河南省2008年—2014年中考数学压轴题图文解析

河南省中考数学压轴题图文解析

2008--2017年

例1 2017年河南省中考第22题 / 2 例2 2017年河南省中考第23题 / 4 例3 2016年河南省中考第22题 / 6 例4 2016年河南省中考第23题 / 8 例5 2015年河南省中考第22题 / 10 例6 2015年河南省中考第23题 / 12 例7 2014年河南省中考第23题 / 14 例8 2013年河南省中考第22题 / 16 例9 2012年河南省中考第15题 / 18 例10 2012年河南省中考第23题 / 19 例11 2010年河南省中考第22题 / 21 例12 2010年河南省中考第23题 / 22 例13 2009年河南省中考第21题 / 24 例14 2009年河南省中考第23题 / 25 例15 2008年河南省中考第23题 / 27

1

例 2017年河南省中考第22题

如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．

（1）观察猜想 图1中，线段PM与PN的数量关系是_______，位置关系是_______； （2）探究证明 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“17河南22”，拖动点D绕点A旋转，观察左图，可以体验到，△ABD与△ACE保持全等，对应线段的夹角为90°，PM、PN分别为两个三角形的中位线．观察右图，可以体验到，在△AMN中，AM和AN是定值，当点M落在NA的延长线上时，MN取得最大值，此时等腰直角三角形PMN的面积最大．

思路点拨

1．图形在旋转的过程中，对应线段相等，对应线段所在直线的夹角等于旋转角． 2．已知三个中点，不由得要想到三角形的中位线．

3．要探求△PMN面积的最大值，首先这个三角形的形状是等腰直角三角形，只要探求斜边最大或者直角边最大就可以了．

图文解析

（1）PM＝PN，PM⊥PN．

（2）△PMN是等腰直角三角形．说理如下：

如图3，△ABD绕着点A逆时针旋转90°与△ACE重合，那么对应边BD＝CE，对应边BD与CE所在直线的夹角等于旋转角，等于90°，即直线BD⊥CE．

11因为PM、PN分别是△DCE和△CBD的中位线，所以PN＝BD，PN//BD，PM＝CE，

22PM//CE．

所以PM＝PN，PM⊥PN．所以△PMN是等腰直角三角形．

49（3）△PMN面积的最大值为．

2考点伸展

第（3）题的解题思路是这样的：

如图4，连结AM、AN．在△AMN中，AM＝22，AN＝52，当点M落在NA的延长线上时，MN取得最大值，最大值为72（如图5所示）．

49如图5，等腰直角三角形PMN的面积的最大值为．

2当点M落在线段NA上时，MN取得最小值，最小值为32．此时等腰直角三角形PMN

2

的面积为

9． 2

图3 图4 图5

3

例 2017年河南省中考第23题

如图1，直线y??2x?c与x轴交于点A(3, 0)，与y轴交于点B，抛物线34y??x2?bx?c经过点A、B．

3（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M(m, 0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N．

①点M在线段OA上运动，若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M、P、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M、P、N三点为“共谐点”．请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值．

图1 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“17河南23”，拖动点M在x轴上运动，可以体验到，△BPN可以两次成为直角三角形．观察P、M、N三点的位置关系，可以体验到，每个点都可以成为其它两点的中点．

思路点拨

1．讨论△BPN与△APM相似，转化为讨论直角三角形BPN．

2．分三种情况讨论P、M、N的关系，把位置关系转化为纵坐标间的数量关系．

图文解析

（1）将点A(3, 0)代入y??22x?c，得c＝2．所以y??x?2，B(0, 2)． 334设抛物线的交点式为y??(x?3)(x?n)，代入点B(0, 2)，得－4n＝2．

3141410解得n??．所以y??(x?3)(x?)??x2?x?2．

23233BO2（2）①在Rt△APM中，tan∠PAM＝＝．

AO3因为△BPN与△APM有一组对顶角，如果它们相似，那么△BPN是直角三角形． （i）如图2，当∠BNP＝90°时，BN//x轴，点N与点B关于抛物线的对称轴对称．

