2018版高中数学苏教版必修二学案：1.2.4 第3课时 两平面垂直的性质 全面版

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第3课时两平面垂直的性质

学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单的问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.

知识点平面与平面垂直的性质定理

思考黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？梳理

类型一平面与平面垂直的性质定理

例1如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.

求证：(1)BG⊥平面P AD；

(2)AD⊥PB.

反思与感悟当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面

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垂直的条件，进而得到线线垂直的关系.因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线.

跟踪训练1如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.

类型二立体几何中的折叠问题

例2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点.将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D—ABCE.

求证：BE⊥平面ADE.

反思与感悟(1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变.

(2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性.

跟踪训练2如图①所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图②所示.

求证：平面ABD⊥平面BCD.

类型三线线、线面、面面垂直的综合应用

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例3如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)P A⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面P AD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

跟踪训练3如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA ＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点.求证：

(1)EF⊥CD；

(2)平面SCD⊥平面SCE.

1.给出下列四个说法：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中正确的是________.(填序号)

2.已知平面α⊥平面β，直线a∥α，则直线a与β的位置关系可能是________.(填序号)

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①a⊥β；②a∥β；③a与β相交.

3.若将边长为2的正方形ABCD沿AC折叠成直二面角，则B，D两点间的距离为________.

4.如图，在三棱锥P—ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________.

5.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.

求证：(1)AB⊥平面BCD；

(2)平面ACD⊥平面ABD.

面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：

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答案精析

问题导学

知识点

思考容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画的直线必与地面垂直．

梳理一个平面内交线垂直a?αa⊥l

题型探究

例1证明(1)由题意知△P AD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.

又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，

∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.

又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面P AD.

(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，

所以AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.

跟踪训练1证明如图，在平面P AB内，作AD⊥PB于点D.

∵平面P AB⊥平面PBC，

且平面P AB∩平面PBC＝PB，

∴AD⊥平面PBC.

又BC?平面PBC，

∴AD⊥BC.

又∵P A⊥平面ABC，

BC?平面ABC，

∴P A⊥BC.

又∵P A∩AD＝A，

∴BC⊥平面P AB.

又AB?平面P AB，∴BC⊥AB.

例2证明在△ADE中，

AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，

在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，

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故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，

∴BE⊥AE.

又平面ADE⊥平面ABCE，

且平面ADE∩平面ABCE＝AE，

BE?平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.

跟踪训练2证明∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，

过B作BO⊥AC，垂足为O，

由AB＝BC知，O为AC的中点，

作OE⊥AC交AD于E，

则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.

而OE∩AC＝O，

∴BO⊥平面ACD.

∵CD?平面ACD，

∴BO⊥CD.

又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，

∵AB?平面ABC，

∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，

∴AB⊥平面BCD.

又∵AB?平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BCD.

例3证明(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE，

所以四边形ABED为平行四边形，

所以BE∥AD.

又因为BE?平面P AD，

AD?平面P AD，

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所以BE ∥平面P AD .

(3)因为AB ⊥AD ，而且四边形ABED 为平行四边形， 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .

由(1)知P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .

又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，

所以CD ⊥PD .

因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，

所以PD ∥EF ，所以CD ⊥EF .

又EF ∩BE ＝E ，所以CD ⊥平面BEF .

所以平面BEF ⊥平面PCD .

跟踪训练3 证明 (1)连结AC 、AF 、BF .

∵SA ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴SA ⊥AC .

∴AF 为Rt △SAC 的斜边SC 上的中线，∴AF ＝12

SC .

又∵四边形ABCD 是正方形，

∴BC ⊥AB .

而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA .又SA ∩AB ＝A . ∴CB ⊥平面SAB .

∵SB ?平面SAB ，

∴CB ⊥SB ，

∴BF 为Rt △SBC 的斜边SC 上的中线，∴BF ＝12

SC . ∴△AFB 为等腰三角形，

∵E 为AB 的中点，∴EF ⊥AB .

又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .

(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，

∴SE ＝EC ，即△SEC 是等腰三角形，

∴EF ⊥SC .

又∵EF ⊥CD ，且SC ∩CD ＝C ，

∴EF ⊥平面SCD .

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又EF?平面SCE，

∴平面SCD⊥平面SCE.

当堂训练

1．②④ 2.①②③ 3.2 4. 5

5．证明(1)在△ABD中，AB＝a，

AD＝2a，BD＝3a，

∴AB2＋BD2＝AD2，

∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.

又∵平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

AB?平面ABD，

∴AB⊥平面BCD.

(2)折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，

∴AB⊥CD.

∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.

又CD?平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABD.

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