大一高数期末考试题(精)

更新时间：2023-04-20 11:29:02 阅读量：实用文档文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

. 高等数学I 解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是无穷小.

(A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+

(2x x βα

2. 极限a

x a x a x -→??? ??1

sin sin lim 的值是（ C ）.

（A ） 1 （B ） e （C ） a

e cot （D ） a

e tan

3. ?????=≠-

+=00

sin )(2x a x x

e x x

f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）.

（A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1-

4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=

--+→h h a f h a f h )

2()(lim 0（ A ）.

（A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '

(31

a f '

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 极限)0(

ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1

6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x

y x xy xy ln 2sin 2+++- .

7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l 的方程为 131211--=--=-z y x . 8. 求函数2

)4ln(2x x y -=的单调递增区间为（－∞，0）和（1，+∞ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9. 计算极限1

0(1)lim x x x e

x →+-. 解：11

ln(1)12000(1)1ln(1)lim lim

lim 2x x x x x x x e e x x e

e e x x x +-→→→+--+-===-

10. 已知：||3a = ，||26b = ，30a b ?= ，求||

a b ? 。

解： 1312

cos 1sin ,135cos 2=-==?=θθθb a b

，72=?b a

11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且],[)()()(b a x dt t f t x x F x

a ∈-=

?，试求出)(x F ''。

解：??-=x

a x a dt

t tf dt t f x x F )()()(

??=-+='x

a x a dt

t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(

)()(x f x F ='' 12. 求 3cos .sin x x dx x ? 解：23cos 1sin sin 2x x dx xd x x -=-?? 2221111sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C ---=-+=--+?

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

13. 求 ?-23

221

x x dx . 令　1x

t = ?

--=2

22)1(1111dt t t t 原式 =-?dt

t 12123

2 =arcsin t

1232=π6

14. 求函数 2

12x x y += 的极值与拐点.

解：函数的定义域（－∞，+∞） 2

2)1()1)(1(2x x x y ++-=' 322)1()3(4x x x y +--=''

令

0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1 0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点极大值

1)1(=y ，极小值1)1(-=-y

0=''y 33故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23）

15. 求由曲线43x y =与23x x y -=所围成的平面图形的面积.

解　:,,x x x x x x 3

232431240=--+=

x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123　　　　　 S x x x dx x x x dx =-++---??()()3260

024334

=-++---()()x x x x x x 42360234021632332316

=+=452134713 16. 设抛物线24x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ?的面积最大. 解：

AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程：　　点到的距离　的面积+-==+-=-++-≤≤21045

21523

5132()

　S x x x x x ()()

=??-++=-++12452

522322

　　当　　'=-+='=S x x x S x ()()4410

　当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40

此时　　所求点为，y =313()

另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线

的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使　解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()

,(),,(,)

002

0004253312113-'=-=--+=-=

六、证明题（本大题4分）

17. 设0x >，试证x x e x

+<-1)1(2.

证明：设0),1()1()(2>+--=x x x e x f x

1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，

0)(,0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+∞）内递减。

在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减，

在（0，+∞）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x

亦即当 x >0时，x x e x +<-1)1(2 。

高等数学I A

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

18. 函数

??????

???<+<≤>-+=0

,sin 1

0,2tan 1

,1)

1ln()(x x x x x

x x x x f π 的全体连续点的集合是（）

(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)

19. 设0

)11(lim 2

=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（）

（A ）（1，0）（B ）（0，1）（C ）（1，1）（D ）（1，-1）

20. 设在[0，1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（）

（A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<' (B) )1()0()1()0(f f f f '<-<'

21. ,1cos sin 2224dx x x x M ?-+=ππ?-+=2243)cos (sin ππdx x x N ?--=2

2432)cos sin (π

x x P 则（

）（A ） M < N < P （B ） P < N < M

（C ） P < M < N （D ） N < M < P

二填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1. 设=->)1arctan (12x x d x （）

