复变函数与积分变换试题及答案5

复变函数与积分变换试题与答案 1．若

u(x,y)与v(x,y)都是调和函数，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。

（ ） 2．因为

|sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。

（ ）

3．若

f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。

2

（ ）

（ ）

4．对任意的z，Lnz?2Lnz

二 填空（每题3分）1．2．

ii?arg??2?2i ， ?2?2i 。

ln(?3i)? ， ii? 。

2f(z)?2z?4z下，曲线C3.在映照在

z?i处的伸缩率是 ，旋转角

是 。

1?e2z44.z?0是z1?e2zRes[4,0]?z的 阶极点， 。

三 解答题（每题7分） 设

f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)。问常数a,b,c,d13为何值时

f(z)在复平面上处处解

析？并求这时的导数。

求

(?1)C的所有三次方根。

其中C是z?3．

4．

z2dz?0到z?3?4i的直线段。

?|z|?2ezcoszdz。(积分曲线指正向)

dz?|z|?2z(z?1)(z?3)5．。(积分曲线指正向)

f(z)?6 将

1(z?1)(z?2)在1?|z|?2上展开成罗朗级数。 |z|?1保形映照到单位圆内|w|?1且满足

11πf()?0argf?()?222的分式线性映，

7.求将单位圆内

照。四 解答题（1,2,3题各6分, 4题各9分）

1．求

?0 t?0f(t)???kt?e t?0 （k为正实数）的傅氏变换。

设

f(t)?t2?te?t?e2tsin6t??(t), 求f(t)的拉氏变换。

F(s)?1s2(s2?1)，求F(s)的逆变换。

设

4. 应用拉氏变换求解微分方程

?t?y???2y??3y?e?,? (?0) 1?y(0)?0y

复变函数与积分变换试题答案 1若

u(x,y)与v(x,y)都是调和函数，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。

（×）

|sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。

（×）

2．因为

3．若

f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。

2

（√）

（×）

4．对任意的z，Lnz?2Lnz

1．

i2i3πππ?arg[]??ln(?3i)?ln3?ii??2kπ?2?2i4， ?2?2i4。 2．2, i?e2。

πf(z)?2z2?4z下，曲线C在z?i处的伸缩率是42，旋转角是4。

3.在映照

1?e2z44.z?0是z设

1?e2z4Res[4,0]??z3。 的3阶极点，

为何值时

f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)。问常数a,b,c,df(z)在复平面上处处解

析？并求这时的导数。

?u?v?u?v?ax?2by?dx?2y?2x?ay?2cx?dy?y?y解: 因为?x,,?x,,(2分)则

??u?v??x??y???2x?ay?dx?2y??u???v???y?xax?2by??2cx?dy(1分) 可得: (x,y)对任意的有? 即?a?d?2,b?c??1(2分). 这时,

f?(z)??u?v?i?2(x?y)?2i(x?y)或2z?2iz?x?x(2分)

求

(?1)13的所有三次方根。

(?1)?cos解:

132k+12k+1ππ13π+isinπ k?0,1,2w0?cos+isin=+i 333322 (4分), ,

w1?cosπ+isinπ =?1,

w2?cos5π5π13+isin= ?i 3322(3分)

?3．

Cz2dz 其中C是z23?4i03分?0到z?3?4i的直线段。

解: 原式

?[?zdz]32z33?4i2分(3?4i)3?[]0?(2分)33或

原式

??|z|?20434分43x331分4x(1?i)dx?(1?i)[]0?9(1?i)3(2分)3333

。(积分曲线指正向)

4．

?ezcoszdz解:原式=0. (7分)

dz?|z|?2z(z?1)(z?3)5．。(积分曲线指正向)

解: 原式?2πi?Res[f,0]?Res[f,?1]?(3分)(2分)11πi =2πi[lim?lim]??(2分)z?0(z?1)(z?3)z??1z(z?3)6

f(z)?6 将

1(z?1)(z?2)在1?|z|?2上展开成罗朗级数。

?11zn1解: 原式??(1分)=-?n?1?n?1] (3?3分)z?2z?1zn?02

7.求将单位圆内照。

|z|?1保形映照到单位圆内|w|?1且满足

11πf()?0argf?()?222的分式线性映，

12(4分)解: 设w?f(z)?ei?11?z2z?w?i2z?1(2分)2?z.