555抛物线的对称轴为直线x＝，所以点N的横坐标为．所以M(, 0)．

422HB2（ii）如图3，当∠NBP＝90°时，作BH⊥MN于H，那么＝．

3HN241077由HB＝HN，得m?(?m2?m?2)?2．解得m?．所以M(, 0)．

333444

图2 图3 11②m的值为，?或－1．

24考点伸展

最后一小题分三种情况讨论：

①如果P为NM的中点，那么yN?2yP．

4102解方程?m2?m?2?2(?m?2)，整理，得2m2－7m＋3＝0．

3331解得m?（如图4所示），或m＝3（舍去）．

2②如果N为PM的中点，那么yP?2yN．

2410解方程?m?2?2(?m2?m?2)，整理，得4m2－11m－3＝0．

3331解得m??（如图5所示），或m＝3（舍去）．

4③如果M为PN的中点，那么yP??yN．

2410解方程?m?2??(?m2?m?2)，整理，得m2－2m－3＝0．

333解得m＝－1（如图6所示），或m＝3（舍去）．

图4 图5 图6

5

图5 图6

（3）当A、D、E三点共线时，BD＝45或125． 5考点伸展

第（3）题的思路是这样的：

如图7，当点E在AD的延长线上时，四边形ABCD是矩形，此时BD＝AC＝45． 如图8，当点E在AD上时，在Rt△ACD中，AC＝45，DC＝4，所以AD＝8． 因此AE＝AD－ED＝8－2＝6． 由

AE52125＝，得BD＝． AE?BD255

图7 图8

11

例 2015年河南省中考第23题

如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．

（1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．

请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

图1 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，“使△PDE的面积为整数” 的点P共有11个．

思路点拨

1．第（2）题通过计算进行说理．设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长．

2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE的周长最小值转化为求PE＋PF的最小值．

图文解析

（1）抛物线的解析式为y??x2?8．

（2）小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下： 设点P的坐标为(x,?x2?8)，那么PF＝yF－yP＝x2．

而FD2＝x2+(?x2?8?6)2?x2+(x2?2)2?(x2?2)2，所以FD＝x2?2． 因此PD－PF＝2为定值． （3）“好点”共有11个．

在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．

而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小（如图2）．

此时EF⊥x轴，点P的横坐标为－4． 所以△PDE周长最小时，“好点”P的坐标为(－4, 6)．

18181818181818

12

图2 图3

考点伸展

第（3）题的11个“好点”是这样求的：

如图3，联结OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE． 因为S△POD＝OD?(?xP)??3x，S△POE＝OE?yP??S△PDE＝?3x?121212x?16，S△DOE＝12，所以 41211x?16?12＝?x2?3x?4＝?(x?6)2?13． 444因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－6．

如图4，当－8≤x≤0时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为10．

当S＝12时，方程?(x?6)2?13?12的两个解－8, －4都在－8≤x≤0范围内． 所以“使△PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个．

14

图4

13

例 2014年河南省中考第23题

如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、

3B(5, 0)两点，直线y??x?3与y轴交于点C，与x轴交于

4点D，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE＝5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P

的坐标；若不存在，请说明理由． 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14河南23”，拖动点P运动，可以体验到，PE与EF的比值，有两个时刻等于5．当点E′落在y轴上时，四边形PE′CE是菱形．

思路点拨

1．用含有m的式子表示PE、EF的长，注意EF存在两种情况．

2．第（3）题我们这样来思考：假如点E′落在了点C上方的某个位置，那么∠EC E′其实是确定的，作角平分线就得到了点P的位置．点P确定了，就可以确定点E、E′的准确位置．此时比较容易观察到菱形PE′CE．根据EC＝EP解方程的时候，转化为m的四次方程，把这个四次方程用开平方法转化为两个二次方程．解得到m的四个根．

这四个根的几何意义是当点E′在C上方时，角平分线所在直线与抛物线有两个交点；当点E′在C下方时，角平分线所在直线与抛物线也有两个交点．注意舍去x轴下方的解．

图文解析

（1）因为抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(5, 0)两点， 所以y＝－(x＋1)(x－5)＝－x2＋4x＋5．

3（2）点P的横坐标为m，那么P(m,－m2＋4m＋5)，E(m,?m?3)，F(m, 0)．

4319所以PE?(?m2?4m?5)?(?m?3)??m2?m?2．

44若PE＝5EF，存在两种情况：

3193如图2，当E在F上方时，EF??m?3．解方程?m2?m?2?5(?m?3)，

44413得m＝2，或m?（点P在x轴下方，舍去）．

23193如图3，当E在F下方时，EF?m?3．解方程?m2?m?2?5(m?3)，

444得m?1?691?69，或m?（点P在x轴下方，舍去）． 2214

图2 图3 111（3）点P的坐标为(?,)，或(4,5)，或(3?11,211?3)．

24考点伸展

第（3）题的思路是这样的：

如图4，当点E′落在y轴上时，四边形PE′CE是菱形．这是因为： 根据对称性，CE＝CE′，∠PCE＝∠PCE′．

又因为PE//CE′，所以∠PCE＝∠CPE′．所以∠PCE′＝∠CPE′． 所以CE′＝PE′．所以四边形PE′CE是平行四边形． 所以四边形PE′CE是菱形．

