锐角三角函数(培优)

知识要点

1、 锐角三角函数定义

斜边的对边αα∠=sin 斜边的邻边αα∠=cos

的邻边的对边ααα∠∠=tan 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300、450、600、的记忆规律：

3、 角度变化与锐角三角函数的关系

当锐角α在00∽900之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。

4、 同角三角函数之间有哪些关系式

平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tanB ＝1；

5、 互为余角的三角函数有哪些关系式

Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900－A ）＝ctan A ；

一、选择题

1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ．21 B ．22 C ．2

3 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ．21 B ．3

3 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的

51，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小5

1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝

54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 43 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）．

A ．423sin =A

B ．3

1cos =B C ．42tan =A D

．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）．

A ．sinA

B ．cosA

C ．tanA

D ．1tan A

7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A.5

13 B.1213 C.1013 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．

的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG

= 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．

A

C

B

A ．甲的最高

B ．乙的最低

C ．丙的最低

D ．乙的最高

10．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于（ ）．

A ．

4

3

B ．

34 C ．5

3 D ．

3

5

第4题 第8题 第10题

二、填空题 11．

3

2

可用锐角的正弦表示成__________. 12．如图表示甲、乙两山坡情况，其中t a n α_____t a n β，_____坡更陡. (前一空填“>”“<”或“＝”，后一空填“甲”“乙”)

13．在Rt △ABC 中，若∠C ＝900

，∠A ＝300

，AC ＝3，则BC ＝__________． 14．在Rt △ABC 中，∠C ＝900

，a ＝2， sinA ＝

1

3

， 则c ＝______． 15．如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin （900

- α）＝_______. 16．已知tan α·tan30°＝1，且α为锐角，则α＝______． 17．在△ABC 中，∠A ＝

2

1∠B ＝31

∠C ，则∠A ＝ ，若BC ＝4，则AB ＝ ．

18．已知直角三角形的两直角边的比为1:7，则最小角的正弦值为__________. 三、解答题

19．在Rt △ABC 中，∠C ＝900

，AB ＝13，BC ＝5， 求A sin ， A cos ，A tan ． 20．计算： （1）??

?45cos 2

2

60sin 21

（2）tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° （3）00

00

tan 60tan 45tan 60tan 45-＋2sin 60°

C

B

A

E

F D α

β 12

13 3

4

甲

乙

21．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝

3

2，求cosA 、tanB ． 22．已知α为锐角，求下列各题中α的度数：

（1）tan(α＋12°)＝3

3 （2）24cos 10α-= 23．在△ABC 中，内角∠A 、∠B 满足|sinA －

23|＋(1－tanB)2＝0，请说出△ABC 的至少三个特征．

24．在△ABC 中，∠C ＝900，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，试证明sin 2A ＋cos 2A ＝1；并利用这个公式计算：若sinA ＝7

1 ，求cosA 的值（∠A 为锐角）． 25． 如图，△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC

＝BD ＝3.

（1）求cosA

（2）求BC 的长及△ABC 的面积．

26．在△ABC 中，∠A ＝1200

，AB ＝12，AC ＝6．求sinB ＋sinC 的值．

(提示：过C 点作CE ⊥BA 交BA 的延长线于E ，过点B 作BD ⊥CA 交CA 的延长线于D ．) A B C E

D

1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到千米）

图1

2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD=

60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度,

将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F=

45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈).

3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；

（2）若这段斜坡用厚度为17c m 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶

4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83km 的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正

好行至码头MN 靠岸请说明理由．

5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由

45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；

（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈

第5题 6． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；

N

M 东

北

B

C

A

l (2题图)

17cm

（第3题）

A B

C

参考数据

cos20°≈， sin20°

≈， sin18°≈， cos18°≈

A

B

E F Q

P

（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到）．

（参考数据：3≈，sin74°≈，cos74°≈，tan74°≈，

sin76°≈，cos76°≈）

7．图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长．

8．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.

（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高

（2）求风筝A与风筝B的水平距离.

(精确到m；参考数据：sin45°≈,cos45°≈,

tan45°=1,sin60°≈,cos60°=,tan60°≈）

9．为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．

A

B

45

60

C

E D

(第19题

10.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（精确到）．（参考数据：414.12≈ 732.13≈）

11. 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行

表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部

B 的仰角是37°，底部

C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米（结

果精确到米）

（参考数据：,75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈? 73.13≈）

12. 摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高

度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45?，再往摩天轮的方向前

进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60?．

求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （3 1.732≈，

结果保留整数）．

13.小明想知道西汉胜迹中心湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏

东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．

第19题图 A 45° 60° 第（12）题 B A C （第11题图）

14.

小明家所在居民楼的对面有一座大厦

AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数） （参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010

≈≈≈≈，，，）

15.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区

在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.

第15题图

B

37° 48° D C

A

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