上海市复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：数列 Word版含答案

复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：数列

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=( )

A．58 【答案】B

2．设sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知s6=36, sn=324, sn?6=144 (n>6),则n=( )

A． 15 【答案】D

3．已知等差数列?an?满足a2?3，an?1?17,(n?2)，Sn?100，则n的值为( )

A．8 【答案】C

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4?9,S3?15，则数列{an}的通项为( )

A．2n-3 【答案】C

5．在公差不为零的等差数列?an?中，a1,a3,a7依次成等比数列，前7项和为35,则数列?an?的通项an?( ) A．n 【答案】B

6．数列?an?中，an?1?B．n?1

C．2n?1

D．2n?1

B．2n-1

C．2n+1

D．2n+3

B．9

C．10

D．11

B． 16

C． 17

D． 18

B．88

C．143

D．176

an1?3anB．

，且a1?2，则an等于( )

A．

165n?1

26n?5 C．

46n?5 D．

43n?1

【答案】B

7．在等差数列{an}中,若前11项和S11?11，则a2?a5?a7?a10? ( )

A． 5 【答案】C

8．用数学归纳法证明3?n(n≥3,n∈N)第一步应验证( )

A． n=1 【答案】C

9．等差数列{an}中，a5+a7=16，a3=4，则a9=( )

A．8 【答案】B

10．在等差数列?an?中，若前5项和S5?20，则a3等于( )

A．4

B．－4

C．2

D．－2

B．12

C．24

D．25

B． n=2

C． n=3

D． n=4

n3B．6 C．4 D．8

【答案】A

11．等差数列{an}前n项和满足S20?S40,下列结论正确的是( )

A．S30 是Sn中最大值 C．S30=0 【答案】D

12．已知实数列1,a,b,2成等比数列，则ab?( )

A． 4 【答案】C

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知数列?an?的前n项和为Sn?B． ?4

C． 2

D． ?2

B．S30 是Sn中最小值 D．S60?0

14n?223n?3，则这个数列的通项公式为____________

?59?12,n?1【答案】an??

6n?5?,n?1?12{an}14．已知等差数列【答案】?3

满足：

a1005?4?3，则tan(a1?a2009)?____________.

15．在等差数列?an?中，a1??2008，其前n项和为Sn，若于 ． 【答案】4022

S1212?S1010?2，则S2011的值等

16．已知数列{an}的前三项依次是－2，2，6，前n项和Sn是n的二次函数，则a100＝____________ 【答案】394

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知数列{an}的前n项和Sn?(1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn?12n?232n.

1anan?1,求{bn}的前10项和T10.

【答案】n?1时,a1?S1?2 n?2时,an?Sn?Sn?1?12n?232n?12(n?1)?232(n?1)?n?1

当n?1时,a1?1?1?2也满足上式

所以an?n?1

(2）由（1）得：bn?1anan?1?1?n?1??n?2??1n?1?1n?2

1?115?11??11??1?b1?b2??b10?????????????????23??34??1112?21212

18．设数列满足，， 。数列满足

是非零整数，且对任意的正整数

。

(1）求数列(2）记

和

的通项公式；

，求数列

的前

项和

。

和自然数

，都有

【答案】（1）由得

又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列，

，

由 得 ，由 得 ，…

同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此

(2）

当n为奇数时，

当n为偶数时

令 ①

①×得: ②

①-②得:

因此

19．如图，P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),(0?y1?y2???yn)是曲线

C:y?3x(y?0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i?1,2,3,?,n)在x轴的正半轴上，?Ai?1AiPi2是正三角形(A0是坐标原点) . (Ⅰ) 写出a1,a2,a3；

(Ⅱ)求出点An(an,0)(n?N*)的横坐标an关于n的表达式；

(Ⅲ)设bn?1?1?1???1，若对任意正整数n，当m???1,1?时，不等式

an?1an?2an?3a2nt2?2mt?16?bn恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】 (Ⅰ) a1?2,a2?6,a3?12. (Ⅱ)依题意An(an,0),An?1(an?1,0)，则

xn?an?1?an2，y3?aa?n?1n?n??? ?2?在正三角形PnAn?1An中，有

yn?32|An?1An|?32(an?an?1) .

?3?an?1?an??3?(a?2??2n?an?1). ?an?an?1?2(an?1?an)，

?a22n?2an?1an?an?1?2(an?an?1)(n?2,n?N*) ， 同理可得a22n?1?2an?1an?an?2(an?1?an)(n?N*) . ①-②并变形得

(an?1?an?1)(an?1?an?1?2an?2)?0(n?2,n?N*)

①

②

?an?1?an?1，

?an?1?an?1?2an?2?0 ， ?(an?1?an)?(an?an?1)?2(n?2,n?N*) .