2. 设?+=,sin )(c x dx x f 则?=dx x f n )()(（）

3. 直线方程

p z n y m x +-==--6524，与xoy 平面，yoz 平面都平行，

那么m n p ,,的值各为（）

4. =

??? ??=+∞→∑2

12lim n i n i x e n i （）

三解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分） 1. 计算

??? ??-→2201s i n 1l i m x x x 2. 设?????≤>=00,1cos )(2x x x x x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f ' 3. 设函数

),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x ≠0时二阶可导，且其导函数)(x f '的图形如图所示，给出 )(x f

)(x f y =的拐点。

四解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

1. 求不定积分 ?-+x dx x x 2)12(

2. 计算定积分?e e dx x 1

3. 已知直线

435221:3

121:

21-=-=--==z y x l z y x l ,求l 1且平行于直线l 2的平面方程。

过原点的抛物线2ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π581，确定抛物线方程中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

1. 设)()1()(2x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ，试证明存在ξ（21<<ξ）使得0)(=''ξF 。

2. ?≥-=x

n x tdt t t x f 0

22)0(sin )()(

（1）求)(x f 的最大值点；（2）

证明：)32)(22(1)(++≤

n n x f

一、单项选择题 B D B C . 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-. 6.

?=dx x f n )()(?++=+c n x dx n x )2sin()2cos(ππ. 7. 0,6,2≠-==n p m .

8. )1(21-e .

三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

9. (8分)计算极限 22011lim()sin x x x →-. 解：2222220011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x

30sin sin lim →-+=x x x x x x x

201cos 12lim 33x x x →-==

10. (8分)设

?????≤>=00,1cos )(2x x x x x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '. 解：当

x x x x f x 1sin 1cos

2)(,0+='>；当1)(,0='

故f (x )在x =0处不可导。()?????<>+='0101sin 1cos 2x x x x x x f 11. (8分)设函数

()y f x =在(,)-∞+∞连续，在0x ≠时二阶可导，且其导函数()f x '的图形如图.给出()f x 的极大值点、极小值点以及曲线()y f x =的拐

解：极大值点：x a =x d = 极小值点：x b =

拐点(0,(0)),(,())f c f c 四解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 12. (9分)求不定积分 2

(2)(1)x dx x x --?

. 解：原式=2413()(1)1dx x x x -++--? =14ln 3ln 11x x c x ---+-

13. (9分)计算定积分

1ln e e x dx ?. 解：原式=()111ln ln e

e x dx xdx

-+?? ()[]1

ln ln e e x x x x x x =--+-????

2e =-

14. (9分)已知直线11:

123x y z l -==，2123:254x y z l ---==,求过直线l 1且平行于直线l 2的平面方程.

解：

12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)n s s =?=?=- 取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为

72(1)0x y z -++-=

15. (9分)过原点的抛物线2ax y = (0)a > 及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为

π581. 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积. 解：115

22200()5x V a x dx a ππ==?25a π=

由已知得 58152

π=a 故 a = 9 抛物线为：

29x y = 绕y 轴一周所成的旋转体体积：

12029V x x dx π=??14091842x ππ==

五综合题（每小题4分，共8分） 16. (4分)设

)()1()(2x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f . 证明：存在ξ（12ξ<<）使得()0F ξ''=。证明：由)(x f 在[1，2]上二阶可导，故F (x )在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0

在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点

)21(,00<

17. (4分).

解：（1）1x =为()f x 的最大值点。

22()()sin n f x x x x '=-，当01x <<，22()()sin 0n f x x x x '=->；当1x >，22()()sin 0n f x x x x '=-≤。(1)f 为极大值，也为最大值。

（2）220

()()sin (1)x n f x t t tdt f =-≤? 11

2222001(1)()sin ()(22)(23)n n f t t tdt t t t dt n n =-≤-=++??

高等数学上B （07）解答

一、填空题：（共24分，每小题4分）

1．2sin[sin()]y x =，则

dy dx =22

2cos[sin()]cos x x x 。 2．已知21a dx x π+∞-∞=+?，a =__1______。

3．

1ln e e x dx =?22e -。 4． x

y e =过原点的切线方程为y ex =。

5．已知()x

f x e =，则'(ln )f x dx x ?

