取得极大值?3.

1?sinx2?y2的极值. 2ππ解：?sinu在u?2kπ??k?Z?处取得极大值1，在u?2kπ??k?Z?处取得极小值?1，故当

22ππ1x2?y2?2kπ?（k为非负整数）时，f?x,y?取得极小值?，当x2?y2?2kπ??k?Z?时，f?x,y?2223取得极大值.

228.求f?x,y????29.求函数f(x,y)?e解：（1）求驻点

x?y(x2?2y2)的极值.

x?y22x?y??0,?fx(x,y)?e(x?2y)?2xe由 ? x?y22x?yf(x,y)??e(x?2y)?4ye?0,??y得两个驻点 (0,0)，(?4,?2)， （2）求f(x,y)的二阶偏导数

第43页

fxx(x,y)?ex?y(x2?2y2?4x?2)，fxy(x,y)?ex?y(2y2?x2?2x?4y)，

fyy(x,y)?ex?y(x2?2y2?8y?4)，

（3）讨论驻点是否为极值点

在(0,0)处，有A?2，B?0，C??4，B2?AC?8?0，由极值的充分条件知 (0,0)不是极值点，f(0,0)?0不是函数的极值；

在(?4,?2)处，有A??6e，B?8e?2?2，C??12e，B?AC??8e?2?22?4?0，而A?0，由极值的充分

条件知 (?4,?2)为极大值点，f(?4,?2)?8e是函数的极大值.

30. 某工厂要用钢板制作一个容积为100m3的有盖长方体容器，若不计钢板的原度，怎样制作材料最省？ 解：设容器的长、宽、高分别为x,y,z?m?，则xyz?100.此题即要求函数S?2xy?2yz?2xz在条件xyz?100下的最小值，其中x?0,y?0,z?0,

令L?x,y,z,???2xy?2yz?2xz???xyz?100?,

??L??x?2y?2z??yz?0,??L??2x?2z??xz?0,??y则 ?

?L??2y?2x??xy?0,??z??L?xyz?100?0,????解得x?y?z?3100，故惟一驻点所用材料最省.

?100,33100,3100也是最小值点，即当容器的长、宽、 高均为3100m时

?五、 多元函数积分学

1.计算

???100?x?y?d?, 其中D???x,y?0?x?1,?1?y?1?.

D解：如图，先对x后对y积分，则

1??100?x?yd??dy????1?0?100?x?y?dx D1y 1 O =

?x???dy100?yx?? ??1?2??0121 1 x - 1 201)dy ??121201 =?ydy???1?1??0?201?201.

?12 =

1(y?第44页

2. 计算

6x?ye??d?，其中D由xOy面上的直线y?1,y?2及x??1,x?2所围成. D?1?x?2, 先对x后对y积分，得 解：如图, D：???1?y?2,??eD6x?yd?=?edy?edx

1?12y22y26xy 2 1 O e6x =(e)(16 =

3.计算

)

?1- 1 2 x 114(e?e13?e?4?e?5). 62222??D?x,yx?y?1. ，其中ln100?x?yd???????D解：令x?rcos?,y?rsin?，则D可表为：

?0?r?1,

?0???2π,?从而

??ln?100?xD2?yd?=?d??ln(100?r2)?rdr

002?2π1=2π?[(100?r)ln(100?r)?r]

0122221=(101ln101?100ln100?1)π.

x2dxdy 其中D由直线y?2，y?x和曲线xy?1所围成. 4.计算 ??yD解：画出区域D的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A（积分，这时D的表达式为

1，2）, B（1，1）, C（2，2），选择先对x2?1?y?2,?1??x?y, ??y于是

3221x2yxx2dxdy=?dy?1dx=?[]1dy ??11y3yyyDy21 y AyD B O C x

=

?121(y?4)dy 3y1131?31y)2

33349= . 72=(y?第45页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rtxv.html