∴数列?an?1?an?是以a2?a1?4为首项，公差为2的等差数列.

?an?1?an?2(n?1),(n?N*) ，

?an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)???(an?an?1)，

?2(1?2?3???n) ?n?n.

?an?n(n?1)(n?N*).

2(Ⅲ)解法1 ：∵bn?1an?11?1an?2?1an?31a2n?2???1a2n(n?N*)，

∴bn?1?1an?2?1an?31??an?41???(n?N*).

?bn?1?bn?a2n?1a2n?2?1an?1

?1(2n?1)(2n?2)2?1(2n?2)(2n?3)?1(n?1)(n?2)

??2(2n?2n?1)(2n?1)(2n?2)(2n?3)(n?2).

∴当n?N*时，上式恒为负值， ∴当n?N*时，bn?1?bn， ∴数列?bn?是递减数列.

?bn的最大值为b1?1a2?16.

若对任意正整数n，当m???1,1?时，不等式t?2mt?216?bn恒成立，则不等式

t?2mt?216?162在m???1,1?时恒成立，即不等式t2?2mt?0在m???1,1?时恒成立.

设f(m)?t?2mt，则f(1)?0且f(?1)?0，

2??t?2t?0∴?

2??t?2t?0解之，得 t??2或t?2，

即t的取值范围是(??,?2)?(2,??).

20．在数列(Ⅰ）求

中，，。

的通项公式；

(Ⅱ）令(Ⅲ）求数列

的前

，求数列项和

。

的前项和。

【答案】（Ⅰ）由条件得，又时，，

故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．

(Ⅱ）由得，

，

两式相减得 ： ， 所以 ．

(Ⅲ）由得

所以．

21．设Tn为数列?an?的前n项之积，满足Tn?1?an(n?N)．

?(1)设bn?1Tn2，证明数列?bn?是等差数列，并求bn和an；

(2)设Sn?T1?T2?L?Tn求证：an?1??2212?Sn?an?14．

【答案】(1)∵Tn?1?an(n?N),an?TnTn?1,(n?2)，

∴Tn?1?TnTn?11Tn?,(n?2)

∴1?1Tn?1,(n?2)，

∵bn?1Tn ∴bn?bn?1?1,(n?2).

∵Tn?1?an,∴T1?1?a1?1?T1，∴T1?12，

∴b1?1T1?2，

∴数列?bn?是以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴bn?2?(n?1)?n?1，

∴Tn?1bn?1n?1，

∴an?1?Tn?1?2221n?1

(2)Sn?T1?T2?L?Tn?122?132?L?1(n?1)2，

∵

122?12132?L?1(n?1)2?12?3?13?4?L?1(n?1)(n?2)?12?1n?2

?an?1?

∴an?1?12?Sn

当n?2时，

122?132?L?14141(n?1)2?122?12?3?L?1n(n?1)

?14?12?1n?1?an?2，

当n?1时，S1?T1? ∴Sn?an??a1?14，

14.

22．已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an?1?an?bnan?bn22，n?N*，

(1）设bn?1?1?bnan2????b?n?，n?N*，求证：数列????是等差数列；

??an????(2）设bn?1?2?bnan，n?N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．

【答案】（1）∵bn?1?1?bnan，∴an?1?an?bnan?bn22=bn?1?b?1??n??an?2。

∴

bn?1an?1??b?1??n?。∴ ?an?22?bn?1??an?12?2???bn?????bbnn????????1????????1?n?N*? 。

aaa???n??n???n???222????b?n? ∴数列????是以1 为公差的等差数列。

??an????(2）∵an>0，bn>0，∴

an?bn?an?bn?2?2?an?bn

222 ∴1

设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q=1

a2q2a1 若q>1,则a1=logq时，an?1?a1q>n2，与（﹡）矛盾。

若0logq>a2>1，

1a1时，an?1?a1q<1，与（﹡）

n矛盾。

∴综上所述，q=1。∴an?a1?n?N*?，∴1

又∵bn?1?2?=?bn?n?N*?，∴{bn}是公比是

2a1的等比数列。

若a1?2，则>1，于是b1

222 又由an?1?an?bnan?bn22即a1?a1?bna1?bn22，得bn=a1?a12?a1。

a1?1 ∴b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1

2? ∴bn=?2?22?2?2?2?2?=2。

?1 ∴ a1=b2=2。

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