=x c +。 6．

a =

32-，b =9

2 时，点(1,3)是曲线32y ax bx =+的拐点。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

1．求cos (sin )x y x =的导数。

解：cos lnsin cos lnsin ()(sin lnsin cot cos )x x x x y e e x x x x ''==-+

2．求sin ln xdx ?。

解：sin ln sin ln cos ln xdx x x xdx =-??

sin ln cos ln sin ln x x x x xdx =--?

1(sin ln cos ln )2x x x x C =

．求。

解：212=+

5ln |x C =+ 4．设

,0()1,0x k e x f x x x ?≥?=?+

00(0)lim lim k k x x x f x x --→-→-'==

01(0)lim 1x x e f x +→+-'==

1k =

．求极限

n →∞+ 。解：

lim n n

n k →∞→∞

=+=

lim n n k →∞==

10=?=

10ln(|ln(1x ==+

6．求过点(2,2,0)且与两直线21010x y z x y z +-+=??-+-=?和200x y z x y z -+=??-+=?

平行的平面方程。解：两直线的方向向量分别为1

(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s =-?-=--2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)s =-?-=--，平面的法向量(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)n =--?--=--。平面方程为0

x y z -+=。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分） 1．设cos sin x R t y R t =??=?，求22d y dx 。解：cot dy t dx =-

22311(cot )sin sin t d y t dx R t R t '=-=--

2．求

0()(1)x F x t t dt =-?在[1,2]-上的最大值和最小值。

解：()(1)0,0,1F x x x x x '=-===

1012001(0)0,(1)(1),6

52(1)(1),(2)(1)63F F t t dt F t t dt F t t dt -==-=--=-=-=-=??? 最大值为23，最小值为56-

。

3．设()y y x =由方程22(1)ln(2)0x y x y +-+=确定，求'(0)y 。

解：方程

22(1)ln(2)0x y x y +-+=两边同时对x 求导 2222(1)202x y y xyy x y '+'++-=+ 将

10,2x y ==代入上式

5'(0)8y = 4．求由2y x =与

2y x =围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积。解：140()V y y dy π=-?

310π=

四、证明题：(共12分，每小题6分)

1．证明过双曲线

1xy =任何一点之切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。证明：双曲线1xy =上任何一点(,)x y 的切线方程为

21()Y y X x x -=-

切线与x 轴、y 轴的交点为1(0,),(2,0)y x x +

故切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 1()2s x y x =+=

2．设函数

()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明：至少存在一点ξ使得

()()()()b a f g x dx g f x dx ξξξξ=?? 证明：令

()()()b x x a

F x g x dx f x dx =?? ()()0F a F b ==，由Rolle 定理，存在一点[,]a b ξ∈，使()0F ξ'=，即 ()()()()b a f g x dx g f x dx ξ

ξξξ=??

高等数学上解答（07）

一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．

|sin |()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞是 A 。

（A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）有界函数；（D ）单调函数

2．当0x →时，2()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 B 是同阶无穷小量。（A ）3x ；（B ）

4x ；（C ）5x ；（D ）2x

3．直线2020x y z x y z -+=??+-=?与平面1x y z ++=的位置关系是 C 。（A ）直线在平面内；（B ）平行；（C ）垂直；（D ）相交但不垂直。 4．设有三非零向量

,,a b c 。若0, 0a b a c ?=?= ，则b c ?= A 。（A ）0；（B ）-1；（C ）1；（D ）3

二、填空题（每小题4分，共16分）

1．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为(,1)e 。

2．20tan lim

(1)x x x x x e →-=-13。

3．方程

2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。 4．曲线

2 y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为5π

。

三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．已知2sin ()lim ()t t t x f x t →+∞-=，求()f x '。

解：22sin sin ()lim()t x t t x f x e t -→+∞-==

2sin ()sin 2x f x e x -'=-

2．求不定积分1[ln(ln )]ln x dx x +?。

解: 11[ln(ln )]ln(ln )ln ln x dx x dx dx x x +=+???