,则

14πf?()?ei????(2分)232,故

1．求

?0 t?0f(t)???kt?e t?0 （k为正实数）的傅氏变换。

??0解: F(?)??e?kte?i?tdt(2分)?设

?11??[e?(k?i?)t]0?k?i?k?i?.

f(t)?t2?te?t?e2tsin6t??(t), 求f(t)的拉氏变换。

116???1 (1,2,2,1分)s3(s?1)2(s?2)2?36

解: F(s)?F(s)?设

-11s2(s2?1)，求F(s)的逆变换。

-1(1分)11-1解: L[F(s)]?L[2]?L[2] ? t?sint (2.5,2.5分)ss?1

4. 应用拉氏变换求解微分方程

?t?y???2y??3y?e?,? (?0) 1?y(0)?0y

解: 因为s2Y(s)?sy(0)?y?(0)?2[sY(s)?y(0)]?2Y(s) ?1, (3分)所以s?1

(2分)s?2311Y(s)? ???(2分)(s?1)(s?1)(s?3)8(s?1)4(s?1)8(s?3)

311151y(t)?et?e?t?e?3t(2分)或y(t)?cht?sht?e?3t(2分)848888

复变函数与积分变换试题与答案

判断题（每题3分，共12分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、

Ln?z?在其定义域内解析。 （ ）

f?z??u?x,y??iv?x,y?的u?x,y?与v?x,y?互为共轭调和函数。 ( )

2、解析函数3、如果4、函数

z0是f?z?的奇点，则f?z?在z0不可导。 （ ） f?z?在z0处的转动角与z0所在曲线C的形状及方向无关。 （ ）

二、填空题（每题3分，共15分） 1、

?1?i3的指数表达式为

2、1?2z?3z2?????nzn?1????的和函数的解析域是：

z?e?1?e?1Res?2,0??2?z? 3、z?0是z的 级极点，

z4、在映照

f?z??z2下，曲线C在z?i处的伸缩率是

1??i?则F [f(t-2)]=

[f?z?]?5、设F

三、计算（每题7分，共28分） 1、求z2?2i?0的全部根

coszdz?z?1z32、 （积分曲线取正向）

dz?z?2z?z?1?3、

（积分曲线取正向）

dz?|z|?2z6(z?1)(z?3)4、应用留数的相关定理计算： （积分曲线取正向）

四、解答题（每题8分，共24分）

11v?x,y???x2?y222为虚部的解析函数f?z?，使f?0??0 1、求以

f(z)?2、将函数

1z?1?z?2在圆环

0?z?1?1内展成罗朗级数

3、求把上半平面Im(z)＞0映照成单位圆五、 解答题（每题7分，共21分） 1、设

|w|＜1的分式线性函数，并使f(i)=0，f(-1)=1。

F(?)??i?[?(???0)??(???0)]，求其像原函数f(t)

2t2、利用拉氏变换的性质求L [cos3t?e]

3、解微积分方程：答 案

y'(t)??y(?)d??1, y(0)?00t。

1：×；2：×；3：×；4：√

1：2e?i2?/3。2：

z?1e?2i?。3：1；1。4：2。5：

1/21??i?

1、解：原式?z2?2i?z1/2??2i??2e?i/2?2k?i(2分）??1/2?2e?1/4?k??i?k?0,1?（3分）

单根：

2e?i/4;2e5?i/4 (2分)

(5分）???i（2分）

cosz2?idz?cos???z?z?0?z?1z32!2、解：

3、dz1??1??dz（3分）??z?2z?z?1??z?2?z?1z??11??dz??dz（1分）?2?i?2?i（2分）?0（1分）z?2z?1z?2z

2??12?i?Res?3,zk?z(z?1)(z?3)k?1?? 4、解：原式=

??1??2?i?Res?3,zk?k?3?z(z?1)(z?3)? z3?3

4

z1?0

z2?1 （1分）

z4?? （1分）

??11Res?3,3??33?2 （2分） ?z(z?1)(z?3)??????111?Res?3,???Res??2,0?111z(z?1)(z?3)???(?1)(?3)z?6?zz?z??=0 (2分)

?2?i?∴原式=

?1?i333?2=3 （1分）

（2分）

解：

?f??z??ux?ivx?vy?ivx（2分）?y?ix??i?x?iy???iz?f?z???

iz2f??z?dz（1分）???izdz???c2 （1分）

由

f?0??0?c?0 （1分） 得

iz2f?z???2 （1分）

?11nn??（2分）????1??z?1?z1?z?1n?02、解：

?z?1?1? （4分）

?f?z??