3325219由E(m,?m?3)、C(0, 3)，得EC2?m2?(?m)2?m．而PE??m2?m?2，由

44164EP＝EC，可得两个方程：

1951解方程?m2?m?2?m，得m??，或m＝4（如图4所示）．

442195解方程?m2?m?2??m，得m?3?11，或m?3?11（点P在x轴下方，舍去）

44（如图5所示）．

图4 图5

15

例 2013年河南省中考第22题

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是_________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_______．

图1 图2

（2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2

的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE//AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF．．．．的长．

图3 图4

动感体验

请打开几何画板文件名“13河南22”，拖动左图中的点E绕点C旋转，可以体验到，△CAN与△DCM保持全等，AN＝DM．观察右图，△CDF与△BDE的底边CD与BD相等，因此当高GF与EH相等时，△CDF与△BDE的面积相等，符合条件的点F有两个．

答案

（1）①DE＝2AC；②S1＝S2．

（2）如图5，由“角角边”可以证明△CAN≌△DCM，所以AN＝DM． 因此△BDC与△AEC是等底等高的两个三角形，面积相等．

（3）如图6，作△BDE的边BD上的高EH．延长CD交AB于G，以G为圆心，EH的长为半径画圆与AB的两个交点，就是要求的点F．BF＝843或3． 3316

图5 图6

17

例 2012年河南省中考第15题

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3．点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF是直角三角形时，BD的长为_______．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12河南15”，拖动点D在BC边上运动，观察△AEF的形状，可以体验到，∠AEF＝60°保持不变，另外两个角各有一次机会成为直角（如图2，图3）．

答案 如图2，BD＝1；如图3，BD＝2．

图2 图3

18

例 2012年河南省中考第23题

12

B两点，x?1与抛物线y＝ax＋bx－3交于A、

2点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②联接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线y?

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图像是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．

思路点拨

1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．

2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．

3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．

图文解析

（1）设直线y?1x?1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)． 2在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE?5．所以sin?AEO?25． 525． 5?4a?2b?3?0,将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得?

?16a?4b?3?3.因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此sin?ACP?11，b??． 22111（2）由P(m,m2?m?3)，C(m,m?1)，

2221111得PC?(m?1)?(m2?m?3)??m2?m?4．

2222解得a?所以PD?PCsin?ACP?

252512595． PC?(?m?m?4)??(m?1)2?5525519

所以PD的最大值为95． 55； 2（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，m?当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，m?32． 9

图2

考点伸展

第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．

而DN?PDcos?PDN?PDcos?ACP?BM＝4－m．

525121?(?m?m?4)??(m?2)(m?4)， 5525195①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?．

510211032②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?．

59920

例 2010年河南省中考第22题

（1）操作发现 如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．

AD的值； ABAD（3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC＝nDF，求的值．

（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求

AB

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10河南22”， 拖动点D改变矩形的边长CD，∠BEF保持直角不变，△BAE与△EDF保持相似（如图2）．

答案 （1）如图2，Rt△DEF≌Rt△GEF，所以DF＝GF；

（2）

ADAB?2； （3）AD2AB?n．

图2

21

可以体验到， 例 2010年河南省中考第23题

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10河南23”，拖动点M在第三象限内抛物线上运动，观察S随m变化的图像，可以体验到，当D是AB的中点时，S取得最大值．拖动点Q在直线y＝－x上运动，可以体验到，以点P、Q、B、O为顶点的四边形有4种情况可以成为平行四边形，双击按钮可以准确显示．

思路点拨

1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．

2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．

3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程．

图文解析

(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，故可设y＝a(x＋4)(x－2)．

1． 2112所以抛物线的解析式为y?(x?4)(x?2)?x?x?4．

22代入点B(0,－4)，求得a?(2)如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．

过点M作x轴的垂线交AB于D，那么MD?(?m?4)?(m?m?4)??所以S?S?MDA?S?MDB?12212m?2m． 21MD?OA??m2?4m??(m?2)2?4． 212x?x?4)． 2因此当m??2时，S取得最大值，最大值为4． (3) 设点Q的坐标为(x,?x)，点P的坐标为(x,①如果PQ//OB，那么PQ＝OB＝4．

22

当点P在点Q上方时，(x?x?4)?(?x)?4．解得x??2?25．

此时点Q的坐标为(?2?25,2?25)（如图3），或(?2?25,2?25)（如图4）． 当点Q在点P上方时，(?x)?(x?x?4)?4．

解得x??4或x?0（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为(－4,4) （如图5）． ②如果PO//BQ，那么PO＝BQ＝4．此时点Q的坐标为(4, －4) （如图5）．