11ln(ln )ln ln x x dx dx x x =-+??

ln(ln )x x C =+

．计算定积分1241sin (1x x dx x -+?。

解：1112244111sin sin ((11x x x dx x dx x dx x x ---=+++???

(0x dx -=+? sin 22202sin cos x t t tdt

==? 8π=

4．求不定积分1sin 1cos x dx x ++?。

解：1sin 1sin 1cos 1cos 1cos x x dx dx dx x

x x +=++++???

21cos sec 221cos x d x dx x =-+?? tan ln |1cos |2x x C =-++

5．已知

(ln )f x x '=，且(1)1f e =+，求()f x 。解：令ln x t =，()t f t e '=

()x f x e C =+

(1)1f e =+，()1x f x e =+ 四、（8分）设

()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=，且1(0)2f '=-。求(1)f '。解：由(1)2()f x f x +=，(1)2(0)f f =

1()(1)

(1)lim

1x f x f f x →-'=- 10(1)(1)lim x t t f t f t =+→+-= 02()2(0)lim t f t f t →-=

2(0)1f '==- 五、（8分）证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。

证明：只需证明

(1)ln 1x x x +>-。令()(1)ln 1f x x x x =+-+

1()ln 0f x x x '=+

>，()f x 在[1,)+∞单调递增。

(1)0f =，当1x >时，()0f x >。即22(1)ln (1)x x x ->-。

六、（8分）已知220()()()x

F x x t f t dt ''=-?，()f x ''连续，且当0x →时，()F x '与2x

为等价无穷小量。求(0)f ''。

解： 20()lim

1x F x x →'=

2222000()()()()()x x x

F x x t f t dt x f t dt t f t dt

''''''=-=-??? 2200

()2()()()2()x x

F x x f t dt x f x x f x x f t dt '''''''''=+-=?? 022002()()lim lim 2(0)x x x x f t dt F x f x x →→'''''==?

1(0)2f ''= 七、（8分）

设有曲线24 (01)y x x =≤≤和直线 (04)y c c =<<。记它们与y 轴所围图形的面积为1A ，它们与直线1x =所围图形的面积为2A 。问c 为

何值时，可使12A A A =+最小？并求出A 的最小值。

解：4

120(1c A A A dy

=+=+??

()1A c '=

令()10A c '=，得1c =。 1

(1)0

2A ''=>，1c =为最小值点。

401min (11

A dy =+=??

八、设()f x 在(,)a b 内的点0x 处取得最大值，且|()| ()f x K a x b ''≤≤≤。

证明：|()||()|()f a f b K b a ''+≤-

证明：0()0f x '=

在0[,]a x 对()f x '应用拉格朗日定理

01010()()()() ()f x f a f x a a x ξξ''''-=-<<

100()()(), |()|() f a f a x f a K x a ξ''''=-≤-

在0[,]x b 对()f x '应用拉格朗日定理

02002()()()() ()f b f x f b x x b ξξ''''-=-<<

200()()(), |()|()

f b f b x f b K b x ξ''''=-≤-

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、

)1ln(2)(;

)1ln()()1ln()(,d 11

c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=

+-=?　　　　　　则设

答( ) 2、

lim ()()()()n n n n n

e e e e A B e C e D e →∞-??=

121

1 　　　　　　　　　　　　　答（　　）

3、

)

()1()1()()1(1)()1)(1()1()()1)(1(1)()

10)(()(11

)(1

121

11　　　答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　式中　　格朗日型余项阶麦克劳林展开式的拉的++++++++θ--θ-θ-+-θ-+<θ<=-=n n n

n n n n n

n n n x x D x x C x x n B x x n A x R n x x f 4、 )()()()()()()()()(0

, 2cos 1)

(lim ,0)0(,0)(0　　　　　　　　　答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的驻点但不是极值点　是的驻点　　　　　　　不是的极小值点

