2017年电大2017秋季电大高等数学基础形成性考核手册答案(含题目)

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高等数学基础形考作业1答案：

1

第1章 函数 第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等． A. f(x)?(x)2，g(x)?x B. f(x)?3x2，g(x)?x

x2?1 C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?

x?1⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C）对称． A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（B）．

A. y?ln(1?x2) B. y?xcosx

ax?a?x C. y? D. y?ln(1?x)

2 ⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A. y?x?1 B. y??x C. y?x2 D. y????1,x?0

1,x?0?⒌下列极限存计算不正确的是（D）．

x2?1 B. limln(1?x)?0 A. lim2x?0x??x?2sinx1?0 D. limxsin?0

x??x??xx⒍当x?0时，变量（C）是无穷小量．

sinx1 A. B.

xx1 C. xsin D. ln(x?2)

x C. lim⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。

A. limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义

x?x0f(x)?f(x0) D. limf(x)?limf(x) C. lim???x?x0x?x0x?x0

（二）填空题

2

⒈函数f(x)?x2?9?ln(1?x)的定义域是?3,???．

x?32

⒉已知函数f(x?1)?x2?x，则f(x)? x-x ．

1x)?e2． ⒊lim(1?x??2x1?x?⒋若函数f(x)??(1?x),x?0，在x?0处连续，则k? e ．

?x?0?x?k,1?x?1,x?0⒌函数y??的间断点是x?0．

?sinx,x?0⒍若limf(x)?A，则当x?x0时，f(x)?A称为x?x0时的无穷小量。

x?x0（三）计算题

⒈设函数

?ex,x?0f(x)??

x,x?0?求：f(?2),f(0),f(1)．

解：f??2???2，f?0??0，f?1??e?e

1⒉求函数y?lg2x?1的定义域． x?2x?1??x?0??2x?11?解：y?lg有意义，要求?解得?x?或x?0

x2?x?0????x?0? 则定义域为?x|x?0或x???1?? 2?⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解： D

A R O h E

B C

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R

3

直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AE?OA2?OE2?R2?h2 则上底＝2AE?2R2?h2 h?2R?2R2?h2?hR?R2?h2 2sin3x⒋求lim．

x?0sin2xsin3xsin3x?3xsin3x3133解：lim?lim3x?lim3x?＝??

x?0sin2xx?0sin2xx?0sin2x2122?2x2x2x故S?????x2?1⒌求lim．

x??1sin(x?1)x2?1(x?1)(x?1)x?1?1?1?lim?lim???2 解：limx??1sin(x?1)x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)1x?1tan3x．

x?0xtan3xsin3x1sin3x11?lim??lim??3?1??3?3 解：limx?0x?0xxcos3xx?03xcos3x1⒍求lim1?x2?1⒎求lim．

x?0sinx1?x2?1(1?x2?1)(1?x2?1)x2?lim?lim解：lim2x?0x?0x?0sinx(1?x?1)sinx(1?x2?1)sinx ?limx?0

x(1?x2?1)sinxx?0?0

?1?1??1⒏求lim(x??x?1x)． x?3111(1?)x[(1?)?x]?1x?1xe?1xxx?x解：lim()?lim()?lim?lim?3?e?4 xx??x?3x??x??x??33e11?(1?)x[(1?)3]3xxx31?x2?6x?8⒐求lim2．

x?4x?5x?4x2?6x?8?x?4??x?2??limx?2?4?2?2

解：lim2?limx?4x?5x?4x?4?x?4??x?1?x?4x?14?13⒑设函数

4

?(x?2)2,x?1?f(x)??x,?1?x?1

?x?1,x??1?讨论f(x)的连续性。

解：分别对分段点x??1,x?1处讨论连续性 （1）

x??1?x??1?limf?x??limx??1x??1?x??1?limf?x??lim?x?1???1?1?0x??1?x??1?

所以limf?x??limf?x?，即f?x?在x??1处不连续 （2）

x?1?x?1?limf?x??lim?x?2???1?2??1x?1?x?1?22limf?x??limx?1f?1??1

所以limf?x??limf?x??f?1?即f?x?在x?1处连续

x?1?x?1?由（1）（2）得f?x?在除点x??1外均连续

高等数学基础作业2答案：

第3章 导数与微分

（一）单项选择题

⒈设f(0)?0且极限limx?0f(x)f(x)?（C）． 存在，则limx?0xx A. f(0) B. f?(0) C. f?(x) D. 0cvx

⒉设f(x)在x0可导，则limh?0f(x0?2h)?f(x0)?（D）．

2h A. ?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)

f(1??x)?f(1)?（A）．

?x?0?x11 A. e B. 2e C. e D. e

24 ⒊设f(x)?e，则limx 5

⒋设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)?（D）． A. 99 B. ?99 C. 99! D. ?99! ⒌下列结论中正确的是（C）．

A. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导． C. 若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续．

（二）填空题

1?2?xsin,x?0 ⒈设函数f(x)??，则f?(0)? 0 ． x?x?0?0, ⒉设f(ex)?e2x?5ex，则

df(lnx)2lnx5??xxdx。

⒊曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是k?