?1z?1?z?n2?nn?????1z?1?z?1?2?n?0 （1分） n?21?

????1??z?1?n?0?0?z?1?1? （1分）

??ei?3、解：设

z?iz?i

（3分）

?f(?1)?1

1?ei?

? 即

?1?i?ei???i?1?i （3分）

?iz?iz?i???i?e2z?iz?i ∴

（2分）

1、f(t)?F?1?F(?)???1??i?tF(?)ed?（2分）???2?（2分）

i??i?t{?(???)??(???)}ed?00???2?

ii?0te?e?i?0t2??（2分）??sin?0t （1分）

s?22ts?Lcos3t?e??L?cos3t??22(s?2)?9 （4分） s?92、 （3分）

??111111? sY(s)?Y(s)?Y(s)?2?(?)ss2s?1s?1s?13、 （3分） （2分）

1te2t?1?t? y(t)?(e?e)?22et （2分）

中南大学考试试卷(B)

单项选择题（15分，每小题3分）

设

?z2?,z?0f?z???z?0,z?0f?z??，则的连续点集合为（ ）。

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)u(x,y)与v(x,y)（A）单连通区域 （B）多连通区域 （C）开集非区域 （D）闭集非闭区域 设

，那么

在点

?x0,y0?可微是

f?z?在点

z0?x0?iy0可微的（ ）。

?A?充分但非必要条件?C?充分必要条件

下列命题中，不正确的是（ ）。

?B?必要但非充分条件?D?既非充分也非必要条件

?A?如果无穷远点?是f?z?的可去奇点,那么Res?f?z?,???0?B?若f?z?在区域D内任一点z0的邻域内展开成泰勒级数,则f?z?在D内解析.?C?幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.

ez?i?D?函数??z将带形域0?Im(z)??映射为单位圆??1.e?i

设c是

z??1?i?t，t从1到2的线段，则

?argzdz（ ）

。

c?A? 设

?4在

?B?0?z?1?4iz?0?C??4?1?i?，那么

?D?1?i

f?z?内解析且

limzf?z??1Res?f?z?,0??（ ）。

?A?2?i?B??2?i的主值为 。

?C?1?D??1

填空题（15分，每空3分） 1．

Ln?1?i?2．函数

f(z)=zRe?z?+Im?z??n仅在点z= 处可导。

n?z?n??2??1??11???????????z?33????n?1n?13．罗朗级数的

n收敛域为 。

w?

4． 映射

1

z，将圆域z?1?1映射为 。

5．

1dz??coszz?1 。

三．(10分)求解析函数

f(z)=u+iv，已知u?x2?y2?xy,f(i)??1?i。

四．(20分)求下列积分的值

1．

z?4?ezz2?z?1?2dz

2．

???0xsinxdx?a?0?x2?a

五．(15分)若函数1．2．

??z?在点

z0解析，试分析在下列情形：

z0为函数f?z?的m阶零点； z0为函数f?z?的m阶极点；

?f??z??Res???z?,z0?fz???。 ?求

ez六．（15分）写出函数cosz的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。

七．（10分）求函数

2f?t??1?tu?t????3?t??sin2t傅氏变换。

1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。 填空题（15分，每空3分）

ln2?1．

?4i。2．

?i 。3． 2?z?3?3。4． 半平面

Re?w??12R。5．0。

三．(10分)解:容易验证u是全平面的调和函数。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。

?v?u?v?u???2y?x,??2x?y?x?y?y?x则v(x,y)??0?x,y??0,0??2y?x?dx??2x?y?dy?Cy0????x?dx???2x?y?dy?C11??x2?2xy?y2?C22四．(20分)求下列积分的值 1．

x2??3?e?i

2．这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的

?????xixizedx?2πiRes[R(z)e,ai]22x?a

zeize?a?2?ilim?2πi??πie?az?iaz?ia2

因此???0xsinx1??x1?aixdx?Im(edx)??e.2222???x?a2x?a2

五．(15分)