　是的极大值点　　　　　　是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x x x f f x x f x ==-==→ 5、 12

)(49)(94

)(421

)()1(2)4,0(422002　　　　　　　　　　　图形的面积所围成的平面与曲线处的切线上点曲线D C B A A x y T M M x x y =

-=+-=

答( ) 二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

1、设　，则＿＿＿＿

y x x y =++'=ln tan()11

、并相应求得下选内的近似根时，在用切线法求方程023,)01(0152x x x x -=--- __________________ 101 分别为，则一个近似值x x x

3、设空间两直线λ1

2111

-=+=-z y x 与x y z +=-=11相交于一点，则λ=????? 。

4、. ___________0 , 001

sin )(2==?????=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在　　　　　，当，当 5、是实数．，其中b dx x b _________________ 0 =?

三、解答下列各题

( 本大题4分 )

设平面π与两个向量 a i j =+3和 b i j k =+-4平行，证明：向量 c i j k =--26与平面π垂直。

四、解答下列各题

( 本大题8分 )

的敛散性．

讨论积分?10p x dx

五、解答下列各题 ( 本大题11分 )

为自然数。

其中的递推公式

导出计算积分n x x x I n n ,1d 2?+=

六、解答下列各题 ( 本大题4分 )

求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线???=-=

--+0100

52:1

z z y x l 垂直的直线方程。

七、解答下列各题

( 本大题6分 )

x x

x x x tan 2cos sin 1lim 0-+→计算极限

八、解答下列各题 ( 本大题7分 )

．

，并计算积分为自然数的递推公式试求??=e e

n n dx x n dx x I 13

1)(ln )()(ln 九、解答下列各题 ( 本大题8分 )

设在内可微但无界，试证明在内无界。f x a b f x a b ()(,),()(,)' 十、解答下列各题

( 本大题5分 )

[])()(lim , )()(lim )(lim 000000u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明：，设。

十一、解答下列各题

( 本大题4分 )

体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R

十二、解答下列各题

( 本大题5分 )

p A B ,两个钉子上，如图。设

cos ,cos αβ==121345，求A B ,所受的拉力f f 12,。 B

十三、解答下列各题

( 本大题6分 )

一质点沿抛物线运动其横坐标随着

时间的变化规律为的单位是秒的单位是米求该质点的纵坐标在点，处的变化速率．

,(),(,),

()y x x t x t t t x M =-=1086

十四、解答下列各题

( 本大题7分 ) ;)1.(,02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=-==y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x

、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、C

2、答：B

3、C

10分

4、（Ｂ）

5、C

二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、

()sec ()(tan())11121122-

+++x x x x x

10分

2、x 00= 5分 x 11

5=-

10分

3、5

4、-1

5、-<=>?????????b b b b b 2

220

20，　，，

10分

三、解答下列各题

( 本大题4分 ) 平面法向量 n a b i j k =?=-=-31

01144122{,,} 4分 n c =-2

n 与 c 平行 8分从而平面与 c 垂直。 10分

四、解答下列各题

( 本大题8分 )

当时，

p dx

x dx x p x p p p p p ≠==-?=--??→+→+-→+-11111111

010101101lim lim()lim ()

εεεε

εε

=-<+∞>?????1

1p p p ，

，

5分当时，

p dx x dx

x x p ====+∞

??→+1010101lim ln εε

7分 .1110时发散时收敛，当当≥

10分五、解答下列各题

( 本大题11分 )

?+=+11

:21x d x I n n 法一解

=++++++?x x n x x dx n n 2122111()

3分 =+++++=+++++++=+++++++++-+???x x n x x x dx

x x n x x dx n dx

x x x x n I n I n n n n n n n n

212

222

122221211111

11111

11()()()()()

故I x n x n n I n n n

++=-++-+22

11()

7分　　　　　　　　　　　　　　　　　法二令　　I x x x c

I x n x n

n I n I x x c x t dx tdt

n n n 12

21202211

112121=+-+∴=-+-+--≥=+++==--ln ()()ln tan sec 10分 ∴=

=??I tdt t t t

t dt

n n n sec tan sec sec tan 2 3分 ????++++=++==+++++dt

t t

n dt t t n t t dt

t t

n t t t

d n n n n n n tan sec )1(tan sec )1(tan sec tan sec )1(tan sec tan sec 2312311 5分

　=++++∴=-+-++∴=-+-+-

-≥++++--x x n I I I n

n I x n x I x n x n n I n n n n n n n n n n 212221

2121

111

111212()()

()()()

7分 I x x x c

=+-+ln

I x x c 021=+++ln .