1

。 2

⒋曲线f(x)?sinx在(π,1)处的切线方程是y?1。 2 ⒌设y?x2x，则y??2x2x(1?lnx) ⒍设y?xlnx，则y???1。 x（三）计算题

⒈求下列函数的导数y?： ⑴y?(xx?3)ex

31x 解:y??xx?3e?xx?3?e? ?(x?3)e?x2e

2???x??x?32x⑵y?cotx?xlnx 解：y???cotx?

2?????x2?lnx?x2?lnx???csc2x?x?2xlnx

x2⑶y?

lnx 6

???x?lnx?x?lnx?解：y??22ln2x?2xlnx?x 2lnxcosx?2x⑷y?

x3??x(?sinx?2?cosx?2?x??cosx?2??x?解：y?? ??x?x3x332xln2)?3(cosx?2x) 4xlnx?x2⑸y?

sinx解：y???lnx?x?2?1sinx(?2x)?(lnx?x2)cosxsinx??lnx?x??sinx?x? 2sin2xsinx2?⑹y?x4?sinxlnx 解：y???x????sinx??lnx?sinx?lnx???4x43?sinx?cosxlnx xsinx?x2⑺y?

3x???sinx?x?3??sinx?x??3?解：y???3?2x2xx23x(cosx?2x)?(sinx?x2)3xln3 ?2x3⑻y?etanx?lnx 解：y??x?e?x?ex1tanx?e?tanx???lnx??etanx? ?cos2xxx??x⒉求下列函数的导数y?： ⑴y?e解：y??x

x?e???e?x?1?11?x2?ex 22x⑵y?lncosx 解：y?? ⑶y?

1??sinx???sinx??tanx cosxcosxxx

7

??1?7?7解：y???x8??x8

??8??⑷y?sin2x

?x?sinx??2sinx?cosx?2sin2x

解：y??2sin⑸y?sinx2

2?y?cosx?2x?2xcosx 解：

⑹

y?cosex2

x2解：

y???sinee????2xex2n?x2sinex2

⑺y?sinnxcosnx 解：y??⑻

?sinx??cosnx?sinx?cosnx???nsinnn?1xcosxcosnx?nsinnxsin(nx)

y?5sinx

sinx解：y??5ln5?cosx?ln5cosx5sinx

cosxy?e⑼

解：

y??ecosx??sinx???sinxecosx

⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求y?： ⑴ycosx?e

解：y?cosx?ysinx?2e⑵y?cosylnx

解：y??siny.y?lnx?cosy.2y2yy? y??ysinx

cosx?2e2y1cosy y?? xx(1?sinylnx)x2⑶2xsiny?

y2xy?2ysiny2yx?x2y?x22yx??解：2xcosy.y??2siny? y?y(2xcosy?)??2siny222222xycosy?xyyy

8

⑷y?x?lny 解：y??y?y ?1 y??yy?1⑸lnx?ey?y2 解：

11?eyy??2yy? y?? yxx(2y?e)⑹y2?1?exsiny

exsiny解：2yy??ecosy.y??siny.e y??

2y?excosyxx⑺ey?ex?y3

ex2解：ey??e?3yy? y??y?3y

eyx2⑻y?5x?2y

5xln5解：y??5ln5?y?2ln2 y??

1?2yln2xy⒋求下列函数的微分dy：（注：dy?⑴y?cotx?cscx 解：y???csc⑵y?2y?dx）

?1cosx?)dx 22cosxsinxx?cscxcotx dy?(lnx sinx11sinx?lnxcosxsinx?lnxcosxxdx 解：y??x dy?2sinxsin2x⑶y?sin2x

解：y??2sinxcosx dy?2sinxcosxdx ⑹y?tanex

2解：y??sec

ex?ex dy?sec2ex?exdx?exsec2exdx

339

⒌求下列函数的二阶导数： ⑴y?x

33??1?1111??解：y??x2 y???????x2??x2

22?2?4⑵y?3x

x解：y??3⑶yln3 y???ln3?3x?ln3?ln23?3x

?lnx

11 y????2 xx解：y??⑷y?xsinx

解：y??sinx?xcosx y???cosx?cosx?x??sinx??2cosx?xsinx

（四）证明题

设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以f(?x)??f(x)

两边导数得：f?(?x)(?1)??f?(x)?f?(?x)?f(x) 所以f?(x)是偶函数。

高等数学基础形考作业3答案：

第4章 导数的应用

（一）单项选择题

⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f?(?)? A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导

C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导 ⒉函数f(x)?x?4x?1的单调增加区间是（D ）． A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??) ⒊函数y?x?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降

10

22f(b)?f(a)．

b?a

C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升

⒋函数f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C ）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点

⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0?(a,b)，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值．

A. f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 C. f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0

⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（ A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的

（二）填空题

⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时f?(x)?0，则x0是

f(x)的 极小值 点．

⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ． ⒊函数y?ln(1?x2)的单调减少区间是(??,0)． ⒋函数f(x)?ex的单调增加区间是(0,??)

⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)． ⒍函数f(x)?2?5x?3x3的拐点是

2?0,2?

（三）计算题

⒈求函数y?(x?1)(x?5)的单调区间和极值． 解：令y??2?x?5?2?(x?1)?2?(x?5)X ?3(x?5)(x?1)

?驻点x?1,x?5

列表： 极大值：

(??,1) + 上升 1 0 极大值32 (1,5) — 下降 5 0 极小值0 (5,??) + 上升 y? f(1)?32

y 极小值：f(5)?0

11

⒉求函数y?x2?2x?3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值． 解：令：y??2x?2?0?x?1(驻点），列表：

1 0 极大值2 2x y? y （0,1） + 上升 （1,3） — 下降 y?x2?2x?3??x?1??2

f(0)?3f(3)?6f(1)?2

?极值点：f?1??2

?最大值?最小值2f(3)?6 f(1)?2

3.求曲线y?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． 解：设p(x,y)是y?2x上的点，d为p到A点的距离，则：

2d?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x

令d??2(x?2)?22(x?2)?2x2?x?1(x?2)?2x2?0?x?1?y??2

?y2?2x上点(1,2)或1，-2到点A(2,0)的距离最短。。

4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??Rh??(L?h)h

222??令：V???[h(?2h)?L2?h2]??[L2?3h2]?02L332,R?L时其体积最大。 33?L?3hh?3L3R??当h?5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h

S表面积?2?Rh?2?R2?2V?2?R2 R 12

令：S???2VR?2?4?R?0?VV4V h?3 ?R3?R?32?2??答：当R?3V4V h?3时表面积最大。 2??6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底长为x，高为h。则：

62.5?x2h2?h?62.5 2x2侧面积为：S?x?4xh?x?令S??2x?250 x250?0x2?x3?125?x?5

答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。 （四）证明题

⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)． 证：在区间

?1,1?x?上对函数f?x??lnx应用拉格朗日定理，有ln?1?x??ln1?其中1??1?x

1?1?x,故?1，于是由上式可得x?ln(1?x)

?x⒉当x?0时，证明不等式e?x?1．

证：设f(x)?e?(x?1)

xf?(x)?ex?1?0(当x?0时）?当x?0时,f(x)单调上升且f(0)?0

?f(x)?0,即ex?(x?1)

高等数学基础形考作业4答案：

第5章 不定积分 第6章 定积分及其应用

（一）单项选择题

1，则f?(x)?（D）． x1 A. lnx B. ?2

x12C. D. 3

xx ⒈若f(x)的一个原函数是

13

⒉下列等式成立的是（D）． A

?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x)C.

d?f(x)dx?f(x) D.

⒊若f(x)?cosx，则

df(x)dx?f(x) dx??f?(x)dx?（B）．

A. sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c ⒋

d23xf(x)dx?（B）． dx? A. f(x3) B. x2f(x3) C.

11f(x) D. f(x3) 33⒌若

?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（B）．

A. F(x)?c B. 2F(x)?c C. F(2x)?c D. ⒍下列无穷限积分收敛的是（D）． A.

1xF(x)?c

???11dx B. x???0exdx 1dx 2xC.

???11dx D. x???1（二）填空题

⒈函数f(x)的不定积分是

?f(x)dx。

⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)?G(x)?c(常数）。

x⒊dedx?e。

?x22⒋(tanx)?dx?tanx?c。 ⒌若⒍

3??f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)??9cos(3x)。

15(sinx?)dx?3 ??32??1dx收敛，则p?0。 ⒎若无穷积分?1xp

14

（三）计算题

1cosxdx??cos1d(1)??sin1?c ⒈??xxxx2⒉

?exxdx?2?exdx?2ex?c

⒊

11dx??xlnx?lnxd(lnx)?ln(lnx)?c

⒋

?xsin2xdx???e111111??xdcos2x??xcos2x?cos2xdx??xcos2x?sin2x?c ??22224e1⒌

e3?lnx1dx??1(3?lnx)d(3?lnx)?(3?lnx)x27? 2⒍

??10xe?2x1?2x111?2x113?21dx??ex??0edx??e?2?e?2x1??e? 00222444⒎

e1e22e??121e1ex1e1122?xlnxdx??1lnxdx?lnx??1xdx??e??e? ?122222?21?4?4⒏

?e1ee1lnx111dx??lnx?dx???22?1xexxx1e1??2?1 ea（四）证明题

⒈证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则证:令x??ta??af(x)dx?0．

a?a?aa?af(x)dx????aaaf(?t)dt??f(?t)dt???f(t)dt

?aa??f(x)dx???f(x)dx?a?a??f(x)dx?0 证毕

?a⒉证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则证：

?a?af(x)dx?2?f(x)dx．

0a?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

?a000a?aa00a令x??t,则?f(x)dx???f(?t)dt??f(t)dt?f(x)是偶函数

aa00?

a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?2?f(x)dx?a000aa证毕

15

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