解:函数??z?在点z0解析等价于在z0的一个邻域内??z????z?????z0??z?z0?????n??z0?n!?z?z0?n?m(1)z0为f?z?的m阶零点等价于在z0的一个邻域内f?z???z?z0???z?其中??z?在点z0解析,??z??0,于是在z0的去心领域

f??z?m??z????z?m??z0?????z??n?1??m??z????z?????z????m??z?z0????z??f?z?z?z0??z?z?z0n!?z??n?1?????f??z??由此可知,Res???z?,z0??m??z0?f?z????f??z??2与上面类似Res?z,z0???m??z0??????f?z???六．

ez?函数距原点最近的奇点?,其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,cosz22??11即R=,收敛范围为z?.由ez?1?z2?z4??z2n??z???,222!n!11cosz?1?z2?z4?2!4!ez?c0?c1z?c2z2?coszz222?1?2n??z??z?2n?!n???及幂级数的除法,可设???z???2???0?1214?1????2!z?4!z??注意到e与cosz均为偶函数,其展开式中不含z2n?1项,可知c1?c3?1于是1?z2?z4?2!1?z2n?n!??c0?c2z?2??1?z2n???2n?!n????329比较同次系数得c0?1,c2?,c4?,224ez3294故?1?z2?z?cosz224七．（10分）

2???z???2??1??i??(?)

证明：

F[1]?2?????F[tu(t)]??

?2F[??3?t?]?e?3?iF[f?t?]??从而

F[sin2t]??i??????2??????2???

1?2?e?3?i?2???????i????(?)?????2??????2???

填空题（3?10=30分） 1、Z2、Z?1?3i，则Z? ，argz?

?1?3i的三角表示式为 ，指数表示式为 f(z)?x2?iy仅在 上可导，处处不解析

3、函数4、

Ln(?i)?

z?c(z?2)(z?3)dz?c:z?15、若，则

6、复数项级数

?(n?1?1i?)2nn2是 级数

7、Fourier变换的微分性质是8、函数

F?f'(t)??

f1(t)f2(t)的卷积f1(t)?f2(t)?

f(z)?1z(z?1)(z?2)9、函数10、函数

有 个有限奇点

f(z)在可去奇点z0处的留数Res?f(z),z0??

二．选择题（3?10=30分）

1、点集

Imz?3是（ ）

z在复平面上连续，

A、半平面 B、圆周 C、直线 D、双曲线2、函数sin当

y??时，有（ ）

A、

sinz?1 B、

sinz?1 C、

sinz?1 D、

sinz?1

3、复变对数函数Lnz是（ ）

A、单值函数 B、双值函数 C、多值函数 D、不一定

dz?n?cz(z?z0)4、设C是以0为中心，r为半径的正向圆周，则（ ）

A、0 B、1 C、2?i D、?i

5、若

f(z)dz?f(z)在D内解析，C为D内正向简单闭曲线，z0为C内一点，则?c(z?z0)（ ）

A、0 B、1 C、6、在

2?if(z0) D、2?i

f(z)的可去奇点z0处，Res?f(z),z0??（ ）

(z)在区域D内解析，z0为D内一点，则f(z)（ ）展为(z?z0)的泰勒级数

A、－1 B、0 C、1 D、?? 7、若f

A、可能 B、定能 C、不能 D、也许能

8、若C是A、

z0某去心邻域内一条简单闭曲线，z0是f(z)的一个孤立奇点，Res?f(z),z0??（ ）

则

C0 B、C?1 C、C1 D、2?i

9、若A、

?(t)是单位脉冲函数，则????(t)f(t)dt＝（ ）

???(0) B、f(0) C、?(1) D、f(1) 10、

F(s)????0f(t)e?stdt，则

f(t)?（ ）

A、L?F(s)??1 B、L?F(s)? C、L?f(t)? 三．计算题（4?7=28分）

1、求下列函数在何处可导？何处解析？ （1）

f(z)?x2?2xyi （2）f(z)?z2?iz

2、设C为正向圆周

z?r?1，计算?ezc(z?1)3dz

1f(z)?13、在

0?z?内，展开

(z?2)(z?3)为洛朗级数

4、用留数计算?zcz2?1dz，C为z?2正向

四、1.求

f(t)?cosw0t的Fourier变换（6分）

F(s)?12.求

s(s?1)2的

Laplace逆变换（6分）

?1 D、

L?f(t)?

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