10分六、解答下列各题

( 本大题4分 )

π的法向量为={,,}111

l 1的方向向量为

S 12101210=-=-{,,}

3分所求直线方向向量为 S =?=-1123{,,} 7分从而所求直线方程为 x y z -=-=+-412

3 10分

七、解答下列各题

( 本大题6分 )

原式=+-++→lim sin cos tan (sin cos )x x x x

x x x x x 021212

3分 =+→1

2202lim(sin tan sin tan )

x x x

x x

7分 =+=1

2145

2()

10分八、解答下列各题

( 本大题7分 )

I x dx

x x n x dx n n e

n e n e

==-??-(ln )ln (ln )1111　

=--e nI n 1

4分于是　I e ne n n e n dx n n e

=-+--+-?()()!111

)1(!)1(2)1()1()1(1--+--+--+-=-e n e n n e n n ne e n n 7分所以　　　　(ln )()

x dx e e e e e e 3

1366162=-+--=-?

10分九、解答下列各题

( 本大题8分 )

证明反证设在内有界即则有:()(,),(,)()'?>?∈'≤f x a b M x a b f x M 0 2分使之间与介于则至少存在的条件满足拉格朗日中值定理为端点的区间上与在以则对取,,)(),,(),(0000x x x f x x x x b a x b a x ξ≠∈?∈　　f x f x f x x ()()()()-='-00ξ 5分

即　　　记为f x f x f b a f x M b a K

()()()()()()≤+'-=+-00ξ

8分

即在内有界与题意矛盾故假设不正确即在内无界f x a b f x a b ()(,),,()(,).'

10分

十、解答下列各题 ( 本大题5分 )

00)

()(lim 00

>η>ε=→，存在任给由u f u f u u

ε<-η<-)()(00u f u f u u 时，恒有使当 4分

η<-?δ<-<>δη=ε=?→0010)(00

)(lim 0

u x x x u x x x 时，使当，存在，取又 8分

[]故当时，就有成立

000<-<-

x x f x f u →=0

10分

十一、解答下列各题

( 本大题4分 )

h h R h V h R r h 20)4

()2

(,22

2<<-π=-=　　其体积为　　　则圆柱体的底面半径设内接圆柱体的高为

4分

　唯一驻点　'=-=V R h h R

π()

223

423

''=-

8分

故时圆柱体体积最大h R =

10分

十二、解答下列各题

( 本大题5分 )

按点

O 受力平衡，应有

f f p

f f 12120cos cos sin sin αβαβ+=-=??

?，即

1213454513

350

81212f f p f f +=-=?????()()

分分

解得

f p f p

1239562556==,

(10分)

十三、解答下列各题

( 本大题6分 )

48==t x 时，当　

2分

(3423

====t t t dt dx 米／秒

4分

)( 8)(18 )210(==-=?-=t x x dt

x dt dy 米／秒

答：质点的纵坐标在，处的变化率为米／秒M ()()81618-

10分

十四、解答下列各题

( 本大题7分 )