122122

图3 图4 图5

考点伸展

在本题情境下，以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？ 如图6，Q(2,－2)；如图7，Q(－2,2)；如图8，Q(4,－4)．

图6 图7 图8

23

例 2009年河南省中考第21题

把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．

（1）求证：AF⊥BE；

（2）把两个含有45°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“09河南21”，拖动点B，改变两个直角三角形（三角板）的内角，可以体验到，只要两个直角三角形相似，AF与BE就保持垂直关系．这是为什么呢？拖动点E绕点C逆时针旋转90°，就会体验到，△BEC与△ADC相似，∠BEC与∠EAF的度数和等于90°．

答案 （1）根据“边角边”证明△ECB≌△DCA，得到∠EBC＝∠DAC．

因此∠BFA＝∠BEC＋∠FAE＝∠BEC＋∠EBC＝90°． 所以AF⊥BE．

（2）AF与BE垂直．

24

例 2009年河南省中考第23题

如图1，直线y?123且与x轴交于点A，将抛物线y?x沿x?b经过点B(?3,2)，

33x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．

（1）求∠BAO的度数； （2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF//x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；

（3）在抛物线y?12x平移的过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能3否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C的顶点P的坐标；如不能，说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09河南23”，拖动点P在x轴上运动，可以体验到，EF有两个与x轴平行的时刻，△APD保持等边三角形的形状，当D落在抛物线上时，恰好D也落在y轴上．

思路点拨

1．解第（2）题的策略是：设抛物线C的顶点P的坐标为（m，0），用m表示点E的坐标，当EF//x轴时，根据对称性，用m表示点F的坐标，将点F的坐标代入直线的解析式，解关于m的方程就可以了．

2．解第（2）题的策略是：设等边三角形APD的边长为a，用a表示点D、P的坐标，将点D的坐标代入抛物线C的解析式，解关于a的方程就可以了．

图文解析

因为直线y?所以2?3x?b经过点B(?3,2)， 33?(?3)?b．解得b?3． 33x?3． 3所以直线的解析式为y?所以直线与x轴的交点为A(?33,0)，与y轴的交点为（0，3）． 因此tan?BAO?333?3． 3所以∠BAO＝30°．

（2）设抛物线C的顶点P的坐标为（m，0）， 那么抛物线C的解析式为y?1121(x?m)2?x2?mx?m2． 333325

2所以抛物线C与y轴的交点为E(0,m)．

13当EF//x轴时，点F与点E关于抛物线的对称轴对称，

2所以点F的坐标可表示为(2m,m)．

132将F(2m,m)代入直线y?133123x?3，得m2?m?3． 333整理，得m?23m?9?0．

解得m?33（如图2）或m??3（如图3）． 因此抛物线C的解析式为y?211(x?33)2或y?(x?3)2． 33

图2 图3 图4

（3）设等边三角形APD的边长为2a，

那么点D的坐标可以表示为(a?33,3a)，点P的坐标为(2a?33,0)．

将D(a?33,3a)代入C：y?得3a?

1(x?2a?33)2， 312a．解得a?33． 3因此当抛物线C的顶点P的坐标为(33,0)时，D能落在抛物线C（如图4）．事实上，点D恰好落在y轴上．

考点伸展

第（3）题也可以设抛物线C的顶点P的坐标为（m，0），

?m?333(m?33)?,那么AP?m?33，点D的坐标可以表示为????． 22??12将点D的坐标代入抛物线C：y?(x?m)，

33(m?33)1?m?33???得．解得m?33． ???23?2?

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例 2008年河南省中考第23题

如图1，直线y??4 x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

3（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

① 求S与t的函数关系式；

② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S随t的增大而增大．

观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．

观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

思路点拨

1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．

2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．

3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．

4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

图文解析

（1）直线y??4x?4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）． 3Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5． 点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5． 因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．

（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H． 在Rt△BNH中，BN＝t，sinB?44，所以NH?t． 55如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时

S?

11424?OM?NH?(2?t)?t??t2?t．定义域为0＜t≤2． 2255527

如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时

11424S??OM?NH?(t?2)?t?t2?t．定义域为2＜t≤5．

22555

图2 图3

②把S＝4代入S?

22424t?t，得t2?t?4． 5555解得t1?1?11，t2?1?11（舍去负值）．

因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时t?1?11． ③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ?5?t，cosB?所以

3， 55?t325?．解得t?． t58如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t?5． 不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当t?25或者t?5时，△MON为直角三角形． 8

图4 图5

考点伸展

在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．

如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．

图6 图7

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