解　　　　　交点　　　　　　:()(,).(arcsin )12112132222201212

2x y x y S x dx x dx

x x x =

=-=+-=+-+?? 3分

-+-131224ππ =-π416, 5分 ()()22401

212　V x dx x dx x =+-??ππ 8分

=+---=-π

πππ5

22132214232215

()()(). 10分

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、

lim(cos )()sec x x x A e B e C D →--=π

1414222　　．　　．　　．　　．

　　　　　　　　　　　答（　　） 2、（　）

　　　　　　　答　　　　　　　　　　要条件

的充分条件，也不是必Ⅱ不是Ⅰ　的充要条件

Ⅱ是Ⅰ　的必要但非充分条件

Ⅱ是Ⅰ　的充分但非必要条件

Ⅱ是Ⅰ　关系是Ⅱ与则且的某去心邻域内可导在　　设)()()()()()()()()()()()(:)()(lim )()

()(lim )(,

0)(lim )(lim 0)(,)(),(00000D C B A A x g x f A x g x f I x g x f x g x x g x f x x x x x x x x =''===≠'→→→→ 3、 [][][]　　　　答（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　上的定积分，．在　差上的积分与一个常数之，．在　．一个原函数

　　　　　．原函数一般表示式　　的是，则　连续，，在设b a D b a C B A x f x F b x a t x f x F b a x f x

a )( )()( )()()()(d )()()(≤≤=?

4、）　　　　　　答（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　是等价无穷小，则的导数与时，若已知2

)( 1)(2

1)( 1)()0(d )()()(02022--=

''''-=→?D C B A f x t t f t x x F x x

二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、_________________2

的铅直渐近线是x xe y = 2、=?

x x d tan 2__________.

3、

[]上的定积分与，在，则为周期的连续周期函数为以设)0()()(≠+a T a a x f T x f []______________0)(是上的定积分的大小关系，在T x f

4、直线

x y z 12375=+=+与平面39170x y z +-+=的交点为??????????????????? 。三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分)

1、(本小题6分) ().1)1ln()(阶麦克劳林展开式带拉格朗日型余项的写出n x x x f <-=

2、(本小题6分) 指出锥面x y z 22

416+=被平行于zox 平面的平面所截得的曲线的名称。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分)

1、(本小题1分)

d x x ?求　 2、(本小题2分)

．

计算?+4

0)(dx x x

3、(本小题5分) ?

+.d ln 1ln x x x x 求

4、(本小题5分) ．求?+4

)1(x x dx

5、(本小题11分) 设　，求．y x x x dy x ()()

()tan =-<<21212π 五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分)

1、(本小题7分)

为偶函数．试证：?π++=0

2)1cos 2ln()(dx x t t t F 2、(本小题7分) 试证：对角线向量是

{}{}=--=-341236,,,,,的平行四边形是菱形，并计算其边长。

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分)

1、(本小题6分) 在抛物线找出到直线的距离为最短的点y x xk y =-=2342

2、(本小题6分)

设曲线的方程为已知在曲线的任意点处满足且在曲线上的点处的曲线的切线的方程为求此曲

线的方程y f x x y y x x y =''=--=().(,),

(,),.

602236

3、(本小题8分)

..42)(,4.01000)().(),(,,2000者剩余点及消费者剩余和生产求均衡

供给曲线方程为求曲线方程已知需

右图区域间的面积直线者剩余定义为供曲线与生产

右图区域间的面积线与直线费者剩余定义为需求曲消

曲线相交时的价格定义为供给曲线与需求均衡价格经济学上x x p x x p p p p p p =-=∏=I =

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

处的连续性．在试判定处不连续，

在处连续，在设000)()()()()(x x g x f x F x x g x x x f +==

2、(本小题5分)

是否为无穷大？

，试判定，若)()(lim )(lim )(lim 0

x g x f A x g x f x x x x x x ?=∞=→→→

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、D 10分

2、答　()

B 10分 3、B 10分 4、B

10分

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、x =0

2、=-+tan .x x c

3、=

10分

4、(,,)

243 三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)

f x x x x x n R x n

n ()()

=-----+2323 7分

R x n x x n n n ()(),=-+?-++111

101

1ξξ介于与之间

10分

2、(本小题6分)

用y y =0所截得的曲线为?????=-=-0

2164y y y z x 4分故y 0

0=时为一对相交直线 y 00≠时为双曲线 10分

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

32d 23

c x x x +=?

10分

2、(本小题2分)

原式=+()x x 23

223 7分

=403 10分

3、(本小题5分)

?+x x x x

d ln 1ln

?+=)

d(ln ln 1ln x x x

3分

?++-++=x

x x x ln 1)ln 1d()ln 1d(ln 1

7分

.ln 12)ln 1(32

c x x ++-+=

10分

4、(本小题5分)

令　x t =

原式=+?

212

t t dt ()

4分

=-+?2111

12()t t dt

6分

[]=-+211

ln ln()t t

8分

=243ln

10分

5、(本小题11分)

dy y x dx ='()

2分

　=----??????()

sec ln()tan tan 22221222

2x x x x x dx x π

πππ

10分

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

F t t t x dx

()ln(cos )-=-+?20

21π

2分

令　x u =-π

F t t t u du

()ln(cos )-=-++?20

21π

6分

=++?ln(cos )t t x dx

21π

8分 =F t ()

10分

2、(本小题7分)

因为?=?+-?+-?-=3243160()()()，故⊥

因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。（6分）

边长=

[]

=+-+-??????+++-?????

?123411

2236222122

222122

()()()//

=523 （10分）

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)

设抛物线上任点到直线的距离为(,),x x 2

d x x x x =

--+=-+342

916

543222()

4分

'=-=''=

>d x x d 1

58338

850()

唯一驻点　

最小

时故当d x ,83

8分

即点，到直线的距离最短

89643420?? ???--=x y

10分

(注如用切线平行于已知直线解也可以)

2、(本小题6分)

)

1(3d 2　　　　　　c x x y y +=''='? 3分

又由得　　　代入得2362

3102x y y x y -==-∴'=

-(,)()

'=+

y x 3232

5分

c x x x x y ++=+

=∴?32

d )323(32

232

,2)2,0(3-+=∴-=-x x y c 代入得再将 10分

3、(本小题8分)

p x p x =-=??

?100004422

., 解出x =20.

均衡点p =840.

3分

[]

[]??-=--20

020

24284033

.2133840)4.01000(dx

x dx

x 生产者剩余　　　　消费者剩余 6分 =8400

10分

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

F x f x g x x ()()()=+在处必不连续0

4分

若在处连续，则

在处也连续，矛盾！F x x g x F x f x x ()()()()00=-

10分

2、(本小题5分)

答：不一定．

若，A f x g x x x ≠?=→0110

0lim

()()

∴?=∞→lim ()()x x f x g x 0

4分但若则等式可能不成立A =0

6分

例如，１

lim lim ()x x x x x →→-=∞-=121

110

但lim ()x x x →-?-=≠∞121

110

10分

1、的值为

，　　极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x

x b

　　答（　　）　　　　　　　　　　．　　．　a

D e C a b B A a b

)

()(ln )(1)(

2、

lim(cos )

cos x x

x A e B C D →+=

∞

3181．　　．　　．　　．　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

3、

设在上连续在内可导记ⅠⅡ在内则：

Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件

Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件

Ⅰ是Ⅱ的充要条件

Ⅰ与Ⅱ既非充分也非必要条件

　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　　f x a b a b f a f b a b f x A B C D ()[,],(,)()()()()(,)()()()()()()(),()()()()()()()

='≡0 4、 ())

()()()()())(()())(()()

(,)(,)(00000000　　答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的极值点

必定不是　的极值点

为　必定为曲线的驻点

，　必为曲线的拐点

，　　　则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若x f x D x f x C x f x B x f x A x f y x f x = 5、一长为的杆绕点在水平面上作圆周运动杆的线密度为杆上一点到点的距离角速度为则总动能　　　　　　　　　　Lcm OA O r r O A L B L C L D L .,

,,()()()()ρωωωωω==

522222222

答( ) 二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

1、?=-x x d )3(32

_______________.

2、?-=x

x f dt t t x f 0__________)()1()(的单调减少的区间是，则设

3、对于β的值，讨论级数()

n n n β

-=∞∑11

（1）当??????时，级数收敛